Krok 1. Opuszczenie wartości bezwzględnych. Punkty zmiany znaku to $x=-3$ i $x=3$. Rozpatrujemy trzy przedziały.

Dla $x\ge3$: $\ |x+3|+|x-3|=(x+3)+(x-3)=2x$, więc

$$f(x)=\frac{2x}{x}=2.$$

Dla $-3\le x\lt 3$, $x\neq0$: $\ |x+3|+|x-3|=(x+3)+(3-x)=6$, więc

$$f(x)=\frac{6}{x}.$$

Dla $x\lt -3$: $\ |x+3|+|x-3|=-(x+3)-(x-3)=-2x$, więc

$$f(x)=\frac{-2x}{x}=-2.$$

Krok 2. Wartości na poszczególnych przedziałach.

• Dla $x\ge3$ oraz dla $x\lt -3$ funkcja jest stała i przyjmuje wartości $2$ oraz $-2$.

• Dla $x\in(0,3)$ mamy $f(x)=\frac6x$, funkcja maleje od $+\infty$ (gdy $x\to0^{+}$) do wartości $2$ przy $x\to3^{-}$, więc przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $(2,+\infty)$.

• Dla $x\in\langle-3,0)$ mamy $f(-3)=-2$, a gdy $x\to0^{-}$, to $f(x)\to-\infty$; funkcja przyjmuje więc wszystkie wartości z $(-\infty,-2]$.

Krok 3. Suma zbiorów wartości. Wartość $2$ jest osiągana (dla $x\ge3$), a wartość $-2$ również (dla $x=-3$ oraz dla $x\lt -3$):

$$ZW_f=(-\infty,-2]\cup\{2\}\cup(2,+\infty)=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty).$$

Kontrola: $f(0{,}1)=60$, $f(-0{,}1)=-60$, $f(3)=2$, $f(-3)=-2$, $f(-4)=-2$ ✓

Odpowiedź: $ZW_f=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$

Krok 1. Odległość punktu od prostej. Dla punktu $(x,0)$ i prostej $x+y+1=0$:

$$d=\frac{|x+0+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{|x+1|}{\sqrt2},\qquad d^{2}=\frac{(x+1)^{2}}{2}.$$

Krok 2. Zapis warunku.

$$\frac{(x_1+1)^{2}}{2}+\frac{(x_2+1)^{2}}{2}=6\ \Longrightarrow\ (x_1+1)^{2}+(x_2+1)^{2}=12.$$

Rozwijamy i grupujemy:

$$\left(x_1^{2}+x_2^{2}\right)+2\left(x_1+x_2\right)+2=12.$$

Korzystając z $x_1^{2}+x_2^{2}=S^{2}-2P$:

$$S^{2}-2P+2S=10.$$

Krok 3. Wzory Viète'a.

$$S=2m+2,\qquad P=2m+5.$$

$$(2m+2)^{2}-2(2m+5)+2(2m+2)=10,$$

$$4m^{2}+8m+4-4m-10+4m+4=10\ \Longrightarrow\ 4m^{2}+8m-12=0,$$

$$m^{2}+2m-3=0\ \Longrightarrow\ (m+3)(m-1)=0\ \Longrightarrow\ m=-3\ \text{lub}\ m=1.$$

Krok 4. Warunek dwóch różnych pierwiastków.

$$\Delta=(2m+2)^{2}-4(2m+5)=4m^{2}-16>0\ \Longleftrightarrow\ m\lt -2\ \text{lub}\ m>2.$$

Wartość $m=1$ nie spełnia tego warunku i odpada; $m=-3$ spełnia.

Sprawdzenie dla $m=-3$: $f(x)=x^{2}+4x-1$, $\Delta=20>0$, $S=-4$, $P=-1$, a $S^{2}-2P+2S=16+2-8=10$ ✓

Odpowiedź: $m=-3$

Krok 1. Przeniesienie na jedną stronę.

