Krok 1. Wzór skróconego mnożenia. Oznaczmy $u=\sqrt{2-\sqrt3}$ oraz $v=\sqrt{2+\sqrt3}$. Wtedy

$$(u-v)^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}.$$

Krok 2. Kwadraty.

$$u^{2}=2-\sqrt3,\qquad v^{2}=2+\sqrt3,\qquad u^{2}+v^{2}=4.$$

Krok 3. Iloczyn. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów pod pierwiastkiem:

$$uv=\sqrt{\left(2-\sqrt3\right)\left(2+\sqrt3\right)}=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1.$$

Krok 4. Podstawienie.

$$(u-v)^{2}=4-2\cdot 1=2.$$

Uwaga: obie liczby $2\pm\sqrt3$ są dodatnie, więc pierwiastki są dobrze określone.

Odpowiedź: A

Krok 1. Stopień licznika. Wymnażamy nawiasy — interesuje nas wyraz najwyższego stopnia:

$$\left(n^{2}-10n\right)(2-3n)=-3n^{3}+\ldots$$

Licznik jest więc wielomianem stopnia trzeciego o współczynniku wiodącym $-3$.

Krok 2. Stopień mianownika. Mianownik $2n^{3}+n^{2}+3$ jest stopnia trzeciego o współczynniku wiodącym $2$.

Krok 3. Granica. Gdy stopnie licznika i mianownika są równe, granica równa się ilorazowi współczynników wiodących:

$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}.$$

Odpowiedź: D

Oznaczmy $|CD|=h$. Z treści $|AD|=h$ oraz $|BC|=2h$.

Krok 1. Kąt $ACD$. Trójkąt $ADC$ ma kąt prosty przy $D$ (bo $CD$ jest wysokością) oraz obie przyprostokątne równe $h$. Jest więc prostokątny równoramienny:

$$\angle ACD=45^\circ.$$

Krok 2. Kąt $DCB$. W trójkącie prostokątnym $BDC$ przyprostokątna $CD=h$ leży naprzeciw kąta przy $B$, a przeciwprostokątna to $BC=2h$:

$$\sin\angle DBC=\frac{h}{2h}=\frac12\ \Longrightarrow\ \angle DBC=30^\circ\ \Longrightarrow\ \angle DCB=60^\circ.$$

Krok 3. Kąt środkowy.

$$\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=45^\circ+60^\circ=105^\circ.$$

Punkty $K$ i $L$ leżą na okręgu o środku $C$, na półprostych $CA$ i $CB$, więc $\angle KCL=\angle ACB=105^\circ$ jest kątem środkowym opartym na łuku $KL$.

Krok 4. Kąt wpisany. Kąt $\alpha=\angle KML$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, więc ma połowę miary kąta środkowego:

$$\alpha=\frac{105^\circ}{2}=52{,}5^\circ.$$

Odpowiedź: C

Krok 1. Wyznaczenie wektora $\vec{AB}$.

$$\vec{AB}=-3\vec{u}=-3\cdot[-3,\,5]=[9,\,-15].$$

Krok 2. Zależność między punktami. Wektor o początku $A$ i końcu $B$ to różnica współrzędnych:

$$\vec{AB}=[x_B-x_A,\ y_B-y_A].$$

Krok 3. Rozwiązanie układu.

$$x_B-x_A=9\ \Longrightarrow\ -4-x_A=9\ \Longrightarrow\ x_A=-13,$$

$$y_B-y_A=-15\ \Longrightarrow\ 7-y_A=-15\ \Longrightarrow\ y_A=22.$$

Sprawdzenie: $\vec{AB}=[-4-(-13),\ 7-22]=[9,-15]=-3[-3,5]$ ✓

Odpowiedź: B

Krok 1. Twierdzenie o reszcie. Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x-2$ równa się wartości $W(2)$:

$$W(2)=1.$$

Krok 2. Obliczenie $W(2)$.

$$W(2)=2^{3}-2\cdot2^{2}+2a+\frac34=8-8+2a+\frac34=2a+\frac34.$$

Krok 3. Równanie na $a$.

$$2a+\frac34=1\ \Longrightarrow\ 2a=\frac14\ \Longrightarrow\ a=\frac18.$$

Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne.

$$a=\frac18=0{,}125.$$

Trzy pierwsze cyfry po przecinku to $1$, $2$, $5$.

