LekcjeRazem

Krok 1. Rozbicie na dwa podciągi. Wyrazy o numerach nieparzystych $a_1,a_3,\ldots,a_{99}$ tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q^{2}$ ($50$ wyrazów). Analogicznie wyrazy parzyste $a_2,a_4,\ldots,a_{100}$ mają pierwszy wyraz $a_1q$ i ten sam iloraz $q^{2}$.

Każdy wyraz parzysty powstaje z odpowiadającego mu nieparzystego przez pomnożenie przez $q$, więc

$$S_{\text{parz}}=q\cdot S_{\text{niep}}.$$

Krok 2. Wyznaczenie ilorazu. Z warunku zadania $S_{\text{niep}}=100\,S_{\text{parz}}$:

$$S_{\text{niep}}=100\,q\,S_{\text{niep}}.$$

Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc $S_{\text{niep}}>0$ i można podzielić:

$$1=100q\ \Longrightarrow\ q=\frac{1}{100}=10^{-2}.$$

Krok 3. Druga zależność — suma logarytmów. Suma logarytmów to logarytm iloczynu:

$$\log\left(a_1a_2\cdots a_{100}\right)=100.$$

Iloczyn wyrazów ciągu geometrycznego:

$$a_1a_2\cdots a_{100}=a_1^{100}\cdot q^{0+1+2+\ldots+99}=a_1^{100}\cdot q^{4950},$$

bo $0+1+\ldots+99=\frac{99\cdot100}{2}=4950$.

Krok 4. Wyznaczenie $a_1$.

$$100\log a_1+4950\log q=100.$$

Ponieważ $\log q=\log 10^{-2}=-2$:

$$100\log a_1-9900=100\ \Longrightarrow\ 100\log a_1=10000\ \Longrightarrow\ \log a_1=100.$$

$$a_1=10^{100}.$$

Uwaga: przypadek $q=1$ jest niemożliwy — wtedy obie sumy byłyby równe, a mają się różnić stukrotnie.

Odpowiedź: $a_1=10^{100}$