LekcjeRazem

Krok 1. Rozbicie trójkąta. Odcinek $BE$ dzieli trójkąt $ABC$ na dwa trójkąty: $ABE$ oraz $EBC$. Pola sumują się:

$$P_{ABC}=P_{ABE}+P_{EBC}.$$

Krok 2. Pole całego trójkąta. Boki $BA=c$ i $BC=a$ tworzą kąt $\beta$:

$$P_{ABC}=\frac12\,ac\sin\beta.$$

Krok 3. Pola części. Dwusieczna dzieli kąt $\beta$ na dwa kąty po $\frac{\beta}{2}$, więc

$$P_{ABE}=\frac12\,c\cdot|BE|\cdot\sin\frac{\beta}{2},\qquad P_{EBC}=\frac12\,a\cdot|BE|\cdot\sin\frac{\beta}{2}.$$

Krok 4. Równanie.

$$\frac12\,ac\sin\beta=\frac12\,|BE|\sin\frac{\beta}{2}\,(a+c).$$

$$ac\sin\beta=|BE|\sin\frac{\beta}{2}\,(a+c).$$

Krok 5. Wzór na sinus podwojonego kąta.

$$\sin\beta=2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}.$$

$$2ac\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}=|BE|\sin\frac{\beta}{2}\,(a+c).$$

Krok 6. Skrócenie. Trójkąt jest ostrokątny, więc $0^\circ\lt \beta\lt 90^\circ$, czyli $0^\circ\lt \frac{\beta}{2}\lt 45^\circ$ i $\sin\frac{\beta}{2}\neq0$. Można podzielić obie strony przez $\sin\frac{\beta}{2}$:

$$2ac\cos\frac{\beta}{2}=|BE|\,(a+c).$$

$$|BE|=\frac{2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c},$$

co należało wykazać. $\blacksquare$