LekcjeRazem

Krok 1. Przeniesienie na jedną stronę.

$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1.$$

Krok 2. Zwinięcie do jednej funkcji. Wyłączamy $2$ przed nawias:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\right)=1.$$

Rozpoznajemy wzór na cosinus sumy, bo $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$ oraz $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\cos x\cos\frac{\pi}{6}-\sin x\sin\frac{\pi}{6}=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1\ \Longrightarrow\ \cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.$$

Krok 3. Zakres argumentu. Dla $x\in\langle0,2\pi\rangle$ mamy

$$x+\frac{\pi}{6}\in\left\langle\frac{\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6}\right\rangle.$$

Krok 4. Rozwiązania. W tym przedziale $\cos\theta=\frac12$ zachodzi dla

$$\theta=\frac{\pi}{3}\qquad\text{oraz}\qquad \theta=\frac{5\pi}{3}.$$

$$x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}.$$

Sprawdzenie: dla $x=\frac{\pi}{6}$: $\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ oraz $1+\frac12=\frac32$ ✓; dla $x=\frac{3\pi}{2}$: $\sqrt3\cdot0=0$ oraz $1-1=0$ ✓

Odpowiedź: $x=\frac{\pi}{6}$ lub $x=\frac{3\pi}{2}$