Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną:

\(|x-5|\lt 2 \iff -2\lt x-5\lt 2\)

Dodajemy \(5\) do każdej części:

\(3\lt x\lt 7\)

Zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty \((3,7)\) — na osi liczbowej zaznaczamy odcinek między \(3\) a \(7\) z pustymi kółkami na końcach.

Taki zbiór przedstawiono na rysunku D.

Odpowiedź: D.

Wyłączamy czynniki spod pierwiastków:

\(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}\)

\(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}\)

Podstawiamy i redukujemy:

\(3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot 3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=9\sqrt{5}-2\sqrt{5}=7\sqrt{5}\)

Zapisujemy pierwiastek jako potęgę:

\(7\sqrt{5}=7\cdot 5^{\frac{1}{2}}\)

Odpowiedź: D.

Obliczamy kolejno oba logarytmy.

\(\log_{25}1=0\), ponieważ \(25^0=1\).

\(\log_{25}5=\frac{1}{2}\), ponieważ \(25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5\).

Podstawiamy do wyrażenia:

\(0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\)

Odpowiedź: A.

Wyłączamy wspólny czynnik \(3n\) przed nawias:

\(3n^3+18n^2+15n=3n\left(n^2+6n+5\right)\)

Rozkładamy trójmian na czynniki (jego pierwiastki to \(-1\) i \(-5\)):

\(n^2+6n+5=(n+1)(n+5)\)

Zatem:

\(3n^3+18n^2+15n=3n(n+1)(n+5)\)

Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta — iloczyn \(n(n+1)\) jest podzielny przez \(2\), czyli \(n(n+1)=2k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\).

Stąd:

\(3n(n+1)(n+5)=3\cdot 2k\cdot(n+5)=6k(n+5)\)

Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(6\) i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez \(6\). \(\blacksquare\)

Obliczamy kolejno wartości potęg.

\(3^{-1}=\frac{1}{3}\)

\(\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{81}}=81\)

Podstawiamy do wyrażenia:

\(\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot 81=\frac{1}{3}\)

Odpowiedź: A.

Zauważamy, że liczby w nawiasach są przeciwne:

\(\sqrt{3}-2=-\left(2-\sqrt{3}\right)\)

Kwadrat liczby przeciwnej jest taki sam:

\(\left(\sqrt{3}-2\right)^2=\left(-\left(2-\sqrt{3}\right)\right)^2=\left(2-\sqrt{3}\right)^2\)

Zatem różnica tych kwadratów wynosi:

\(\left(2-\sqrt{3}\right)^2-\left(2-\sqrt{3}\right)^2=0\)

Odpowiedź: B.

Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika \(2x\):

\(\frac{1}{2x}-x=\frac{1}{2x}-\frac{x\cdot 2x}{2x}=\frac{1-2x^2}{2x}\)

Odpowiedź: C.

Wyznaczamy dziedzinę — mianownik musi być różny od zera:

\(x^2-25\neq 0\), czyli \(x\neq 5\) i \(x\neq -5\)

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru:

\(\left(x^2-3x\right)\left(x^2+1\right)=0\)

\(x(x-3)\left(x^2+1\right)=0\)

Czynnik \(x^2+1\) jest zawsze dodatni, więc nie daje rozwiązań. Pozostaje:

\(x=0\) lub \(x=3\)

Obie liczby należą do dziedziny, więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

Odpowiedź: B.

Stosujemy metodę grupowania wyrazów:

\(3x^3-2x^2-3x+2=0\)

\(x^2(3x-2)-(3x-2)=0\)

Wyłączamy wspólny czynnik \((3x-2)\):

\((3x-2)\left(x^2-1\right)=0\)

Drugi czynnik rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

\((3x-2)(x-1)(x+1)=0\)

Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem:

\(3x-2=0\) lub \(x-1=0\) lub \(x+1=0\)

Odpowiedź: \(x=\frac{2}{3}\) lub \(x=1\) lub \(x=-1\)

Punkt przecięcia prostych musi spełniać oba równania. Podstawiamy \(x=-8\), \(y=6\).

A: \(2\cdot(-8)+3\cdot 6=2\) ✓, ale \(-(-8)+6=14\neq -14\) ✗

B: \(3\cdot(-8)+2\cdot 6=-12\) ✓, ale \(2\cdot(-8)+6=-10\neq 10\) ✗

C: \(-8+6=-2\) ✓, ale \(-8-2\cdot 6=-20\neq 4\) ✗

D: \(-8-6=-14\) ✓ oraz \(-2\cdot(-8)+6=16+6=22\) ✓

Odpowiedź: D.