$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1.$$

Krok 2. Zwinięcie do jednej funkcji. Wyłączamy $2$ przed nawias:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\right)=1.$$

Rozpoznajemy wzór na cosinus sumy, bo $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$ oraz $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\cos x\cos\frac{\pi}{6}-\sin x\sin\frac{\pi}{6}=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1\ \Longrightarrow\ \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$$

Krok 3. Zakres argumentu. Dla $x\in\langle0,2\pi\rangle$ mamy

$$x+\frac{\pi}{6}\in\left\langle\frac{\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6}\right\rangle.$$

Krok 4. Rozwiązania. W tym przedziale $\cos\theta=\frac12$ zachodzi dla

$$\theta=\frac{\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad \theta=\frac{5\pi}{3}.$$

$$x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}.$$

Sprawdzenie: dla $x=\frac{\pi}{6}$: $\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ oraz $1+\frac12=\frac32$ ✓; dla $x=\frac{3\pi}{2}$: $\sqrt3\cdot0=0$ oraz $1-1=0$ ✓

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{3\pi}{2}$

Krok 1. Rozwinięcie lewej strony.

$$(x+1)\frac{x}{y}+(y+1)\frac{y}{x}=\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y^{2}}{x}+\frac{y}{x}.$$

Krok 2. Grupowanie. Rozdzielamy na dwie części:

$$L=\underbrace{\left(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\right)}_{S_1}+\underbrace{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)}_{S_2}.$$

Krok 3. Oszacowanie $S_2$. Dla dodatnich $x$, $y$:

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^{2}+y^{2}-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^{2}}{xy}\ge 0,$$

ponieważ licznik jest kwadratem, a mianownik dodatni. Zatem

$$S_2\ge 2.$$

Krok 4. Oszacowanie $S_1$. Oba składniki są ilorazami liczb dodatnich, więc

$$S_1=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}>0.$$

Krok 5. Złożenie.

$$L=S_1+S_2>0+2=2,$$

co kończy dowód. $\blacksquare$

Uwaga: nierówność jest ostra dla wszystkich dodatnich $x,y$ — nawet gdy $x=y$ (wtedy $S_2=2$, ale $S_1=2x>0$).

Krok 1. Boki trójkąta $ABC$. Dla okręgów stycznych zewnętrznie odległość środków równa się sumie promieni:

$$|AB|=r+2r=3r,\qquad |BC|=2r+3r=5r,\qquad |CA|=3r+r=4r.$$

Ponieważ $(3r)^{2}+(4r)^{2}=(5r)^{2}$, trójkąt $ABC$ jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku $A$ (naprzeciw najdłuższego boku $BC$).

$$P_{ABC}=\frac12\cdot 3r\cdot 4r=6r^{2}.$$

Krok 2. Położenie punktów styczności. Punkt styczności leży na odcinku łączącym środki, w odległości promienia od każdego z nich:

$$|AK|=r,\ |KB|=2r;\qquad |BL|=2r,\ |LC|=3r;\qquad |CM|=3r,\ |MA|=r.$$

Krok 3. Funkcje trygonometryczne kątów.

$$\sin A=1,\qquad \sin B=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{4}{5},\qquad \sin C=\frac{|AB|}{|BC|}=\frac{3}{5}.$$

Krok 4. Pola trójkątów narożnych. Korzystamy ze wzoru $P=\frac12ab\sin\gamma$:

$$P_{AKM}=\frac12\cdot r\cdot r\cdot 1=\frac{r^{2}}{2},$$

$$P_{BKL}=\frac12\cdot 2r\cdot 2r\cdot\frac45=\frac{8r^{2}}{5},$$

$$P_{CLM}=\frac12\cdot 3r\cdot 3r\cdot\frac35=\frac{27r^{2}}{10}.$$

Krok 5. Pole trójkąta $KLM$. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$$P_{AKM}+P_{BKL}+P_{CLM}=\frac{5r^{2}+16r^{2}+27r^{2}}{10}=\frac{48r^{2}}{10}=\frac{24r^{2}}{5}.$$

$$P_{KLM}=6r^{2}-\frac{24r^{2}}{5}=\frac{30r^{2}-24r^{2}}{5}=\frac{6r^{2}}{5}.$$

Krok 6. Szukany stosunek.

$$\frac{P_{KLM}}{P_{ABC}}=\frac{\frac{6r^{2}}{5}}{6r^{2}}=\frac{1}{5}.$$

Uwaga: wynik nie zależy od $r$ — wszystkie takie konfiguracje są podobne.

