Ustalamy znaki wyrażeń pod wartością bezwzględną. Ponieważ \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\), mamy:

\(\sqrt{5}-3\lt 0\), więc \(\left|\sqrt{5}-3\right|=3-\sqrt{5}\)

\(\sqrt{5}-1\gt 0\), więc \(\left|\sqrt{5}-1\right|=\sqrt{5}-1\)

Dodajemy:

\(3-\sqrt{5}+\sqrt{5}-1=2\)

Odpowiedź: C.

Zapisujemy podstawy jako potęgi liczby \(5\):

\(25^{-2}=\left(5^2\right)^{-2}=5^{-4}\)

\(125^{-4}=\left(5^3\right)^{-4}=5^{-12}\)

Dzielimy potęgi o tej samej podstawie:

\(\frac{5^{-4}}{5^{-12}}=5^{-4-(-12)}=5^{8}\)

Odpowiedź: D.

Wyłączamy czynniki przed znak pierwiastka sześciennego:

\(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}\)

\(\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot 3}=4\sqrt[3]{3}\)

Dodajemy wyrazy podobne:

\(2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}\)

Odpowiedź: C.

Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:

\(\log_3 2-\log_3 18=\log_3\frac{2}{18}=\log_3\frac{1}{9}\)

Ponieważ \(\frac{1}{9}=3^{-2}\):

\(\log_3 3^{-2}=-2\)

Odpowiedź: A.

Zapisujemy pierwszą potęgę przy podstawie \(2\):

\(8^{50}=\left(2^3\right)^{50}=2^{150}\)

Zatem:

\(8^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}\)

Wyłączamy wspólny czynnik \(2^{145}\):

\(2^{150}-2^{145}=2^{145}\left(2^{5}-1\right)=2^{145}\cdot(32-1)=2^{145}\cdot 31\)

Otrzymana liczba jest iloczynem liczby naturalnej \(2^{145}\) i liczby \(31\), a więc jest podzielna przez \(31\). \(\blacksquare\)

Sposób I — rozwinięcie kwadratów.

\((3x+y)^2=9x^2+6xy+y^2\)

\((3x-y)^2=9x^2-6xy+y^2\)

\((3x+y)^2-(3x-y)^2=12xy\)

Sposób II — wzór na różnicę kwadratów.

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) dla \(a=3x+y\), \(b=3x-y\):

\(\left[(3x+y)-(3x-y)\right]\cdot\left[(3x+y)+(3x-y)\right]=2y\cdot 6x=12xy\)

Odpowiedź: A.

Mnożymy obie strony nierówności przez \(2\):

\(6-2x\ge 5x-1\)

\(6+1\ge 5x+2x\)

\(7\ge 7x\)

\(x\le 1\)

Zbiorem rozwiązań jest przedział \((-\infty,1]\).

Odpowiedź: A.

Krok 1. Sprowadzenie do równania kwadratowego.

Mnożymy na krzyż (mianowniki są różne od zera):

\(3(x-8)=5x(3x-7)\)

\(3x-24=15x^2-35x\)

\(15x^2-38x+24=0\)

Krok 2. Rozwiązanie równania kwadratowego.

\(\Delta=(-38)^2-4\cdot 15\cdot 24=1444-1440=4\), \(\;\sqrt{\Delta}=2\)

\(x_1=\frac{38-2}{30}=\frac{36}{30}=\frac{6}{5}\), \(\;x_2=\frac{38+2}{30}=\frac{40}{30}=\frac{4}{3}\)

Obie liczby spełniają założenia \(x\neq\frac{7}{3}\) i \(x\neq 8\).

Krok 3. Wybór rozwiązań z przedziału \(\left(\frac{5}{4},+\infty\right)\).

\(\frac{5}{4}=1{,}25\); \(\;\frac{6}{5}=1{,}2\lt 1{,}25\) — odrzucamy; \(\;\frac{4}{3}\approx 1{,}33\gt 1{,}25\) — przyjmujemy.