Zapiszmy funkcję w postaci \(f(x)=ax+b\). Z podanych warunków otrzymujemy układ równań:

\(f(1)=0\Rightarrow a+b=0\)

\(f(-1)=4\Rightarrow -a+b=4\)

Z pierwszego równania \(b=-a\). Podstawiamy do drugiego:

\(-a-a=4\)

\(-2a=4\)

\(a=-2\), zatem \(b=2\)

\(f(x)=-2x+2\)

Sprawdzenie: \(f(1)=-2+2=0\) ✓, \(f(-1)=2+2=4\) ✓

Odpowiedź: C.

Podstawiamy \(x=1\) do wzoru funkcji:

\(f(1)=\frac{1-k}{1^2+1}=\frac{1-k}{2}\)

Z warunku \(f(1)=2\):

\(\frac{1-k}{2}=2\)

\(1-k=4\)

\(k=-3\)

Odpowiedź: A.

Przyrównujemy wzór funkcji do zera:

\((x-13)^2-256=0\)

\((x-13)^2=256\)

\(x-13=16\) lub \(x-13=-16\)

\(x=29\) lub \(x=-3\)

Skoro jednym miejscem zerowym jest \(-3\), drugim jest \(29\).

Uwaga: ten sam wynik daje własność, że miejsca zerowe leżą symetrycznie względem pierwszej współrzędnej wierzchołka \(x_w=13\): \(13+(13-(-3))=29\).

Odpowiedź: D.

Analizujemy przebieg wykresu:

na przedziale \([-7,-5]\) oraz \([-4,-1]\) funkcja przyjmuje stałą wartość \(4\),

na przedziale \([-1,4]\) wykres opada,

na przedziale \([5,7]\) wykres wznosi się od wartości \(1\) do \(6\).

Funkcja jest rosnąca tylko na ostatnim z tych przedziałów.

Odpowiedź: B.

Szukamy argumentów, dla których wykres leży powyżej prostej \(y=1\).

Odcinki stałe. Dla \(x\in[-7,-5]\) oraz \(x\in[-4,-1]\) funkcja ma wartość \(4\), a \(4\gt 1\) — oba przedziały należą do rozwiązania.

Odcinek opadający. Na przedziale \([-1,4]\) wykres jest fragmentem prostej \(y=3-x\). Warunek \(3-x\gt 1\) daje \(x\lt 2\), czyli \([-1,2)\).

Odcinek rosnący. Na przedziale \([5,7]\) wykres zaczyna się w punkcie \((5,1)\), więc wartości większe od \(1\) są dla \(x\gt 5\), czyli \((5,7]\).

Łącząc przedziały \([-4,-1]\) i \([-1,2)\) otrzymujemy \([-4,2)\).

Odpowiedź: \(x\in[-7,-5]\cup[-4,2)\cup(5,7]\)

Przekształcenie \(g(x)=f(-x)\) to symetria wykresu funkcji \(f\) względem osi \(OY\). Każdy punkt \((a,b)\) wykresu \(f\) przechodzi na punkt \((-a,b)\).

Sprawdzamy, jak zmieniają się charakterystyczne fragmenty wykresu \(f\):

odcinki o wartości \(4\) dla \(x\in[-7,-5]\cup[-4,-1]\) przechodzą na odcinki o wartości \(4\) dla \(x\in[1,4]\cup[5,7]\),

odcinek opadający od \((-1,4)\) do \((4,-1)\) przechodzi na odcinek rosnący od \((-4,-1)\) do \((1,4)\),

odcinek rosnący od \((5,1)\) do \((7,6)\) przechodzi na odcinek opadający od \((-7,6)\) do \((-5,1)\).

Wszystkie te cechy ma wykres na rysunku B.

Odpowiedź: B.

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej o współczynniku \(a\lt 0\) jest przedział \((-\infty,q]\), gdzie \(q\) to druga współrzędna wierzchołka. Szukamy więc funkcji z ramionami skierowanymi w dół i wartością największą \(2\).

A. \(a=-1\lt 0\), postać kanoniczna daje \(q=2\) → zbiór wartości \((-\infty,2]\) ✓

B. \(a=1\gt 0\) — ramiona w górę, odpada.

C. \(a=-5\lt 0\), ale \(q=0\) → \((-\infty,0]\), odpada.

D. \(a=1\gt 0\) — odpada.

E. \(a=2\gt 0\) — odpada.

F. \(a=-2\lt 0\). Obliczamy wierzchołek: \(x_w=-\frac{4}{2\cdot(-2)}=1\), \(F(1)=-2+4=2\) → \((-\infty,2]\) ✓

Odpowiedź: A oraz F.

