LekcjeRazem

Oznaczmy \(a=\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}\), \(\;b=-(m-2)\), \(\;c=m-5\); zakładamy \(m\neq 5\).

Warunek I: funkcja przyjmuje wartość największą.

Funkcja kwadratowa ma wartość największą, gdy \(a\lt 0\):

\(\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}\lt 0\)

Analiza znaków (punkty krytyczne \(-3\), \(2\), \(5\)) daje:

\(m\in(-\infty,-3)\cup(2,5)\)

Warunek II: dwa różne miejsca zerowe.

\(\Delta=(m-2)^2-4\cdot\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}\cdot(m-5)=(m-2)^2-4(m+3)(m-2)\)

\(=(m-2)\left[(m-2)-4(m+3)\right]=(m-2)(-3m-14)\)

\(\Delta\gt 0\iff(m-2)(3m+14)\lt 0\iff m\in\left(-\frac{14}{3},2\right)\)

Warunek III: miejsca zerowe tego samego znaku.

\(x_1\cdot x_2\gt 0\), czyli \(\frac{c}{a}\gt 0\):

\(\frac{m-5}{\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}}=\frac{(m-5)^2}{(m+3)(m-2)}\gt 0\)

Ponieważ \((m-5)^2\gt 0\) dla \(m\neq 5\), warunek sprowadza się do \((m+3)(m-2)\gt 0\):

\(m\in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\)

Część wspólna.

\(\left[(-\infty,-3)\cup(2,5)\right]\cap\left(-\frac{14}{3},2\right)\cap\left[(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\right]=\left(-\frac{14}{3},-3\right)\)

Ponieważ \(-\frac{14}{3}\approx-4{,}67\), jedyną liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(m=-4\).

Sprawdzenie dla \(m=-4\): \(a=\frac{(-1)(-6)}{-9}=-\frac{2}{3}\lt 0\) ✓, \(\Delta=(-6)(-2)=12\gt 0\) ✓, \(\frac{c}{a}=\frac{-9}{-\frac{2}{3}}=13{,}5\gt 0\) ✓

Odpowiedź: \(m=-4\)