LekcjeRazem

Krok 1. Rozwinięcie lewej strony.

$$(x+1)\frac{x}{y}+(y+1)\frac{y}{x}=\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y^{2}}{x}+\frac{y}{x}.$$

Krok 2. Grupowanie. Rozdzielamy na dwie części:

$$L=\underbrace{\left(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\right)}_{S_1}+\underbrace{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)}_{S_2}.$$

Krok 3. Oszacowanie $S_2$. Dla dodatnich $x$, $y$:

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^{2}+y^{2}-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^{2}}{xy}\ge 0,$$

ponieważ licznik jest kwadratem, a mianownik dodatni. Zatem

$$S_2\ge 2.$$

Krok 4. Oszacowanie $S_1$. Oba składniki są ilorazami liczb dodatnich, więc

$$S_1=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}>0.$$

Krok 5. Złożenie.

$$L=S_1+S_2>0+2=2,$$

co kończy dowód. $\blacksquare$

Uwaga: nierówność jest ostra dla wszystkich dodatnich $x,y$ — nawet gdy $x=y$ (wtedy $S_2=2$, ale $S_1=2x>0$).