LekcjeRazem

Krok 1. Długość boku.

$$|AB|=\sqrt{(2-0)^{2}+\left(0-2\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{4+12}=4.$$

W sześciokącie foremnym promień okręgu opisanego równa się długości boku, więc $R=4$.

Krok 2. Środek okręgu. Szukamy $O=(p,q)$ spełniającego $|OA|=|OB|=4$. Z porównania obu równań otrzymujemy $p=\sqrt{3}q-2$, a po podstawieniu

$$4q^{2}-8\sqrt{3}q=0\ \Longrightarrow\ q=0\ \text{lub}\ q=2\sqrt{3}.$$

Dla $q=0$ mamy $O=(-2,0)$ i wtedy kolejny wierzchołek $C$ wypada w punkcie $\left(0,-2\sqrt3\right)$ — nie leży na osi $Ox$, więc ten przypadek odpada.

Dla $q=2\sqrt{3}$ otrzymujemy

$$O=\left(4,\ 2\sqrt{3}\right).$$

Krok 3. Położenie wierzchołków. Wierzchołki leżą na okręgu o środku $O$ i promieniu $4$, co $60^\circ$. Punkt $A$ odpowiada kątowi $180^\circ$, $B$ — kątowi $240^\circ$, więc

$$C=\left(6,0\right)\ \checkmark\ (\text{leży na } Ox),\qquad D=(8,2\sqrt3),\qquad E=\left(6,\ 4\sqrt{3}\right).$$

Krok 4. Styczna w punkcie $E$. Styczna jest prostopadła do promienia $OE$:

$$\vec{OE}=\left[2,\ 2\sqrt{3}\right]\ \parallel\ \left[1,\ \sqrt{3}\right].$$

Wektor ten jest wektorem normalnym stycznej, więc

$$1\cdot(x-6)+\sqrt{3}\left(y-4\sqrt{3}\right)=0,$$

$$x-6+\sqrt{3}y-12=0\ \Longrightarrow\ x+\sqrt{3}\,y-18=0.$$

W postaci kierunkowej:

$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+6\sqrt{3}.$$

Sprawdzenie: odległość $O$ od tej prostej wynosi $\frac{|4+6-18|}{\sqrt{1+3}}=\frac{8}{2}=4=R$ ✓

Odpowiedź: $x+\sqrt{3}\,y-18=0$