Odpowiedź: \(x=\frac{4}{3}\)

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

\(-3x^2-6x+9\gt 0\)

Dzielimy obie strony przez \((-3)\) i zmieniamy zwrot nierówności:

\(x^2+2x-3\lt 0\)

Obliczamy pierwiastki trójmianu:

\(\Delta=4+12=16\), \(\;\sqrt{\Delta}=4\)

\(x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\), \(\;x_2=\frac{-2+4}{2}=1\)

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami.

Odpowiedź: \(x\in(-3,1)\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś z czynników jest zerem:

\(3x-12=0\Rightarrow x=4\)

\(10+5x=0\Rightarrow x=-2\)

\(x-3=0\Rightarrow x=3\)

Sumujemy rozwiązania:

\(4+(-2)+3=5\)

Odpowiedź: C.

Krok 1. Układ równań.

\(\begin{cases}x+y=75\\ 11x+7{,}98y=752{,}52\end{cases}\)

Krok 2. Metoda podstawiania.

Z pierwszego równania \(y=75-x\). Podstawiamy do drugiego:

\(11x+7{,}98(75-x)=752{,}52\)

\(11x+598{,}5-7{,}98x=752{,}52\)

\(3{,}02x=154{,}02\)

\(x=\frac{154{,}02}{3{,}02}=51\)

Sprawdzenie: \(y=24\); \(\;11\cdot 51+7{,}98\cdot 24=561+191{,}52=752{,}52\) ✓

Odpowiedź: właściciel kupił \(51\) kg pomidorów malinowych.

1. Miejsce zerowe.

Sprawdzamy oba wzory:

dla \(x\in(-5,-3]\): \(-2x-10=0\Rightarrow x=-5\), ale \(-5\) nie należy do tego przedziału — odrzucamy,

dla \(x\in(-3,4]\): \(x-1=0\Rightarrow x=1\), a \(1\in(-3,4]\) ✓

Miejscem zerowym jest liczba \(1\).

2. Wartość wyrażenia.

Liczby \(-2\) oraz \(2\) należą do przedziału \((-3,4]\), więc korzystamy ze wzoru \(f(x)=x-1\):

\(f(-2)=-2-1=-3\)

\(f(2)=2-1=1\)

\(f(-2)+3\cdot f(2)=-3+3\cdot 1=0\)

Odpowiedź: 1. \(1\), 2. \(0\)

1. Zbiór wartości.

Na przedziale \((-5,-3]\) funkcja \(f(x)=-2x-10\) jest malejąca: dla \(x\) bliskich \(-5\) wartości są bliskie \(0\) (ale \(0\) nie jest osiągane), a dla \(x=-3\) mamy \(f(-3)=-4\). Otrzymujemy wartości z przedziału \([-4,0)\).

Na przedziale \((-3,4]\) funkcja \(f(x)=x-1\) jest rosnąca: wartości od \(-4\) (nieosiągane) do \(f(4)=3\), czyli \((-4,3]\).

Sumujemy oba zbiory:

\([-4,0)\cup(-4,3]=[-4,3]\)

2. Nierówność \(f(x)\lt -2\).

Na \((-5,-3]\): \(-2x-10\lt -2\Rightarrow -2x\lt 8\Rightarrow x\gt -4\), czyli \((-4,-3]\).

Na \((-3,4]\): \(x-1\lt -2\Rightarrow x\lt -1\), czyli \((-3,-1)\).

Łączymy:

\((-4,-3]\cup(-3,-1)=(-4,-1)\)

Odpowiedź: 1. \([-4,3]\), 2. \((-4,-1)\)

Funkcja liniowa ma wzór \(g(x)=ax+b\). Z warunku \(g(0)=-\frac{3}{2}\) odczytujemy wyraz wolny:

\(b=-\frac{3}{2}\)

Z warunku \(g(-3)=0\):

\(a\cdot(-3)-\frac{3}{2}=0\)

\(-3a=\frac{3}{2}\)

\(a=-\frac{1}{2}\)

Zatem \(g(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\).

Odpowiedź: A.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej leżą symetrycznie względem osi symetrii wykresu. Jedno z nich jest równe \(6\) i leży w odległości \(6-1=5\) od prostej \(x=1\), więc drugie miejsce zerowe to:

\(1-5=-4\)

Zapisujemy postać iloczynową ze współczynnikiem \(a=\frac{1}{2}\):

\(f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)\)

Odpowiedź: C.

