LekcjeRazem

Krok 1. Przestrzeń zdarzeń. Losujemy ze zwracaniem trzy razy spośród $8$ piłeczek:

$$|\Omega|=8^{3}=512.$$

Krok 2. Podział liczb według potęgi dwójki. Iloczyn jest podzielny przez $4=2^{2}$, gdy łączna potęga dwójki w rozkładzie wynosi co najmniej $2$. Dzielimy liczby $1,\ldots,8$ na trzy grupy:

• nieparzyste (wkład $2^{0}$): $1,3,5,7$ — 4 liczby;
• dające dokładnie $2^{1}$: $2,6$ — 2 liczby;
• podzielne przez 4: $4,8$ — 2 liczby.

Krok 3. Zdarzenie przeciwne. Wygodniej policzyć przypadki, w których iloczyn nie dzieli się przez $4$, czyli łączna potęga dwójki wynosi $0$ albo $1$.

Potęga $0$ — wszystkie trzy liczby nieparzyste:

$$4^{3}=64.$$

Potęga $1$ — dokładnie jedna liczba z grupy $\{2,6\}$, pozostałe dwie nieparzyste. Wybieramy pozycję tej liczby ($3$ sposoby), samą liczbę ($2$ sposoby) oraz dwie nieparzyste ($4^{2}$):

$$3\cdot 2\cdot 4^{2}=3\cdot2\cdot16=96.$$

$$|A^{\prime}|=64+96=160.$$

Krok 4. Prawdopodobieństwo.

$$|A|=512-160=352,$$

$$P(A)=\frac{352}{512}=\frac{11}{16}.$$

Sprawdzenie skrócenia: $352=32\cdot11$ oraz $512=32\cdot16$ ✓

Odpowiedź: $P=\frac{11}{16}$