LekcjeRazem

Krok 1. Pomysł na grupowanie. Rozbijamy wyraz $-8xy$ na dwie części po $-4xy$, tak aby powstały dwa pełne kwadraty:

$$x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}-8xy+4=\left(x^{2}y^{2}-4xy+4\right)+\left(2x^{2}-4xy+2y^{2}\right).$$

Krok 2. Zwinięcie pierwszej grupy. To kwadrat różnicy dla $xy$ oraz $2$:

$$x^{2}y^{2}-4xy+4=(xy-2)^{2}.$$

Krok 3. Zwinięcie drugiej grupy. Wyłączamy $2$ przed nawias:

$$2x^{2}-4xy+2y^{2}=2\left(x^{2}-2xy+y^{2}\right)=2(x-y)^{2}.$$

Krok 4. Postać końcowa.

$$x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}-8xy+4=(xy-2)^{2}+2(x-y)^{2}.$$

Krok 5. Uzasadnienie dodatniości. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc

$$(xy-2)^{2}\ge 0.$$

Z założenia liczby $x$ i $y$ są różne, czyli $x-y\neq0$, a zatem

$$2(x-y)^{2}>0.$$

Suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodatnia, więc

$$(xy-2)^{2}+2(x-y)^{2}>0,$$

co kończy dowód. $\blacksquare$

Uwaga: założenie $x\neq y$ jest istotne — dla $x=y=\sqrt2$ obie grupy zerują się i nierówność przechodzi w równość.