Korzystamy z postaci iloczynowej wyznaczonej w poprzedniej części: \(f(x)=\frac{1}{2}(x+4)(x-6)\). Doprowadzamy ją do postaci ogólnej:

\(f(x)=\frac{1}{2}\left(x^2-2x-24\right)=\frac{1}{2}x^2-x-12\)

Odczytujemy współczynniki:

\(b=-1\), \(\;c=-12\)

Stwierdzenie 1. \(b=-1\lt 0\), więc jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. \(c=-12\lt 0\), więc jest fałszywe (F).

Uwaga: współczynnik \(b\) można też wyznaczyć z równania osi symetrii \(x_w=-\frac{b}{2a}=1\), skąd \(b=-2a=-1\).

Odpowiedź: F, F.

Wykres funkcji \(g(x)=f(x-3)\) powstaje z wykresu funkcji \(f\) przez przesunięcie o \(3\) jednostki w prawo wzdłuż osi \(Ox\).

Razem z wykresem przesuwa się jego oś symetrii:

\(x=1\;\to\;x=1+3=4\)

Odpowiedź: D.

Podstawiamy \(n=6\) do wzoru ciągu:

\(a_6=\frac{32\cdot(-1)^6}{2^{6-1}}=\frac{32\cdot 1}{2^5}=\frac{32}{32}=1\)

Odpowiedź: C.

Korzystamy z zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego:

\(a_{10}=a_6+4r\)

Podstawiamy \(a_{10}=-24\) oraz \(r=-4\):

\(-24=a_6+4\cdot(-4)\)

\(-24=a_6-16\)

\(a_6=-8\)

Odpowiedź: B.

W ciągu geometrycznym o ilorazie \(q\) zachodzi \(a_6=a_3\cdot q^3\). Podstawiamy do warunku zadania:

\(a_3=-8\cdot a_3\cdot q^3\)

Ponieważ \(a_3\neq 0\), dzielimy obie strony przez \(a_3\):

\(1=-8q^3\)

\(q^3=-\frac{1}{8}\)

\(q=-\frac{1}{2}\)

Odpowiedź: B.

Ciąg arytmetyczny. Wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich:

\(1=\frac{\sqrt{5}+x}{2}\)

\(x=2-\sqrt{5}\)

Ponieważ \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\gt 2\), mamy \(x\lt 0\).

Ciąg geometryczny. Kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi sąsiednich:

\(1^2=\sqrt{5}\cdot y\)

\(y=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\gt 0\)

Zatem \(x\lt 0\) i \(y\gt 0\).

Odpowiedź: B.

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy sinus (kąt jest ostry, więc \(\sin\alpha\gt 0\)):

\(\sin^2\alpha=1-\left(\frac{5}{13}\right)^2=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}\)

\(\sin\alpha=\frac{12}{13}\)

Obliczamy tangens:

\(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}=\frac{12}{5}\)

Odpowiedź: D.

Korzystamy z wartości funkcji trygonometrycznych kątów \(30^\circ\) i \(60^\circ\):

\(\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\), \(\;\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\), \(\;\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\;\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Podstawiamy:

\(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\)

Uwaga: to szczególny przypadek wzoru \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\), tu \(\sin 90^\circ=1\).

Odpowiedź: D.

Sposób I — kąt środkowy i wpisany.

Kąt \(BDA\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(AB\), a kąt \(BSA\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku. Kąt środkowy jest dwa razy większy:

\(|\angle BSA|=2\cdot 40^\circ=80^\circ\)

Sposób II — trójkąt równoramienny.

Odcinek \(BD\) jest średnicą, więc kąt \(BAD\) jest prosty (kąt wpisany oparty na półokręgu). W trójkącie \(ABD\):

\(|\angle ABD|=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ\)

Trójkąt \(ASB\) jest równoramienny (\(|SA|=|SB|=36\)), więc \(|\angle SAB|=|\angle SBA|=50^\circ\) i

\(|\angle BSA|=180^\circ-2\cdot 50^\circ=80^\circ\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Miara kąta wpisanego \(CDB\).