Odpowiedź: $\frac{P_{KLM}}{P_{ABC}}=\frac{1}{5}$

Krok 1. Wyznaczenie $\alpha$. Suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$:

$$\alpha+2\alpha+4\alpha=180^\circ\ \Longrightarrow\ 7\alpha=180^\circ\ \Longrightarrow\ \alpha=\frac{180^\circ}{7}.$$

Krok 2. Trójkąt jest rozwartokątny. Największy kąt to

$$\angle BCA=4\alpha=\frac{720^\circ}{7}\approx 102{,}9^\circ>90^\circ,$$

więc trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny. $\blacksquare$

Krok 3. Kąty środkowe. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest dwa razy większy.

Na łuku $BC$ (nie zawierającym $A$) oparty jest kąt wpisany $\alpha$, więc kąt środkowy wynosi $2\alpha=\frac{360^\circ}{7}$ — jest wypukły.

Na łuku $AC$ (nie zawierającym $B$) oparty jest kąt wpisany $2\alpha$, więc kąt środkowy to $4\alpha=\frac{720^\circ}{7}$ — również wypukły.

Na łuku $AB$ (nie zawierającym $C$) oparty jest kąt wpisany $4\alpha$, więc odpowiadający mu kąt środkowy wynosi

$$8\alpha=\frac{1440^\circ}{7}\approx 205{,}7^\circ>180^\circ$$

— to kąt wklęsły. Kąt wypukły $ASB$ jest jego dopełnieniem do pełnego:

$$\angle ASB=360^\circ-8\alpha=\frac{2520^\circ-1440^\circ}{7}=\frac{1080^\circ}{7}.$$

Kontrola: $2\alpha+4\alpha+8\alpha=14\alpha=360^\circ$ — trzy łuki dają pełny okrąg ✓

Krok 4. Ciąg arytmetyczny. W podanej kolejności kąty wypukłe to

$$\angle ASB=\frac{1080^\circ}{7},\qquad \angle ASC=\frac{720^\circ}{7},\qquad \angle BSC=\frac{360^\circ}{7}.$$

Sprawdzamy warunek ciągu arytmetycznego (podwojony wyraz środkowy równa się sumie skrajnych):

$$2\cdot\frac{720^\circ}{7}=\frac{1440^\circ}{7}=\frac{1080^\circ}{7}+\frac{360^\circ}{7}\ \checkmark$$

Ciąg jest arytmetyczny o różnicy $-\frac{360^\circ}{7}$. $\blacksquare$

Krok 1. Rozbicie na dwa podciągi. Wyrazy o numerach nieparzystych $a_1,a_3,\ldots,a_{99}$ tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q^{2}$ ($50$ wyrazów). Analogicznie wyrazy parzyste $a_2,a_4,\ldots,a_{100}$ mają pierwszy wyraz $a_1q$ i ten sam iloraz $q^{2}$.

Każdy wyraz parzysty powstaje z odpowiadającego mu nieparzystego przez pomnożenie przez $q$, więc

$$S_{\text{parz}}=q\cdot S_{\text{niep}}.$$

Krok 2. Wyznaczenie ilorazu. Z warunku zadania $S_{\text{niep}}=100\,S_{\text{parz}}$:

$$S_{\text{niep}}=100\,q\,S_{\text{niep}}.$$

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc $S_{\text{niep}}>0$ i można podzielić:

$$1=100q\ \Longrightarrow\ q=\frac{1}{100}=10^{-2}.$$

Krok 3. Druga zależność — suma logarytmów. Suma logarytmów to logarytm iloczynu:

$$\log\left(a_1a_2\cdots a_{100}\right)=100.$$

Iloczyn wyrazów ciągu geometrycznego:

$$a_1a_2\cdots a_{100}=a_1^{100}\cdot q^{0+1+2+\ldots+99}=a_1^{100}\cdot q^{4950},$$

bo $0+1+\ldots+99=\frac{99\cdot100}{2}=4950$.

