LekcjeRazem

Krok 1. Położenie spodka wysokości.

Wszystkie krawędzie boczne mają równą długość, więc spodek wysokości \(O\) jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków podstawy — jest środkiem okręgu opisanego na trapezie \(ABCD\).

Krok 2. Promień okręgu opisanego.

W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty (\(AC\perp BC\)), a \(|\angle CAB|=30^\circ\). Kąt prosty \(ACB\) jest kątem wpisanym, więc opiera się na półokręgu — bok \(AB\) jest średnicą okręgu opisanego.

\(|AB|=\frac{|AC|}{\cos 30^\circ}=\frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=16\)

Zatem \(R=|OD|=8\), a punkt \(O\) jest środkiem odcinka \(AB\).

Krok 3. Wysokość ostrosłupa.

Z trójkąta prostokątnego \(SOD\) (kąt prosty przy \(O\), bo \(SO\) jest wysokością ostrosłupa):

\(|SO|=\sqrt{|SD|^2-|OD|^2}=\sqrt{\left(4\sqrt{5}\right)^2-8^2}=\sqrt{80-64}=4\)

Krok 4. Odległość punktu \(O\) od krawędzi \(SD\).

W trójkącie prostokątnym \(SOD\) szukana odległość to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną:

\(d=\frac{|SO|\cdot|OD|}{|SD|}=\frac{4\cdot 8}{4\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}\)

Odpowiedź: \(\frac{8\sqrt{5}}{5}\approx 3{,}58\)