Odpowiedź: 1 2 5

Krok 1. Sprawdzenie, że $P$ leży na wykresie.

$$f(1)=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0\ \checkmark$$

Krok 2. Pochodna ilorazu. Stosujemy wzór $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}$ dla $u=x-1$, $v=x^{2}+1$:

$$f^{\prime}(x)=\frac{1\cdot\left(x^{2}+1\right)-(x-1)\cdot 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.$$

Upraszczamy licznik:

$$x^{2}+1-2x^{2}+2x=-x^{2}+2x+1.$$

$$f^{\prime}(x)=\frac{-x^{2}+2x+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.$$

Krok 3. Współczynnik kierunkowy stycznej.

$$f^{\prime}(1)=\frac{-1+2+1}{\left(1+1\right)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac12.$$

Krok 4. Równanie stycznej w punkcie $(x_0,y_0)=(1,0)$:

$$y-y_0=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)\ \Longrightarrow\ y-0=\frac12(x-1).$$

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.$$

Odpowiedź: $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

Krok 1. Pomysł na grupowanie. Rozbijamy wyraz $-8xy$ na dwie części po $-4xy$, tak aby powstały dwa pełne kwadraty:

$$x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}-8xy+4=\left(x^{2}y^{2}-4xy+4\right)+\left(2x^{2}-4xy+2y^{2}\right).$$

Krok 2. Zwinięcie pierwszej grupy. To kwadrat różnicy dla $xy$ oraz $2$:

$$x^{2}y^{2}-4xy+4=(xy-2)^{2}.$$

Krok 3. Zwinięcie drugiej grupy. Wyłączamy $2$ przed nawias:

$$2x^{2}-4xy+2y^{2}=2\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)=2(x-y)^{2}.$$

Krok 4. Postać końcowa.

$$x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}-8xy+4=(xy-2)^{2}+2(x-y)^{2}.$$

Krok 5. Uzasadnienie dodatniości. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc

$$(xy-2)^{2}\ge 0.$$

Z założenia liczby $x$ i $y$ są różne, czyli $x-y\neq0$, a zatem

$$2(x-y)^{2}>0.$$

Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia, więc

$$(xy-2)^{2}+2(x-y)^{2}>0,$$

co kończy dowód. $\blacksquare$

Uwaga: założenie $x\neq y$ jest istotne — dla $x=y=\sqrt2$ obie grupy zerują się i nierówność przechodzi w równość.

Krok 1. Rozbicie trójkąta. Odcinek $BE$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty: $ABE$ oraz $EBC$. Pola sumują się:

$$P_{ABC}=P_{ABE}+P_{EBC}.$$

Krok 2. Pole całego trójkąta. Boki $BA=c$ i $BC=a$ tworzą kąt $\beta$:

$$P_{ABC}=\frac12\,ac\sin\beta.$$

Krok 3. Pola części. Dwusieczna dzieli kąt $\beta$ na dwa kąty po $\frac{\beta}{2}$, więc

$$P_{ABE}=\frac12\,c\cdot|BE|\cdot\sin\frac{\beta}{2},\qquad P_{EBC}=\frac12\,a\cdot|BE|\cdot\sin\frac{\beta}{2}.$$

Krok 4. Równanie.

$$\frac12\,ac\sin\beta=\frac12\,|BE|\sin\frac{\beta}{2}\,(a+c).$$

$$ac\sin\beta=|BE|\sin\frac{\beta}{2}\,(a+c).$$

Krok 5. Wzór na sinus podwojonego kąta.

