Podstawiamy \(n=2\) do wzoru rekurencyjnego:

\(a_3=a_2+2-6=a_2-4\)

Z warunku \(a_3=-1\):

\(-1=a_2-4\)

\(a_2=3\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Dziedzina.

Funkcja logarytmiczna jest określona dla \(x\gt 0\), więc rozpatrujemy tylko takie argumenty.

Krok 2. Monotoniczność funkcji.

Funkcja \(y=\log_2 x\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie (podstawa \(2\gt 1\)).

Funkcja \(y=-x+1\) jest malejąca.

Wykres funkcji rosnącej i wykres funkcji malejącej mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny.

Krok 3. Istnienie punktu wspólnego.

Dla \(x=1\): \(\log_2 1=0\), a \(-1+1=0\) — wartości są równe.

Zatem punkt \((1,0)\) jest jedynym punktem wspólnym obu wykresów.

Odpowiedź: B.

Funkcja różniczkowalna może mieć ekstremum lokalne tylko tam, gdzie jej pochodna zmienia znak.

A. \(f(x)=4x^2+5x\) — parabola o ramionach w górę, ma minimum w wierzchołku.

B. \(f'(x)=9x^2+4x=x(9x+4)\) — pochodna ma dwa różne miejsca zerowe i zmienia w nich znak, więc funkcja ma ekstrema.

C. \(f'(x)=x^2+2\)

Dla każdego \(x\) zachodzi \(x^2+2\ge 2\gt 0\), więc pochodna jest stale dodatnia i funkcja jest rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych — nie ma ekstremów ✓

D. \(f(x)=(4x+1)^2\) — parabola o ramionach w górę, ma minimum.

Odpowiedź: C.

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:

\(\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha\)

Zatem:

\(\sin\alpha+\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha+\sin\alpha=2\sin\alpha\)

Odpowiedź: C.

Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemne:

\(x\left(x^2-9\right)\ge 0\)

\(x(x-3)(x+3)\ge 0\)

Analiza znaków.

Miejsca zerowe: \(-3\), \(0\), \(3\). Współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, więc wielomian jest dodatni dla dużych \(x\), a znak zmienia się przy przejściu przez każde z miejsc zerowych:

\(x\lt -3\): wartość ujemna

\(-3\lt x\lt 0\): wartość dodatnia

\(0\lt x\lt 3\): wartość ujemna

\(x\gt 3\): wartość dodatnia

Uwzględniając miejsca zerowe (nierówność nieostra):

\(K=\langle-3,0\rangle\cup\langle 3,+\infty)\)

Odpowiedź: A.

Sposób I — interpretacja geometryczna.

\(|x|\) to odległość liczby \(x\) od \(0\), a \(|x-1025|\) — odległość od \(1025\). Nierówność oznacza, że \(x\) jest bliżej zera niż liczby \(1025\), czyli leży na lewo od środka odcinka o końcach \(0\) i \(1025\):

\(x\lt\frac{0+1025}{2}=512{,}5\)

Sposób II — podniesienie do kwadratu.

Obie strony są nieujemne, więc:

\(x^2\lt(x-1025)^2\)

\(x^2\lt x^2-2050x+1025^2\)

\(2050x\lt 1025^2\)

\(x\lt\frac{1025}{2}=512{,}5\)

Odpowiedź: największa liczba całkowita to \(512\); cyfry \(5\), \(1\), \(2\).

Krok 1. Postać ogólna prostej.

Mnożymy równanie stronami przez \(28\):

\(28y=21x-122\)

\(21x-28y-122=0\)

Krok 2. Promień jako odległość środka od stycznej.

\(r=\frac{|21\cdot 1-28\cdot(-4)-122|}{\sqrt{21^2+(-28)^2}}\)

\(=\frac{|21+112-122|}{\sqrt{441+784}}=\frac{11}{\sqrt{1225}}=\frac{11}{35}\)

Odpowiedź: \(r=\frac{11}{35}\)

Krok 1. Przekształcenie lewej strony.

\(\log_6 64=\log_6 2^6=6\log_6 2\)

Zamieniamy podstawę logarytmu na \(12\):

\(\log_6 2=\frac{\log_{12}2}{\log_{12}6}=\frac{a}{\log_{12}6}\)

Krok 2. Obliczenie \(\log_{12}6\).

\(\log_{12}6=\log_{12}\frac{12}{2}=\log_{12}12-\log_{12}2=1-a\)

Krok 3. Podstawienie.