Podstawiamy \(n=3\) do wzoru ciągu:

\(a_3=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2}=(-1)\cdot\frac{4}{2}=(-1)\cdot 2=-2\)

Odpowiedź: B.

Stwierdzenie 1. Ogólny wyraz ciągu geometrycznego:

\(a_n=128\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Dla \(n=2023\) wykładnik wynosi \(2022\) — jest parzysty, więc potęga liczby ujemnej jest dodatnia. Zatem \(a_{2023}\gt 0\) i stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Obliczamy kolejne wyrazy:

\(a_2=128\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-64\)

\(a_3=-64\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=32\)

\(a_3-a_2=32-(-64)=96\)

Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:

\(2x^2=\left(3x^2+5x\right)+\left(20-x^2\right)\)

Porządkujemy prawą stronę:

\(2x^2=2x^2+5x+20\)

\(0=5x+20\)

\(x=-4\)

Sprawdzenie: dla \(x=-4\) otrzymujemy ciąg \((28,\;16,\;4)\) o stałej różnicy \(r=-12\) ✓

Odpowiedź: \(x=-4\)

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):

\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1-\frac{4\cdot 6}{49}=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}\)

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc jego sinus jest dodatni:

\(\sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}\)

Odpowiedź: B.

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

\(\frac{P_{T_1}}{P_{T_2}}=k^2\)

\(\frac{52}{13}=4=k^2\), zatem \(k=2\)

Stosunek obwodów jest równy skali podobieństwa:

\(\frac{Ob_{T_1}}{Ob_{T_2}}=k=2\)

\(Ob_{T_2}=\frac{36}{2}=18\)

Odpowiedź: A.

Obwód wycinka koła składa się z łuku oraz dwóch promieni.

Kąt \(30^\circ\) stanowi \(\frac{30^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{12}\) pełnego kąta, więc długość łuku:

\(l=\frac{1}{12}\cdot 2\pi r=\frac{1}{12}\cdot 2\pi\cdot 3=\frac{6\pi}{12}=\frac{1}{2}\pi\)

Dodajemy dwa promienie:

\(Ob=\frac{1}{2}\pi+2\cdot 3=\frac{1}{2}\pi+6\)

Odpowiedź: D.

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:

\(\beta=2\alpha\)

Z warunku zadania \(\beta=\alpha+40^\circ\). Podstawiamy:

\(2\alpha=\alpha+40^\circ\)

\(\alpha=40^\circ\)

Zatem:

\(\beta=2\cdot 40^\circ=80^\circ\)

Odpowiedź: B.

Korzystamy z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie: dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi boków przyległych do tego kąta.

Dwusieczna kąta \(ACB\) wychodzi z wierzchołka \(C\), więc:

\(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|CA|}{|CB|}=\frac{3}{4}\)

Odpowiedź: C.

Poprowadźmy z wierzchołków \(D\) i \(C\) wysokości trapezu na podstawę \(AB\). Powstają dwa przystające trójkąty prostokątne o kącie ostrym \(60^\circ\) i przeciwprostokątnej równej ramieniu \(4\).

Wysokość trapezu:

\(h=4\cdot\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

Rzut ramienia na podstawę:

\(4\cdot\cos 60^\circ=4\cdot\frac{1}{2}=2\)

Dłuższa podstawa:

\(|AB|=|CD|+2\cdot 2=6+4=10\)

Pole trapezu:

\(P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot 2\sqrt{3}=8\cdot 2\sqrt{3}=16\sqrt{3}\)

Odpowiedź: pole trapezu jest równe \(16\sqrt{3}\).

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe, więc szukana prosta ma postać:

\(y=\frac{3}{4}x+b\)

Podstawiamy współrzędne punktu \(P=(12,-1)\):

\(-1=\frac{3}{4}\cdot 12+b\)

\(-1=9+b\)

\(b=-10\)

\(y=\frac{3}{4}x-10\)

Odpowiedź: B.

Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\):

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

Podstawiamy \(a=-1\), \(b=2\), \(r=3\):

\((x-(-1))^2+(y-2)^2=3^2\)

\((x+1)^2+(y-2)^2=9\)

Odpowiedź: C.

Sprawdzamy warunek prostopadłości \(a_1\cdot a_2=-1\) dla par współczynników kierunkowych.

Dla pierwszej i trzeciej prostej:

\(\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1\)

Warunek jest spełniony, więc te proste są prostopadłe — trójkąt \(KLM\) jest prostokątny (odpowiedź B), a uzasadnieniem jest właśnie prostopadłość dwóch prostych (uzasadnienie 2).