$$\sin\beta=2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}.$$

$$2ac\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}=|BE|\sin\frac{\beta}{2}\,(a+c).$$

Krok 6. Skrócenie. Trójkąt jest ostrokątny, więc $0^\circ\lt \beta\lt 90^\circ$, czyli $0^\circ\lt \frac{\beta}{2}\lt 45^\circ$ i $\sin\frac{\beta}{2}\neq0$. Można podzielić obie strony przez $\sin\frac{\beta}{2}$:

$$2ac\cos\frac{\beta}{2}=|BE|\,(a+c).$$

$$|BE|=\frac{2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c},$$

co należało wykazać. $\blacksquare$

Krok 1. Wysokość czworościanu foremnego. Dla krawędzi $a$ wysokość wynosi $H=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Dla $a=6$:

$$H=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}.$$

Krok 2. Położenie środka kuli wpisanej. Kula styczna do wszystkich czterech ścian to kula wpisana, a jej środek leży na wysokości czworościanu w odległości $\frac{H}{4}$ od podstawy:

$$d_S=\frac{H}{4}=\frac{2\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Kontrola: promień kuli wpisanej to $r=\frac{a\sqrt{6}}{12}=\frac{6\sqrt6}{12}=\frac{\sqrt6}{2}$ — zgadza się z odległością środka od podstawy, bo kula jest styczna do podstawy ✓

Krok 3. Położenie płaszczyzny $\pi$. Płaszczyzna równoległa do podstawy odcina przy wierzchołku czworościan podobny do wyjściowego. Stosunek objętości brył podobnych to sześcian skali:

$$k^{3}=\frac{8}{27}\ \Longrightarrow\ k=\frac{2}{3}.$$

Wysokość odciętego czworościanu wynosi więc $\frac23 H$ (licząc od wierzchołka), a zatem płaszczyzna $\pi$ znajduje się nad podstawą na wysokości

$$d_\pi=H-\frac23H=\frac{H}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$$

Krok 4. Szukana odległość. Płaszczyzna $\pi$ jest równoległa do podstawy, więc najkrótszy odcinek $SP$ jest prostopadły do $\pi$, a jego długość to różnica wysokości:

$$|SP|=\left|\frac{H}{3}-\frac{H}{4}\right|=\frac{H}{12}=\frac{2\sqrt{6}}{12}=\frac{\sqrt{6}}{6}.$$

Uwaga: $\frac{\sqrt6}{6}\approx0{,}41$, a promień kuli to $\frac{\sqrt6}{2}\approx1{,}22$ — płaszczyzna $\pi$ przecina więc kulę, ale zadanie pyta wyłącznie o odległość środka od płaszczyzny.

Odpowiedź: $|SP|=\frac{\sqrt{6}}{6}$

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji. Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta w postaci

$$\cos 2x=2\cos^{2}x-1.$$

Równanie przyjmuje postać

$$2\cos^{2}x-1+3\cos x=-2.$$

Krok 2. Równanie kwadratowe.

$$2\cos^{2}x+3\cos x+1=0.$$

Podstawmy $t=\cos x$, przy czym $t\in\langle-1,1\rangle$:

$$2t^{2}+3t+1=0,\qquad \Delta=9-8=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1.$$

$$t_1=\frac{-3+1}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{-3-1}{4}=-1.$$

Obie wartości mieszczą się w przedziale $\langle-1,1\rangle$, więc żadnej nie odrzucamy.

