Baza wzorów matematycznych i fizycznych
Wzory z opisami, wyprowadzeniami i przykładami — poukładane w przejrzyste kafle. Kliknij wzór, aby zobaczyć pełną teorię i zastosowanie.
Asymptoty funkcji
Pionowa: $x=a$ gdy $\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty$ (punkt wyłączony z dziedziny). Pozioma: $y=L$ gdy $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$. Ukośna: $y=ax+b$ gdy $a=\lim\frac{f(x)}{x}$, $b=\lim(f(x)-ax)$. Hiperbola $\frac{1}{x}$: asymptoty $x=0$ i $y=0$.
Całka nieoznaczona — definicja
Całka nieoznaczona to rodzina wszystkich funkcji pierwotnych $F(x)$ różniących się o stałą $C$. Całkowanie jest odwrotne do różniczkowania. Liniowość: $\int[af(x)+bg(x)]dx=a\int f\,dx+b\int g\,dx$.
Całka oznaczona — wzór Newtona-Leibniza
$F$ — dowolna funkcja pierwotna $f$. Całka oznaczona oblicza pole algebraiczne między wykresem $f$ a osią $OX$ na przedziale $[a,b]$ (z uwzględnieniem znaku). Własności: $\int_a^b=-\int_b^a$, $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$ dla dowolnego $c$.
Całka podwójna — twierdzenie Fubiniego i zmiana kolejności
Twierdzenie Fubiniego: dla ciągłej $f$ na obszarze $D$ można zamieniać kolejność całkowania. Granice wewnętrznej całki mogą zależeć od zmiennej zewnętrznej. Zmiana kolejności często upraszcza obliczenia (gdy jedna kolejność daje całkę niemożliwą analitycznie). Pole obszaru: $\iint_D1\,dA$; objętość bryły pod $z=f(x,y)$: $\iint_D f\,dA$.
Całki z funkcji wymiernych — rozkład na ułamki proste
Gdy $\deg P < \deg Q$: rozkładamy na ułamki proste wg. pierwiastków $Q(x)$. Rzeczywisty pierwiastek $a$ rzędu $k$: człony $A_1/(x-a)+\ldots+A_k/(x-a)^k$. Trójmian nierozkładalny: $(Bx+C)/(x^2+px+q)$. Całkujemy każdy człon: $\int dx/(x-a)=\ln|x-a|$; dla trójmianu — uzupełniamy do kwadratu i używamy $\arctan$.
Całkowanie numeryczne — metoda Simpsona
Aproksymacja parabolami (wielomiany st. 2) na parach podprzedziałów; $n$ musi być parzyste. Błąd: $O(h^4)$ — przy podwojeniu $n$ błąd maleje 16-krotnie. Dokładna dla wielomianów stopnia $\le3$. Zastosowanie: numeryczna integracja w fizyce, inżynierii i finansach. Reguła 3/8 Simpsona: $\frac{3h}{8}[f_0+3f_1+3f_2+2f_3+\ldots]$.
Całkowanie numeryczne — metoda trapezów
Przybliżamy funkcję na każdym podprzedziale trapezem. Błąd złożony: $O(h^2)$ — przy podwojeniu $n$ błąd maleje czterokrotnie. Wzór prosty (n=1): $\frac{h}{2}(f(a)+f(b))$. Porównanie z Simpsonem: metoda trapezów mniej dokładna, ale prostsza. Stosowana gdy brak wzoru analitycznego lub dane dyskretne.
Całkowanie przez części
Metoda per partes: wybieramy $u$ i $dv$ tak, by $\int v\,du$ była prostsza. Reguła LIATE (kolejność wyboru $u$): Logarytmy, odwrotne trygonometryczne, Algebraiczne (wielomiany), Trygonometryczne, Eksponencjalne. Przykład: $\int x e^x dx=xe^x-e^x+C$.
Całkowanie przez podstawienie
Metoda substytucji: zamieniamy zmienną $t=g(x)$, wtedy $dt=g'(x)dx$. Przykład: $\int 2x e^{x^2}dx=\int e^t\,dt=e^t+C=e^{x^2}+C$. Wymaga rozpoznania pochodnej funkcji złożonej wewnątrz całki.
Ciągłość funkcji w punkcie
Funkcja jest ciągła gdy: 1) jest określona w $a$; 2) istnieje granica w $a$; 3) granica = wartość funkcji. Ciągłość na przedziale: ciągłość w każdym punkcie. Twierdzenie Weierstrassa: funkcja ciągła na domkniętym przedziale osiąga swoje kresy (min i max). Twierdzenie Darboux: przyjmuje każdą wartość pośrednią.
Definicja logarytmu
Do czego służy: Logarytm to „odwrócona potęga" — pyta: do jakiej potęgi podnieść podstawę $a$, żeby dostać $b$?
Zmienne i warunki
- $a$ — podstawa: $a > 0$, $a \neq 1$
- $b$ — argument: $b > 0$ (logarytm liczby ujemnej lub zera nie istnieje!)