\(\log_6 64=6\cdot\frac{a}{1-a}=\frac{6a}{1-a}\)

co należało wykazać.

Uwaga: mianownik jest różny od zera, ponieważ \(a=\log_{12}2\neq 1\) (bo \(2\neq 12\)). \(\blacksquare\)

Krok 1. Kąt przy wierzchołku \(B\).

Z sumy kątów w trójkącie \(ABC\):

\(|\angle ABC|=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\)

Krok 2. Kąt \(DFE\) w okręgu \(o_1\).

Punkty \(A\), \(D\), \(F\), \(E\) leżą na okręgu \(o_1\), więc czworokąt \(ADFE\) jest wpisany w okrąg. Przeciwległe kąty sumują się do \(180^\circ\):

\(|\angle DFE|=180^\circ-|\angle DAE|=180^\circ-50^\circ=130^\circ\)

Krok 3. Kąt \(DFG\) w okręgu \(o_2\).

Punkty \(B\), \(D\), \(F\), \(G\) leżą na okręgu \(o_2\), więc czworokąt \(BDFG\) jest wpisany w okrąg:

\(|\angle DFG|=180^\circ-|\angle DBG|=180^\circ-70^\circ=110^\circ\)

Krok 4. Kąt \(EFG\).

Punkt \(F\) leży wewnątrz trójkąta, a półproste \(FD\), \(FE\), \(FG\) wychodzą z niego w trzech różnych kierunkach, więc kąty \(DFE\), \(DFG\) i \(EFG\) tworzą kąt pełny:

\(|\angle EFG|=360^\circ-130^\circ-110^\circ=120^\circ\)

Krok 5. Warunek wpisania czworokąta w okrąg.

W czworokącie \(CEFG\) kąty przy wierzchołkach \(C\) i \(F\) są przeciwległe:

\(|\angle ECG|+|\angle EFG|=60^\circ+120^\circ=180^\circ\)

Suma przeciwległych kątów jest równa \(180^\circ\), więc na czworokącie \(CEFG\) można opisać okrąg. \(\blacksquare\)

Krok 1. Przekształcenie prawej strony.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\):

\(\cos^2 x-3\sin^2 x=1-\sin^2 x-3\sin^2 x=1-4\sin^2 x=-\left(4\sin^2 x-1\right)\)

Krok 2. Rozkład na czynniki.

Równanie przyjmuje postać:

\(\left(4\sin^2 x-1\right)\sin x+\left(4\sin^2 x-1\right)=0\)

\(\left(4\sin^2 x-1\right)\left(\sin x+1\right)=0\)

\((2\sin x-1)(2\sin x+1)(\sin x+1)=0\)

Krok 3. Rozwiązanie w przedziale \((-\pi,0)\).

Dla \(x\in(-\pi,0)\) mamy \(\sin x\lt 0\), więc równanie \(\sin x=\frac{1}{2}\) nie ma tu rozwiązań.

\(\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}\) lub \(x=-\frac{5\pi}{6}\)

\(\sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}\)

Odpowiedź: \(x=-\frac{5\pi}{6}\), \(x=-\frac{\pi}{2}\), \(x=-\frac{\pi}{6}\)

Krok 1. Przeciwprostokątna i promień okręgu wpisanego.

\(c=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=25\)

Dla trójkąta prostokątnego:

\(r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{15+20-25}{2}=5\)

Krok 2. Układ współrzędnych.

Umieśćmy wierzchołek kąta prostego w punkcie \(C=(0,0)\), a przyprostokątne na osiach:

\(A=(20,0)\), \(\;B=(0,15)\)

Środek okręgu wpisanego jest oddalony o \(r=5\) od obu przyprostokątnych, więc \(I=(5,5)\).

Krok 3. Punkt styczności z przeciwprostokątną.

Prosta \(AB\): \(\frac{x}{20}+\frac{y}{15}=1\), czyli \(3x+4y-60=0\).

Punkt styczności \(T\) jest rzutem prostokątnym punktu \(I\) na tę prostą:

\(3\cdot 5+4\cdot 5-60=-25\), \(\;\sqrt{3^2+4^2}=5\)

\(T=I-\frac{-25}{25}\cdot[3,4]=(5,5)+(3,4)=(8,9)\)

Sprawdzenie: \(|IT|=\sqrt{3^2+4^2}=5=r\) ✓

Krok 4. Szukana długość.