Krok 3. Rozwiązanie $\cos x=-\frac12$. W przedziale $\langle0,2\pi\rangle$ cosinus przyjmuje wartość $-\frac12$ w II i III ćwiartce:

$$x=\frac{2\pi}{3}\qquad\text{lub}\qquad x=\frac{4\pi}{3}.$$

Krok 4. Rozwiązanie $\cos x=-1$.

$$x=\pi.$$

Sprawdzenie: dla $x=\pi$: $\cos 2\pi+3\cos\pi=1-3=-2$ ✓; dla $x=\frac{2\pi}{3}$: $\cos\frac{4\pi}{3}+3\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12-\frac32=-2$ ✓

Odpowiedź: $x\in\left\{\frac{2\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}\right\}$

Krok 1. Przestrzeń zdarzeń. Losujemy ze zwracaniem trzy razy spośród $8$ piłeczek:

$$|\Omega|=8^{3}=512.$$

Krok 2. Podział liczb według potęgi dwójki. Iloczyn jest podzielny przez $4=2^{2}$, gdy łączna potęga dwójki w rozkładzie wynosi co najmniej $2$. Dzielimy liczby $1,\ldots,8$ na trzy grupy:

• nieparzyste (wkład $2^{0}$): $1,3,5,7$ — 4 liczby;
• dające dokładnie $2^{1}$: $2,6$ — 2 liczby;
• podzielne przez 4: $4,8$ — 2 liczby.

Krok 3. Zdarzenie przeciwne. Wygodniej policzyć przypadki, w których iloczyn nie dzieli się przez $4$, czyli łączna potęga dwójki wynosi $0$ albo $1$.

Potęga $0$ — wszystkie trzy liczby nieparzyste:

$$4^{3}=64.$$

Potęga $1$ — dokładnie jedna liczba z grupy $\{2,6\}$, pozostałe dwie nieparzyste. Wybieramy pozycję tej liczby ($3$ sposoby), samą liczbę ($2$ sposoby) oraz dwie nieparzyste ($4^{2}$):

$$3\cdot 2\cdot 4^{2}=3\cdot2\cdot16=96.$$

$$|A^{\prime}|=64+96=160.$$

Krok 4. Prawdopodobieństwo.

$$|A|=512-160=352,$$

$$P(A)=\frac{352}{512}=\frac{11}{16}.$$

Sprawdzenie skrócenia: $352=32\cdot11$ oraz $512=32\cdot16$ ✓

Odpowiedź: $P=\frac{11}{16}$

Krok 1. Uproszczenie warunku. Oznaczmy $D=4x_1-4x_2$. Lewa strona to różnica kwadratów:

$$(D-1)(D+1)=D^{2}-1\lt 0\ \Longleftrightarrow\ D^{2}\lt 1.$$

$$16\left(x_1-x_2\right)^{2}\lt 1\ \Longleftrightarrow\ \left(x_1-x_2\right)^{2}\lt \frac{1}{16}.$$

Krok 2. Wzory Viète'a. Dla równania $4x^{2}-6mx+(2m+3)(m-3)=0$:

$$S=x_1+x_2=\frac{6m}{4}=\frac{3m}{2},\qquad P=x_1x_2=\frac{(2m+3)(m-3)}{4}.$$

Krok 3. Kwadrat różnicy pierwiastków.

$$\left(x_1-x_2\right)^{2}=\left(x_1+x_2\right)^{2}-4x_1x_2=S^{2}-4P.$$

Rozwijamy $(2m+3)(m-3)=2m^{2}-3m-9$, zatem

$$\left(x_1-x_2\right)^{2}=\frac{9m^{2}}{4}-\left(2m^{2}-3m-9\right)=\frac{9m^{2}-8m^{2}}{4}+3m+9=\frac{m^{2}}{4}+3m+9.$$

$$=\frac{m^{2}+12m+36}{4}=\frac{(m+6)^{2}}{4}.$$

Krok 4. Warunek dwóch różnych pierwiastków. Pierwiastki są różne dokładnie wtedy, gdy $\left(x_1-x_2\right)^{2}>0$:

$$\frac{(m+6)^{2}}{4}>0\ \Longleftrightarrow\ m\neq-6.$$

Krok 5. Warunek z treści zadania.