- $c$ — wartość logarytmu (może być ujemna lub ułamkowa)
Szczególne przypadki
- $\log_a a = 1$ (bo $a^1=a$)
- $\log_a 1 = 0$ (bo $a^0=1$)
- $\log_{10} x = \lg x$ — logarytm dziesiętny (kalkulator: przycisk LOG)
- $\log_e x = \ln x$ — logarytm naturalny, $e\approx 2{,}718$ (kalkulator: LN)
Kiedy używać?
Gdy szukasz wykładnika: w równaniach wykładniczych ($3^x = 27$), obliczaniu pH, skali Richtera, decybelach.
Jak stosować
- Zidentyfikuj podstawę $a$ i argument $b$
- Zapytaj: $a^? = b$
- Odpowiedź na to pytanie to wartość logarytmu
Przykład
Oblicz $\log_3 81$.
- Pytanie: $3^? = 81$
- $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$ ✓
- Odpowiedź: $\log_3 81 = 4$
⚠️ Częsty błąd: Argument logarytmu musi być dodatni. $\log(-5)$ nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych!
Długość łuku i pole wycinka koła
Kąt $\alpha$ wyrażony w radianach. Przelicznik: $\alpha_\text{rad}=\alpha_{°}\cdot\frac{\pi}{180}$. Dla pełnego okręgu ($\alpha=2\pi$): $l=2\pi r$, $P=\pi r^2$. Pole wycinka można też liczyć ze wzoru $P=\frac{\alpha_{°}}{360°}\cdot\pi r^2$.
Długość łuku krzywej
Długość wykresu $y=f(x)$ na przedziale $[a,b]$. Postać parametryczna: $L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{[\dot{x}(t)]^2+[\dot{y}(t)]^2}\,dt$. Postać biegunowa: $L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\dot{r}^2}\,d\theta$. Przykład: obwód koła ($r=R$, $\theta\in[0,2\pi]$): $L=2\pi R$.
Długość łuku krzywej parametrycznej
Długość łuku krzywej $(x(t),y(t))$: pierwiastek z sumy kwadratów pochodnych, całkowany po parametrze. Szczególny przypadek $t=x$: wzór z $f'(x)$. W układzie biegunowym $(r(\varphi))$: $L=\int\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\varphi$. Przykłady: okrąg $\Rightarrow 2\pi r$; parabola $y=x^2$ na $[0,1]\Rightarrow\frac{1}{4}[\sqrt{5}+\ln(2+\sqrt{5})]$.
Drugie kryterium ekstremum — pochodna drugiego rzędu
Jeśli $f'(x_0)=0$ i $f''(x_0)\ne0$: $f''<0$ — maksimum lokalne, $f''> 0$ — minimum. Dla $f''(x_0)=0$ kryterium nie rozstrzyga — wróć do analizy znaku $f'$. Szybsze niż analiza znaków pierwszej pochodnej, gdy łatwo obliczyć $f''$.
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych — kryterium hesjanowe
W punkcie krytycznym ($f_x=f_y=0$) obliczamy hesjan $H=\det\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}$. $H>0$: ekstremum (min gdy $f_{xx}>0$, max gdy $f_{xx}<0$). $H<0$: punkt siodłowy. $H=0$: kryterium nie rozstrzyga. Analogia 1D: drugie kryterium z $f''$.
Funkcja kwadratowa — postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa
Do czego służy: Trzy różne zapisy tej samej paraboli — każdy daje inne informacje o jej kształcie i położeniu.
Trzy postaci i co z nich odczytasz
- Ogólna $ax^2+bx+c$: podana najczęściej w zadaniach; $a$ decyduje o kierunku ramion
- Kanoniczna $a(x-p)^2+q$: od razu widać wierzchołek $W=(p,q)$
- Iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$: od razu widać miejsca zerowe (gdy $\Delta\geq0$)
Wzory pomocnicze
- Wierzchołek: $p = -\frac{b}{2a}$, \quad $q = f(p) = -\frac{\Delta}{4a}$
- Oś symetrii: prosta $x = p$
- Ramiona w górę gdy $a>0$ (minimum w $W$), w dół gdy $a<0$ (maksimum)
Jak zamieniać postaci
- Ogólna → kanoniczna: oblicz $p=-b/(2a)$, $q=f(p)$, podstaw
- Ogólna → iloczynowa: oblicz $\Delta$, znajdź $x_1, x_2$, podstaw
Przykład
Znajdź wierzchołek paraboli $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
- $p = -(-4)/(2\cdot1) = 2$
- $q = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$
- Wierzchołek: $W=(2,-1)$
- Postać kanoniczna: $f(x)=(x-2)^2-1$
⚠️ Częsty błąd: W postaci kanonicznej $a(x-p)^2+q$ — uwaga na znak! $a(x-2)^2+q$ oznacza wierzchołek $x=+2$, nie $-2$.
Funkcja liniowa
Do czego służy: Opisuje zależności, w których wzrost/spadek jest jednostajny — wykresem jest linia prosta.