\(|CT|=\sqrt{8^2+9^2}=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}\)

Odpowiedź: \(\sqrt{145}\approx 12{,}04\)

Krok 1. Wprowadzenie wektorów.

Przyjmijmy punkt \(C\) za początek układu i oznaczmy \(\vec{b}=\vec{CB}\), \(\vec{c}=\vec{CA}\).

Punkt \(D\) jest środkiem boku \(AC\), więc \(\vec{CD}=\frac{1}{2}\vec{c}\).

Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\):

\(\vec{CS}=\frac{1}{2}\left(\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}\right)=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}\)

Krok 2. Punkt \(P\) jako przecięcie prostej \(AS\) z bokiem \(BC\).

Punkt na prostej \(AS\): \(\vec{CX}=\vec{c}+s\left(\vec{CS}-\vec{c}\right)=\vec{c}+s\left(\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{3}{4}\vec{c}\right)\)

Punkt na prostej \(BC\): \(\vec{CX}=t\,\vec{b}\)

Porównujemy współczynniki przy \(\vec{b}\) i \(\vec{c}\) (wektory te nie są równoległe):

przy \(\vec{c}\): \(1-\frac{3}{4}s=0\Rightarrow s=\frac{4}{3}\)

przy \(\vec{b}\): \(t=\frac{1}{2}s=\frac{2}{3}\)

Krok 3. Wniosek.

\(\vec{CP}=\frac{2}{3}\vec{b}=\frac{2}{3}\vec{CB}\)

Zatem \(|CP|=\frac{2}{3}|CB|=\frac{2}{3}a\), co należało wykazać. \(\blacksquare\)

Krok 1. Wszystkie liczby pięciocyfrowe parzyste.

Pierwsza cyfra: \(9\) możliwości; trzy środkowe: po \(10\); ostatnia (parzysta): \(5\) możliwości.

\(9\cdot 10^3\cdot 5=45\,000\)

Krok 2. Liczby z co najmniej trzema dwójkami — dopełnienie.

Liczymy, na ile sposobów można wybrać zbiór pozycji, na których stoi cyfra \(2\); pozostałe pozycje muszą mieć cyfrę różną od \(2\):

pierwsza pozycja bez dwójki — \(8\) możliwości, środkowa bez dwójki — \(9\), ostatnia (parzysta) bez dwójki — \(4\).

Dokładnie trzy dwójki:

• na pierwszej, ostatniej i jednej środkowej: \(3\cdot 9^2=243\)

• na pierwszej i dwóch środkowych: \(3\cdot 4\cdot 9=108\)

• na ostatniej i dwóch środkowych: \(3\cdot 8\cdot 9=216\)

• na trzech środkowych: \(1\cdot 8\cdot 4=32\)

Razem: \(243+108+216+32=599\)

Dokładnie cztery dwójki:

• pierwsza, ostatnia i dwie środkowe: \(3\cdot 9=27\)

• pierwsza i trzy środkowe: \(4\)

• ostatnia i trzy środkowe: \(8\)

Razem: \(27+4+8=39\)

Pięć dwójek: liczba \(22222\) — \(1\)

Łącznie z co najmniej trzema dwójkami: \(599+39+1=639\)

Krok 3. Wynik.

\(45\,000-639=44\,361\)

Odpowiedź: takich liczb jest \(44\,361\).

Krok 1. Położenie spodka wysokości.

Wszystkie krawędzie boczne mają równą długość, więc spodek wysokości \(O\) jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków podstawy — jest środkiem okręgu opisanego na trapezie \(ABCD\).

Krok 2. Promień okręgu opisanego.

W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty (\(AC\perp BC\)), a \(|\angle CAB|=30^\circ\). Kąt prosty \(ACB\) jest kątem wpisanym, więc opiera się na półokręgu — bok \(AB\) jest średnicą okręgu opisanego.

\(|AB|=\frac{|AC|}{\cos 30^\circ}=\frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=16\)

Zatem \(R=|OD|=8\), a punkt \(O\) jest środkiem odcinka \(AB\).

Krok 3. Wysokość ostrosłupa.

Z trójkąta prostokątnego \(SOD\) (kąt prosty przy \(O\), bo \(SO\) jest wysokością ostrosłupa):

\(|SO|=\sqrt{|SD|^2-|OD|^2}=\sqrt{\left(4\sqrt{5}\right)^2-8^2}=\sqrt{80-64}=4\)

Krok 4. Odległość punktu \(O\) od krawędzi \(SD\).