Krok 4. Wyznaczenie $a_1$.

$$100\log a_1+4950\log q=100.$$

Ponieważ $\log q=\log 10^{-2}=-2$:

$$100\log a_1-9900=100\ \Longrightarrow\ 100\log a_1=10000\ \Longrightarrow\ \log a_1=100.$$

$$a_1=10^{100}.$$

Uwaga: przypadek $q=1$ jest niemożliwy — wtedy obie sumy byłyby równe, a mają się różnić stukrotnie.

Odpowiedź: $a_1=10^{100}$

Krok 1. Długość boku.

$$|AB|=\sqrt{(2-0)^{2}+\left(0-2\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{4+12}=4.$$

W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego równa się długości boku, więc $R=4$.

Krok 2. Środek okręgu. Szukamy $O=(p,q)$ spełniającego $|OA|=|OB|=4$. Z porównania obu równań otrzymujemy $p=\sqrt{3}q-2$, a po podstawieniu

$$4q^{2}-8\sqrt{3}q=0\ \Longrightarrow\ q=0\ \text{lub}\ q=2\sqrt{3}.$$

Dla $q=0$ mamy $O=(-2,0)$ i wtedy kolejny wierzchołek $C$ wypada w punkcie $\left(0,-2\sqrt3\right)$ — nie leży na osi $Ox$, więc ten przypadek odpada.

Dla $q=2\sqrt{3}$ otrzymujemy

$$O=\left(4,\ 2\sqrt{3}\right).$$

Krok 3. Położenie wierzchołków. Wierzchołki leżą na okręgu o środku $O$ i promieniu $4$, co $60^\circ$. Punkt $A$ odpowiada kątowi $180^\circ$, $B$ — kątowi $240^\circ$, więc

$$C=\left(6,0\right)\ \checkmark\ (\text{leży na } Ox),\qquad D=(8,2\sqrt3),\qquad E=\left(6,\ 4\sqrt{3}\right).$$

Krok 4. Styczna w punkcie $E$. Styczna jest prostopadła do promienia $OE$:

$$\vec{OE}=\left[2,\ 2\sqrt{3}\right]\ \parallel\ \left[1,\ \sqrt{3}\right].$$

Wektor ten jest wektorem normalnym stycznej, więc

$$1\cdot(x-6)+\sqrt{3}\left(y-4\sqrt{3}\right)=0,$$

$$x-6+\sqrt{3}y-12=0\ \Longrightarrow\ x+\sqrt{3}\,y-18=0.$$

W postaci kierunkowej:

$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+6\sqrt{3}.$$

Sprawdzenie: odległość $O$ od tej prostej wynosi $\frac{|4+6-18|}{\sqrt{1+3}}=\frac{8}{2}=4=R$ ✓

Odpowiedź: $x+\sqrt{3}\,y-18=0$

Krok 1. Odczyt danych z siatki. Podstawą jest trójkąt równoramienny

$$|AB|=48,\qquad |AC|=|BC|=40,$$

a wszystkie trzy krawędzie boczne mają długość

$$|SA|=|SB|=|SC|=65.$$

Krok 2. Pole podstawy. Wysokość trójkąta $ABC$ opuszczona na $AB$ dzieli tę podstawę na połowy:

$$h=\sqrt{40^{2}-24^{2}}=\sqrt{1600-576}=\sqrt{1024}=32.$$

$$P_{ABC}=\frac12\cdot48\cdot32=768.$$

Krok 3. Kluczowa obserwacja. Skoro wszystkie krawędzie boczne są równe, spodek wysokości ostrosłupa jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków podstawy — jest więc środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$.

Krok 4. Promień okręgu opisanego. Korzystamy ze wzoru $R=\frac{abc}{4P}$:

$$R=\frac{40\cdot40\cdot48}{4\cdot768}=\frac{76800}{3072}=25.$$

Krok 5. Wysokość ostrosłupa. Trójkąt utworzony przez wysokość, promień $R$ i krawędź boczną jest prostokątny:

$$H=\sqrt{65^{2}-25^{2}}=\sqrt{4225-625}=\sqrt{3600}=60.$$

Ciekawostka: to trójka pitagorejska $25,\,60,\,65$ (czyli $5\cdot(5,12,13)$).