Odcinek \(BD\) jest średnicą okręgu, więc kąt \(BCD\) jest prosty. W trójkącie \(BCD\):

\(|\angle CDB|=180^\circ-90^\circ-65^\circ=25^\circ\)

Krok 2. Kąt środkowy oparty na łuku \(BC\).

\(|\angle BSC|=2\cdot 25^\circ=50^\circ\)

Krok 3. Długość łuku.

Długość okręgu: \(2\pi r=2\pi\cdot 36=72\pi\). Łuk stanowi \(\frac{50^\circ}{360^\circ}\) obwodu:

\(l=72\pi\cdot\frac{50}{360}=72\pi\cdot\frac{5}{36}=10\pi\)

Odpowiedź: B.

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwoma bokami i kątem między nimi:

\(P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\sin|\angle CAB|\)

\(P=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot\sin 60^\circ=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\)

Odpowiedź: B.

Stosujemy twierdzenie cosinusów dla boku \(BC\) leżącego naprzeciw kąta \(60^\circ\):

\(|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2-2\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\cos 60^\circ\)

\(|BC|^2=36+16-2\cdot 6\cdot 4\cdot\frac{1}{2}\)

\(|BC|^2=52-24=28\)

\(|BC|=\sqrt{28}\)

Odpowiedź: A.

Stwierdzenie 1. Trójkąty \(ABC\) i \(ABD\) mają wspólną podstawę \(AB\) i równe wysokości (wierzchołki \(C\) i \(D\) leżą na prostej równoległej do \(AB\)), więc mają równe pola. Odejmując od nich wspólny trójkąt \(ABE\), otrzymujemy:

\(P_{BCE}=P_{ABC}-P_{ABE}=P_{ABD}-P_{ABE}=P_{AED}\)

Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są podobne (kąty naprzemianległe przy prostych równoległych \(AB\) i \(CD\)) w skali:

\(k=\frac{|AB|}{|CD|}=2\)

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:

\(\frac{P_{ABE}}{P_{CDE}}=k^2=4\)

Pole trójkąta \(ABE\) jest więc cztery, a nie dwa razy większe — stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, F.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:

\(3-m=m+3\)

\(-2m=0\)

\(m=0\)

Sprawdzenie: dla \(m=0\) mamy \(k:\;y=3x+5\) oraz \(l:\;y=3x-4\) — proste są równoległe i różne ✓

Odpowiedź: \(m=0\)

Z równania okręgu odczytujemy:

środek \(S=(1,-3)\), promień \(r=2\)

Stwierdzenie 1. Odległość środka od osi \(Ox\) jest równa \(|-3|=3\). Ponieważ \(3\gt 2=r\), okrąg nie ma punktów wspólnych z osią \(Ox\) — stwierdzenie prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Odległość środka od osi \(Oy\) jest równa \(|1|=1\). Ponieważ \(1\lt 2=r\), okrąg przecina oś \(Oy\) w dwóch punktach — stwierdzenie prawdziwe (P).

Sprawdzenie: dla \(x=0\) otrzymujemy \(1+(y+3)^2=4\), czyli \((y+3)^2=3\) — dwa rozwiązania ✓

Odpowiedź: P, P.

Krok 1. Krawędź podstawy.

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(a\), którego wysokość wyraża się wzorem \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\):

\(\frac{a\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

\(a=4\)

Krok 2. Wysokość graniastosłupa.

Ściana \(ABED\) jest prostokątem o bokach \(|AB|=a=4\) i \(|BE|=H\). Przekątna \(AE\) tworzy z krawędzią \(AB\) kąt \(60^\circ\), a trójkąt \(ABE\) jest prostokątny (kąt przy wierzchołku \(B\) jest prosty):

\(\operatorname{tg}60^\circ=\frac{H}{a}\)

\(H=4\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

Krok 3. Objętość.

Pole podstawy: \(P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}\)

\(V=P_p\cdot H=4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=16\cdot 3=48\)

Krok 4. Pole powierzchni całkowitej.

