LekcjeRazem

Krok 1. Wyznaczenie $\alpha$. Suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$:

$$\alpha+2\alpha+4\alpha=180^\circ\ \Longrightarrow\ 7\alpha=180^\circ\ \Longrightarrow\ \alpha=\frac{180^\circ}{7}.$$

Krok 2. Trójkąt jest rozwartokątny. Największy kąt to

$$\angle BCA=4\alpha=\frac{720^\circ}{7}\approx 102{,}9^\circ>90^\circ,$$

więc trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny. $\blacksquare$

Krok 3. Kąty środkowe. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest dwa razy większy.

Na łuku $BC$ (nie zawierającym $A$) oparty jest kąt wpisany $\alpha$, więc kąt środkowy wynosi $2\alpha=\frac{360^\circ}{7}$ — jest wypukły.

Na łuku $AC$ (nie zawierającym $B$) oparty jest kąt wpisany $2\alpha$, więc kąt środkowy to $4\alpha=\frac{720^\circ}{7}$ — również wypukły.

Na łuku $AB$ (nie zawierającym $C$) oparty jest kąt wpisany $4\alpha$, więc odpowiadający mu kąt środkowy wynosi

$$8\alpha=\frac{1440^\circ}{7}\approx 205{,}7^\circ>180^\circ$$

— to kąt wklęsły. Kąt wypukły $ASB$ jest jego dopełnieniem do pełnego:

$$\angle ASB=360^\circ-8\alpha=\frac{2520^\circ-1440^\circ}{7}=\frac{1080^\circ}{7}.$$

Kontrola: $2\alpha+4\alpha+8\alpha=14\alpha=360^\circ$ — trzy łuki dają pełny okrąg ✓

Krok 4. Ciąg arytmetyczny. W podanej kolejności kąty wypukłe to

$$\angle ASB=\frac{1080^\circ}{7},\qquad \angle ASC=\frac{720^\circ}{7},\qquad \angle BSC=\frac{360^\circ}{7}.$$

Sprawdzamy warunek ciągu arytmetycznego (podwojony wyraz środkowy równa się sumie skrajnych):

$$2\cdot\frac{720^\circ}{7}=\frac{1440^\circ}{7}=\frac{1080^\circ}{7}+\frac{360^\circ}{7}\ \checkmark$$

Ciąg jest arytmetyczny o różnicy $-\frac{360^\circ}{7}$. $\blacksquare$