$$\frac{(m+6)^{2}}{4}\lt \frac{1}{16}\ \Longleftrightarrow\ (m+6)^{2}\lt \frac14\ \Longleftrightarrow\ |m+6|\lt \frac12.$$

$$-\frac12\lt m+6\lt \frac12\ \Longleftrightarrow\ -\frac{13}{2}\lt m\lt -\frac{11}{2}.$$

Krok 6. Część wspólna. Usuwamy punkt $m=-6$:

$$m\in\left(-\frac{13}{2},\,-6\right)\cup\left(-6,\,-\frac{11}{2}\right).$$

Kontrola: dla $m=-5{,}75$ mamy $(m+6)^{2}=0{,}0625$, więc $\left(x_1-x_2\right)^{2}=0{,}015625=\frac{1}{64}\lt \frac{1}{16}$ ✓ oraz $\Delta>0$ ✓

Odpowiedź: $m\in\left(-\frac{13}{2},-6\right)\cup\left(-6,-\frac{11}{2}\right)$

Oznaczmy środek okręgu przez $S=(x,y)$.

Krok 1. Warunek leżenia na prostej.

$$x-3y+1=0\ \Longrightarrow\ x=3y-1.$$

Krok 2. Równe odległości od $A$ i $B$. Środek okręgu jest jednakowo oddalony od obu punktów:

$$|SA|^{2}=|SB|^{2},$$

$$(x+5)^{2}+(y-3)^{2}=x^{2}+(y-6)^{2}.$$

Rozwijamy obie strony:

$$x^{2}+10x+25+y^{2}-6y+9=x^{2}+y^{2}-12y+36.$$

Po redukcji $x^{2}$ i $y^{2}$:

$$10x+6y=2\ \Longrightarrow\ 5x+3y=1.$$

Krok 3. Rozwiązanie układu. Podstawiamy $x=3y-1$:

$$5(3y-1)+3y=1\ \Longrightarrow\ 18y=6\ \Longrightarrow\ y=\frac13.$$

$$x=3\cdot\frac13-1=0.$$

$$S=\left(0,\ \frac13\right).$$

Kontrola: $0-3\cdot\frac13+1=0$ ✓ — środek leży na danej prostej.

Krok 4. Promień.

$$r^{2}=|SB|^{2}=(0-0)^{2}+\left(6-\frac13\right)^{2}=\left(\frac{17}{3}\right)^{2}=\frac{289}{9}.$$

Sprawdzenie drugim punktem: $|SA|^{2}=(0+5)^{2}+\left(\frac13-3\right)^{2}=25+\frac{64}{9}=\frac{225+64}{9}=\frac{289}{9}$ ✓

Krok 5. Równanie okręgu.

$$x^{2}+\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{289}{9}.$$

Odpowiedź: $x^{2}+\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{289}{9}$  (promień $r=\frac{17}{3}$)

Krok 1. Wykorzystanie ciągu arytmetycznego. Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego środkowy jest średnią skrajnych:

$$2b=a+c.$$

Krok 2. Wyznaczenie $b$ z sumy.

$$a+b+c=27\ \Longrightarrow\ (a+c)+b=27\ \Longrightarrow\ 2b+b=27,$$

$$3b=27\ \Longrightarrow\ b=9,\qquad a+c=18.$$

Krok 3. Wykorzystanie ciągu geometrycznego. Kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiednich:

$$b^{2}=(a-2)(2c+1)\ \Longrightarrow\ 81=(a-2)(2c+1).$$

Krok 4. Redukcja do jednej niewiadomej. Podstawiamy $c=18-a$:

$$81=(a-2)\bigl(2(18-a)+1\bigr)=(a-2)(37-2a).$$

$$81=37a-2a^{2}-74+4a=-2a^{2}+41a-74.$$

$$2a^{2}-41a+155=0.$$

Krok 5. Rozwiązanie równania kwadratowego.

$$\Delta=41^{2}-4\cdot2\cdot155=1681-1240=441,\qquad \sqrt{\Delta}=21.$$

$$a_1=\frac{41-21}{4}=5,\qquad a_2=\frac{41+21}{4}=\frac{31}{2}.$$

Krok 6. Obie trójki liczb.