Zmienne
- $a$ — współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej): $a>0$ → rosnąca, $a<0$ → malejąca, $a=0$ → stała (pozioma)
- $b$ — wyraz wolny: gdzie prosta przecina oś OY (dla $x=0$: $f(0)=b$)
Kluczowe wzory pochodne
- Miejsce zerowe (gdzie prosta przecina OX): $x_0 = -\frac{b}{a}$ (dla $a\neq 0$)
- Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- Dwie proste równoległe gdy $a_1 = a_2$; prostopadłe gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$
Jak wyznaczyć wzór funkcji z dwóch punktów
- Oblicz $a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
- Wstaw jeden punkt do $y = ax + b$ i oblicz $b$
Przykład
Prosta przechodzi przez $A(1,3)$ i $B(3,7)$. Znajdź wzór.
- $a = \frac{7-3}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$
- $3 = 2\cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$
- Wzór: $f(x) = 2x + 1$
⚠️ Częsty błąd: Mylenie $a$ (nachylenie) z $b$ (punkt przecięcia OY). Parametr $b$ odczytujesz z wykresu jako punkt na osi pionowej, nie poziomej!
Funkcja logarytmiczna
Do czego służy: Odwrotność funkcji wykładniczej — „odczytuje wykładnik". Stosowana w skali decybelowej, pH, skali Richtera.
Właściwości
- Dziedzina: $(0,+\infty)$ — argument musi być dodatni
- Zawsze przechodzi przez $(1,0)$: $\log_a 1=0$
- $a>1$: rosnąca; $0<a<1$: malejąca
- Asymptota pionowa: $x=0$ (oś OY)
- Zbiór wartości: $\mathbb{R}$ (wszystkie liczby rzeczywiste)
Związek z funkcją wykładniczą
Są wzajemnie odwrotne: $\log_a(a^x)=x$ oraz $a^{\log_a x}=x$. Ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$.
Jak rozwiązywać równania logarytmiczne
- Sprawdź dziedzinę: argument logarytmu musi być $>0$
- Użyj definicji: $\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$
- Sprawdź czy rozwiązanie należy do dziedziny!
Przykład
Rozwiąż $\log_2(x-1) = 3$.
- Dziedzina: $x-1>0 \Rightarrow x>1$
- Z definicji: $x-1 = 2^3 = 8$
- $x = 9$ ✓ (spełnia $x>1$)
⚠️ Częsty błąd: Pominięcie sprawdzenia dziedziny na końcu! Pozorne rozwiązanie może dać ujemny argument logarytmu.
Funkcja odwrotna
Funkcja odwrotna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest różnowartościowa. Wykres $f^{-1}$ jest obrazem wykresu $f$ w symetrii względem prostej $y=x$. $(f^{-1}\circ f)(x)=x$. Przykłady: $\ln x$ jest odwrotną do $e^x$, $\arcsin x$ do $\sin x$ (na ograniczonej dziedzinie).
Funkcja parzysta i nieparzysta
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $OY$. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu. Przykłady parzyste: $\cos x$, $x^2$, $|x|$. Przykłady nieparzyste: $\sin x$, $x^3$, $\tan x$. Funkcja $f(x)=0$ jest jednocześnie parzysta i nieparzysta.
Funkcja uwikłana — twierdzenie i pochodna
Jeśli $F(x,y)=0$ i $F_y\ne0$ w otoczeniu punktu, to definiuje $y$ jako funkcję $x$ (twierdzenie o funkcji uwikłanej). Pochodna: $dy/dx=-F_x/F_y$. Przykład: okrąg $x^2+y^2=r^2$: $F_x=2x$, $F_y=2y$, $dy/dx=-x/y$. Uogólnienie na $F(x,y,z)=0$: $\partial z/\partial x=-F_x/F_z$. Zastosowanie: styczne do krzywych, optymalizacja z warunkami.
Funkcja wykładnicza
Do czego służy: Modeluje procesy szybkiego wzrostu (populacje, procent składany, zaraza) lub zaniku (rozpad promieniotwórczy, schładzanie).
Zmienne i warunki
- $a$ — podstawa: musi być $a>0$, $a\neq1$
- $x$ — wykładnik (argument): może być dowolną liczbą rzeczywistą
Właściwości — jak czytać wykres
- Zawsze przechodzi przez $(0,1)$: $a^0=1$
- $a>1$: rosnąca (im większa $a$, tym szybszy wzrost)
- $0<a<1$: malejąca (zanik); np. $(1/2)^x$ to rozpad
- Nigdy nie osiąga 0 — asymptota pozioma: $y=0$
- Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste; zbiór wartości: $(0,+\infty)$
Ogólny wzór wzrostu/zaniku
$N(t) = N_0 \cdot a^t$, gdzie $N_0$ — wartość początkowa, $t$ — czas.
Przykład
Bakterie podwajają się co godzinę. Ile ich będzie po 5 h, jeśli na początku jest 100?
- Model: $N(t) = 100 \cdot 2^t$
- $N(5) = 100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3200$
⚠️ Częsty błąd: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, nie $-8$! Ujemny wykładnik daje ułamek, nigdy liczbę ujemną.