LekcjeRazem

Krok 1. Odczyt danych z siatki. Podstawą jest trójkąt równoramienny

$$|AB|=48,\qquad |AC|=|BC|=40,$$

a wszystkie trzy krawędzie boczne mają długość

$$|SA|=|SB|=|SC|=65.$$

Krok 2. Pole podstawy. Wysokość trójkąta $ABC$ opuszczona na $AB$ dzieli tę podstawę na połowy:

$$h=\sqrt{40^{2}-24^{2}}=\sqrt{1600-576}=\sqrt{1024}=32.$$

$$P_{ABC}=\frac12\cdot48\cdot32=768.$$

Krok 3. Kluczowa obserwacja. Skoro wszystkie krawędzie boczne są równe, spodek wysokości ostrosłupa jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków podstawy — jest więc środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$.

Krok 4. Promień okręgu opisanego. Korzystamy ze wzoru $R=\frac{abc}{4P}$:

$$R=\frac{40\cdot40\cdot48}{4\cdot768}=\frac{76800}{3072}=25.$$

Krok 5. Wysokość ostrosłupa. Trójkąt utworzony przez wysokość, promień $R$ i krawędź boczną jest prostokątny:

$$H=\sqrt{65^{2}-25^{2}}=\sqrt{4225-625}=\sqrt{3600}=60.$$

Ciekawostka: to trójka pitagorejska $25,\,60,\,65$ (czyli $5\cdot(5,12,13)$).

Krok 6. Objętość.

$$V=\frac13\,P_{ABC}\cdot H=\frac13\cdot 768\cdot 60=768\cdot 20=15\,360.$$

Odpowiedź: $V=15\,360$