\(P_c=2P_p+P_b=2\cdot 4\sqrt{3}+3\cdot a\cdot H\)

\(P_c=8\sqrt{3}+3\cdot 4\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}+48\sqrt{3}=56\sqrt{3}\)

Odpowiedź: \(V=48\), \(P_c=56\sqrt{3}\)

Korzystamy ze wzoru na objętość walca:

\(V=\pi r^2 h\)

Podstawiamy \(r=2\) oraz \(V=16\pi^2\):

\(\pi\cdot 2^2\cdot h=16\pi^2\)

\(4\pi h=16\pi^2\)

\(h=\frac{16\pi^2}{4\pi}=4\pi\)

Odpowiedź: D.

Cyfry nieparzyste to \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\).

Liczba ma postać \(\overline{abc}\), gdzie wszystkie cyfry są nieparzyste i liczba jest większa od \(500\). Warunek \(\overline{abc}\gt 500\) oznacza, że cyfra setek musi być nie mniejsza niż \(5\), czyli:

\(a\in\{5,7,9\}\) — \(3\) możliwości

(każda taka liczba, np. najmniejsza \(511\), jest większa od \(500\)).

Cyfry \(b\) oraz \(c\) mogą być dowolnymi cyframi nieparzystymi:

\(b\) — \(5\) możliwości, \(c\) — \(5\) możliwości

Z reguły mnożenia:

\(3\cdot 5\cdot 5=75\)

Odpowiedź: C.

Krok 1. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

Każdy rzut daje \(6\) wyników, więc z reguły mnożenia:

\(|\Omega|=6\cdot 6=36\)

Krok 2. Zdarzenia sprzyjające.

Liczba ma być nieparzysta, więc cyfra jedności należy do zbioru \(\{1,3,5\}\), oraz podzielna przez \(3\), czyli suma cyfr ma być podzielna przez \(3\). Wypisujemy pasujące liczby:

\(21\), \(51\), \(33\), \(63\), \(15\), \(45\)

\(|A|=6\)

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)

Odpowiedź: \(P(A)=\frac{1}{6}\)

Z diagramu odczytujemy liczby samochodów dla kolejnych liczb usterek:

\(1\) usterka — \(16\) samochodów, \(2\) usterki — \(10\), \(3\) usterki — \(6\), \(4\) usterki — \(2\), \(5\) usterek — \(2\).

Łącznie: \(16+10+6+2+2=36\) samochodów.

1. Dominanta.

Najczęściej występująca liczba usterek to \(1\) (aż \(16\) samochodów), więc dominanta jest równa \(1\).

2. Średnia arytmetyczna.

Sumujemy wszystkie wykryte usterki:

\(1\cdot 16+2\cdot 10+3\cdot 6+4\cdot 2+5\cdot 2=16+20+18+8+10=72\)

\(\bar{x}=\frac{72}{36}=2\)

3. Procent.

Co najmniej dwie usterki wykryto w:

\(10+6+2+2=20\) samochodach

Dokładnie jedną usterkę wykryto w \(16\) samochodach, zatem:

\(\frac{20}{16}=1{,}25=125\%\)

Odpowiedź: 1. \(1\), 2. \(2\), 3. \(125\)

Krok 1. Miejsca zerowe funkcji \(P\).

Funkcja \(P\) jest funkcją kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej:

\(80-x=0\Rightarrow x=80\)

\(120+5x=0\Rightarrow x=-24\)

Krok 2. Wierzchołek paraboli.

Po wymnożeniu współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(-5\lt 0\), więc parabola ma ramiona skierowane w dół i funkcja osiąga największą wartość w wierzchołku:

\(x_w=\frac{80+(-24)}{2}=\frac{56}{2}=28\)

Liczba \(28\) jest całkowita i spełnia warunki \(0\le x\le 80\).

Krok 3. Cena.

\(120+5x=120+5\cdot 28=120+140=260\)

Sprawdzenie: \(P(28)=52\cdot 260=13\,520\); \(\;P(27)=53\cdot 255=13\,515\lt 13\,520\) ✓

Odpowiedź: cena powinna wynosić \(260\) zł za dobę.