Uwaga: uzasadnienie 3. jest nieprawdziwe — proste pierwsza i druga są symetryczne względem osi \(Oy\), ale trzecia prosta nie jest, więc oś \(Oy\) nie zawiera dwusiecznej trójkąta.

Odpowiedź: B2.

Środek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych, czyli środkiem odcinka \(AC\).

Wyznaczamy współrzędne punktu \(C\) ze wzoru na środek odcinka:

\(C=(2\cdot 2-(-1),\;2\cdot 2-(-4))=(5,8)\)

Obliczamy długość przekątnej:

\(|AC|=\sqrt{(5-(-1))^2+(8-(-4))^2}=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)

Inny sposób: \(|AS|=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\), a \(|AC|=2|AS|=6\sqrt{5}\).

Odpowiedź: D.

Podstawą jest sześciokąt foremny o boku \(6\), a wysokość graniastosłupa również wynosi \(6\).

Pole podstawy. Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku \(6\):

\(P_p=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot 9\sqrt{3}=54\sqrt{3}\)

Pole powierzchni bocznej. Obwód podstawy razy wysokość:

\(P_b=(6\cdot 6)\cdot 6=36\cdot 6=216\)

Pole całkowite:

\(P_c=2P_p+P_b=2\cdot 54\sqrt{3}+216=216+108\sqrt{3}\)

Odpowiedź: D.

Dłuższa przekątna graniastosłupa łączy przeciwległe wierzchołki obu podstaw. Jej rzutem na płaszczyznę podstawy jest najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego, równa podwojonemu bokowi:

\(d_p=2\cdot 6=12\)

Wysokość graniastosłupa wynosi \(H=6\).

Przekątna, jej rzut i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Obliczamy długość przekątnej:

\(d=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)

Cosinus kąta nachylenia to stosunek rzutu do przekątnej:

\(\cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Odpowiedź: \(\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

Korzystamy z reguły mnożenia i wybieramy cyfry kolejno.

Cyfra tysięcy: nie może być zerem, więc mamy \(9\) możliwości (od \(1\) do \(9\)).

Cyfra setek: może być zerem, ale nie może powtórzyć poprzedniej — zostaje \(9\) możliwości.

Cyfra dziesiątek: \(8\) możliwości.

Cyfra jedności: \(7\) możliwości.

Łącznie: \(9\cdot 9\cdot 8\cdot 7\)

Odpowiedź: D.

Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary różnych liczb ze zbioru pięcioelementowego (losowanie bez zwracania):

\(|\Omega|=5\cdot 4=20\)

Liczby nieparzyste w tym zbiorze to \(1\), \(3\), \(5\) — jest ich \(3\). Zdarzeniu \(A\) sprzyjają pary utworzone z tych liczb:

\(|A|=3\cdot 2=6\)

Obliczamy prawdopodobieństwo:

\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}\)

Odpowiedź: \(P(A)=\frac{3}{10}\)

Obliczamy średnią ważoną. Z diagramu odczytujemy wynagrodzenia i liczby pracowników:

\(4800\cdot 10=48\,000\)

\(5100\cdot 36=183\,600\)

\(5500\cdot 5=27\,500\)

\(5900\cdot 25=147\,500\)

\(6400\cdot 18=115\,200\)

\(7500\cdot 4=30\,000\)

\(8600\cdot 2=17\,200\)

Sumujemy wszystkie wynagrodzenia:

\(48\,000+183\,600+27\,500+147\,500+115\,200+30\,000+17\,200=569\,000\)

Liczba pracowników: \(10+36+5+25+18+4+2=100\)

Średnia:

\(\frac{569\,000}{100}=5690\) zł

Odpowiedź: A.

Krok 1. Funkcja zysku.

\(Z(x)=P(x)-K(x)=196x-\left(4x^2+4x+240\right)\)

\(Z(x)=-4x^2+192x-240\) dla \(x\in\{1,2,\ldots,30\}\)

Krok 2. Największa wartość.

Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-4\lt 0\), więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{192}{2\cdot(-4)}=\frac{192}{8}=24\)

Liczba \(24\) spełnia ograniczenie \(x\le 30\) i jest liczbą całkowitą, więc jest dopuszczalna.

Krok 3. Największy zysk.

\(Z(24)=-4\cdot 24^2+192\cdot 24-240\)

\(Z(24)=-4\cdot 576+4608-240\)

\(Z(24)=-2304+4608-240=2064\)

Odpowiedź: zakład powinien sprzedawać \(24\) krzesła dziennie, a największy zysk wynosi \(2064\) zł.