W trójkącie prostokątnym \(SOD\) szukana odległość to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną:

\(d=\frac{|SO|\cdot|OD|}{|SD|}=\frac{4\cdot 8}{4\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}\)

Odpowiedź: \(\frac{8\sqrt{5}}{5}\approx 3{,}58\)

Oznaczmy \(a=\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}\), \(\;b=-(m-2)\), \(\;c=m-5\); zakładamy \(m\neq 5\).

Warunek I: funkcja przyjmuje wartość największą.

Funkcja kwadratowa ma wartość największą, gdy \(a\lt 0\):

\(\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}\lt 0\)

Analiza znaków (punkty krytyczne \(-3\), \(2\), \(5\)) daje:

\(m\in(-\infty,-3)\cup(2,5)\)

Warunek II: dwa różne miejsca zerowe.

\(\Delta=(m-2)^2-4\cdot\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}\cdot(m-5)=(m-2)^2-4(m+3)(m-2)\)

\(=(m-2)\left[(m-2)-4(m+3)\right]=(m-2)(-3m-14)\)

\(\Delta\gt 0\iff(m-2)(3m+14)\lt 0\iff m\in\left(-\frac{14}{3},2\right)\)

Warunek III: miejsca zerowe tego samego znaku.

\(x_1\cdot x_2\gt 0\), czyli \(\frac{c}{a}\gt 0\):

\(\frac{m-5}{\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}}=\frac{(m-5)^2}{(m+3)(m-2)}\gt 0\)

Ponieważ \((m-5)^2\gt 0\) dla \(m\neq 5\), warunek sprowadza się do \((m+3)(m-2)\gt 0\):

\(m\in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\)

Część wspólna.

\(\left[(-\infty,-3)\cup(2,5)\right]\cap\left(-\frac{14}{3},2\right)\cap\left[(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\right]=\left(-\frac{14}{3},-3\right)\)

Ponieważ \(-\frac{14}{3}\approx-4{,}67\), jedyną liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(m=-4\).

Sprawdzenie dla \(m=-4\): \(a=\frac{(-1)(-6)}{-9}=-\frac{2}{3}\lt 0\) ✓, \(\Delta=(-6)(-2)=12\gt 0\) ✓, \(\frac{c}{a}=\frac{-9}{-\frac{2}{3}}=13{,}5\gt 0\) ✓

Odpowiedź: \(m=-4\)

Krok 1. Zależności między wielkościami.

Niech \(r\) będzie promieniem podstawy, \(l\) — tworzącą, \(h\) — wysokością. Z warunku zadania \(l=2-r\), przy czym \(0\lt r\lt 2\).

Z twierdzenia Pitagorasa:

\(h^2=l^2-r^2=(2-r)^2-r^2=4-4r\)

Stąd \(r=1-\frac{h^2}{4}\), a warunek \(r\gt 0\) daje \(h\in(0,2)\).

Krok 2. Objętość jako funkcja wysokości.

\(V(h)=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi\left(1-\frac{h^2}{4}\right)^2 h=\frac{\pi}{48}\,h\left(4-h^2\right)^2\)

Krok 3. Badanie funkcji.

\(V'(h)=\frac{\pi}{48}\left[\left(4-h^2\right)^2+h\cdot 2\left(4-h^2\right)\cdot(-2h)\right]\)

\(=\frac{\pi}{48}\left(4-h^2\right)\left[\left(4-h^2\right)-4h^2\right]=\frac{\pi}{48}\left(4-h^2\right)\left(4-5h^2\right)\)

W przedziale \((0,2)\) czynnik \(4-h^2\) jest dodatni, więc o znaku pochodnej decyduje \(4-5h^2\):

\(V'(h)=0\iff h=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(V'(h)\gt 0\) dla \(h\in\left(0,\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\), \(\;V'(h)\lt 0\) dla \(h\in\left(\frac{2\sqrt{5}}{5},2\right)\)

Zatem objętość jest największa dla \(h=\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

Krok 4. Największa objętość.

\(r=1-\frac{h^2}{4}=1-\frac{\frac{4}{5}}{4}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)

\(V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{4}{5}\right)^2\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{16}{25}\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{32\sqrt{5}\,\pi}{375}\)

Odpowiedź: \(h=\frac{2\sqrt{5}}{5}\), a największa objętość wynosi \(\frac{32\sqrt{5}\,\pi}{375}\).