Przypadek 1: $a=5$, $b=9$, $c=18-5=13$.

Ciąg arytmetyczny $5,\,9,\,13$ ma różnicę $4$, suma wynosi $27$ ✓. Ciąg geometryczny to $(3,\,9,\,27)$ o ilorazie $3$ ✓

Przypadek 2: $a=\frac{31}{2}$, $b=9$, $c=18-\frac{31}{2}=\frac{5}{2}$.

Ciąg arytmetyczny $\frac{31}{2},\,9,\,\frac52$ ma różnicę $-\frac{13}{2}$, suma wynosi $27$ ✓. Ciąg geometryczny to $\left(\frac{27}{2},\,9,\,6\right)$ o ilorazie $\frac23$ ✓

Oba rozwiązania spełniają wszystkie warunki zadania.

Odpowiedź: $a=5,\ b=9,\ c=13$  lub  $a=\frac{31}{2},\ b=9,\ c=\frac{5}{2}$

Oznaczmy promień podstawy przez $r$, a wysokość przez $h$.

Krok 1. Warunek na pole powierzchni całkowitej. Walec ma dwie podstawy i powierzchnię boczną:

$$P=2\pi r^{2}+2\pi rh\ \Longrightarrow\ h=\frac{P-2\pi r^{2}}{2\pi r}.$$

Krok 2. Dziedzina. Musi być $r>0$ oraz $h>0$, czyli

$$P-2\pi r^{2}>0\ \Longrightarrow\ 0\lt r\lt \sqrt{\frac{P}{2\pi}}.$$

Krok 3. Objętość jako funkcja $r$.

$$V=\pi r^{2}h=\pi r^{2}\cdot\frac{P-2\pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{r\left(P-2\pi r^{2}\right)}{2}=\frac{Pr-2\pi r^{3}}{2}.$$

Krok 4. Poszukiwanie maksimum.

$$V^{\prime}(r)=\frac{P-6\pi r^{2}}{2}.$$

$$V^{\prime}(r)=0\ \Longleftrightarrow\ 6\pi r^{2}=P\ \Longleftrightarrow\ r=\sqrt{\frac{P}{6\pi}}.$$

Dla mniejszych $r$ pochodna jest dodatnia, dla większych ujemna, więc w tym punkcie funkcja osiąga maksimum. Punkt należy do dziedziny, bo $\sqrt{\frac{P}{6\pi}}\lt \sqrt{\frac{P}{2\pi}}$.

Krok 5. Wysokość. Z warunku $P=6\pi r^{2}$ podstawiamy do wzoru na $h$:

$$h=\frac{P-2\pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{6\pi r^{2}-2\pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{4\pi r^{2}}{2\pi r}=2r.$$

Otrzymujemy więc walec równoboczny — jego wysokość równa się średnicy podstawy.

$$h=2\sqrt{\frac{P}{6\pi}}.$$

Krok 6. Największa objętość.

$$V_{\max}=\pi r^{2}\cdot 2r=2\pi r^{3}=2\pi\cdot\frac{P}{6\pi}\cdot r=\frac{P}{3}\,r=\frac{P}{3}\sqrt{\frac{P}{6\pi}}.$$

Po usunięciu niewymierności z mianownika:

$$V_{\max}=\frac{P\sqrt{6\pi P}}{18\pi}.$$

Kontrola liczbowa: dla $P=6\pi$ mamy $r=1$, $h=2$ oraz $V=\pi\cdot1\cdot2=2\pi$; ze wzoru $V_{\max}=\frac{6\pi}{3}\cdot1=2\pi$ ✓

Odpowiedź: $r=\sqrt{\frac{P}{6\pi}}$, $\;h=2r=2\sqrt{\frac{P}{6\pi}}$, $\;V_{\max}=\frac{P}{3}\sqrt{\frac{P}{6\pi}}$