Krok 6. Objętość.

$$V=\frac13\,P_{ABC}\cdot H=\frac13\cdot 768\cdot 60=768\cdot 20=15\,360.$$

Odpowiedź: $V=15\,360$

Krok 1. Pierwiastki pierwszego czynnika. Sprawdzamy $x=-1$:

$$-1+2-2+1=0\ \checkmark$$

więc $(x+1)$ jest dzielnikiem. Po podzieleniu:

$$x^{3}+2x^{2}+2x+1=(x+1)\left(x^{2}+x+1\right).$$

Trójmian $x^{2}+x+1$ ma $\Delta=1-4=-3\lt 0$, więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Pierwszy czynnik daje zatem dokładnie jeden pierwiastek: $x=-1$.

Krok 2. Pierwiastki drugiego czynnika.

$$\Delta=(2m+1)^{2}-4\left(m^{2}+m\right)=4m^{2}+4m+1-4m^{2}-4m=1.$$

Wyróżnik jest dodatni dla każdego $m$, a $\sqrt{\Delta}=1$:

$$x=\frac{(2m+1)\pm1}{2}\ \Longrightarrow\ x=m+1\quad\text{lub}\quad x=m.$$

Krok 3. Warunek trzech różnych pierwiastków. Pierwiastkami równania są $-1$, $m$, $m+1$. Muszą być parami różne:

$$m\neq-1\qquad\text{oraz}\qquad m+1\neq-1,\ \text{czyli}\ m\neq-2.$$

Krok 4. Warunek średniej arytmetycznej. Rozpatrujemy trzy przypadki.

(a) $m$ jest średnią $-1$ i $m+1$:

$$2m=-1+(m+1)=m\ \Longrightarrow\ m=0.$$

(b) $m+1$ jest średnią $-1$ i $m$:

$$2(m+1)=-1+m\ \Longrightarrow\ 2m+2=m-1\ \Longrightarrow\ m=-3.$$

(c) $-1$ jest średnią $m$ i $m+1$:

$$-2=2m+1\ \Longrightarrow\ m=-\frac32\ \text{— nie jest liczbą całkowitą, odpada.}$$

Krok 5. Weryfikacja. Obie znalezione wartości spełniają $m\neq-1$ i $m\neq-2$.

Dla $m=0$ pierwiastki to $-1,\,0,\,1$, a $0=\frac{-1+1}{2}$ ✓

Dla $m=-3$ pierwiastki to $-3,\,-2,\,-1$, a $-2=\frac{-3+(-1)}{2}$ ✓

Odpowiedź: $m=-3$ lub $m=0$

Krok 1. Przestrzeń zdarzeń. Losujemy jednocześnie trzy kule z dziesięciu, więc kolejność nie ma znaczenia:

$$|\Omega|=\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=120.$$

Krok 2. Zliczanie zdarzeń sprzyjających. Szukamy trójek $\{a,b,c\}$ takich, że $a\lt b\lt c\le 10$ oraz $c=a+b$. Dla ustalonego $a$ liczba $b$ musi spełniać $a\lt b$ oraz $a+b\le10$.

$a=1$: $b\in\{2,3,\ldots,9\}$ — 8 trójek: $(1,2,3),(1,3,4),\ldots,(1,9,10)$;

$a=2$: $b\in\{3,\ldots,8\}$ — 6 trójek: $(2,3,5),(2,4,6),\ldots,(2,8,10)$;

$a=3$: $b\in\{4,\ldots,7\}$ — 4 trójki: $(3,4,7),(3,5,8),(3,6,9),(3,7,10)$;

$a=4$: $b\in\{5,6\}$ — 2 trójki: $(4,5,9),(4,6,10)$;

$a\ge5$: warunek $a+b\le10$ przy $b>a$ jest niemożliwy — 0 trójek.

$$|A|=8+6+4+2=20.$$

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$$P(A)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}.$$

Odpowiedź: $P(A)=\frac{1}{6}$