LekcjeRazem

Krok 1. Przeciwprostokątna i promień okręgu wpisanego.

\(c=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=25\)

Dla trójkąta prostokątnego:

\(r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{15+20-25}{2}=5\)

Krok 2. Układ współrzędnych.

Umieśćmy wierzchołek kąta prostego w punkcie \(C=(0,0)\), a przyprostokątne na osiach:

\(A=(20,0)\), \(\;B=(0,15)\)

Środek okręgu wpisanego jest oddalony o \(r=5\) od obu przyprostokątnych, więc \(I=(5,5)\).

Krok 3. Punkt styczności z przeciwprostokątną.

Prosta \(AB\): \(\frac{x}{20}+\frac{y}{15}=1\), czyli \(3x+4y-60=0\).

Punkt styczności \(T\) jest rzutem prostokątnym punktu \(I\) na tę prostą:

\(3\cdot 5+4\cdot 5-60=-25\), \(\;\sqrt{3^2+4^2}=5\)

\(T=I-\frac{-25}{25}\cdot[3,4]=(5,5)+(3,4)=(8,9)\)

Sprawdzenie: \(|IT|=\sqrt{3^2+4^2}=5=r\) ✓

Krok 4. Szukana długość.

\(|CT|=\sqrt{8^2+9^2}=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}\)

Odpowiedź: \(\sqrt{145}\approx 12{,}04\)