Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(n\) - pierwsza liczba całkowita
\(n+1\) - druga liczba całkowita
\(n+2\) - trzecia liczba całkowita

W ten sposób opisaliśmy trzy kolejne liczby całkowite, które musimy teraz dodać, zatem:
$$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$$

Dzięki wyłączeniu trójki przed nawias, możemy stwierdzić, że ta suma jak najbardziej dzieli się przez \(3\), dając wynik równy \(n+1\). Dowodzenie można uznać za zakończone.

Spróbujmy rozpisać podaną liczbę \(a\). Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), otrzymamy:
$$(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2=2+2\sqrt{14}+7=9+2\sqrt{14}$$

Otrzymany wynik musimy przyrównać do postaci \(x+y\sqrt{14}\). Widzimy zatem, że w tym przypadku \(x=9\) oraz \(y=2\).

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że:
$$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0 \           ,\
a\sqrt{2}=-b\sqrt{3}$$

Spróbujmy przekształcić to równanie, tak aby po jednej stronie mieć ułamek \(\frac{a}{b}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{2} \           ,\
a=\frac{-b\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \quad\bigg/:b \           ,\
\frac{a}{b}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

I analogicznie przekształćmy to nasze początkowe równanie, ale tym razem w taki sposób, aby otrzymać ułamek \(\frac{b}{a}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=-b\sqrt{3} \quad\bigg/:a \           ,\
\sqrt{2}=\frac{-b\sqrt{3}}{a} \quad\bigg/:-\sqrt{3} \           ,\
\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Znając wartości liczbowe ułamków \(\frac{a}{b}\) oraz \(\frac{b}{a}\) możemy przystąpić do obliczenia sumy:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

Krok 2. Obliczenie sumy podanego wyrażenia.
Chcąc dodać teraz do siebie te dwa ułamki, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka należałoby pomnożyć przez wartość mianownika drugiego ułamka (czyli przez \(\sqrt{3}\)) i analogicznie licznik oraz mianownik drugiego ułamka trzeba pomnożyć przez wartość mianownika pierwsze ułamka (czyli przez \(\sqrt{2}\)). Całość wyglądałaby następująco:
$$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}+\frac{-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}= \           ,\
=\frac{-3}{\sqrt{6}}+\frac{-2}{\sqrt{6}}=\frac{-5}{\sqrt{6}}$$

Otrzymany wynik jest poprawny, ale zgodnie z poleceniem, musimy jeszcze usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. W tym celu musimy licznik oraz mianownik tego ułamka pomnożyć przez \(\sqrt{6}\), otrzymując:
$$\frac{-5}{\sqrt{6}}=\frac{-5\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=-\frac{5\sqrt{6}}{6}$$

Chcąc dodać do siebie jakiekolwiek ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym konkretnym zadaniu najlepszym pomysłem byłoby zaczęcie obliczeń od usunięcia niewymierności w każdym z mianowników.

W mianownikach wszystkich ułamków pojawiają nam się nie tylko same pierwiastki, ale wyrażenia z pierwiastkiem. W takich sytuacjach, chcąc usunąć niewymierność, musimy wymnożyć liczniki oraz mianowniki tych ułamków przez wyrażenie znajdujące się w mianowniku, ale ze zmienionym znakiem. Taki zabieg pozwoli nam zastosować w mianownikach wzór skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Obliczenia wyglądałyby więc następująco:
$$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})}+\frac{1\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})}+\frac{1\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{4})}=\           ,\
=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}=\frac{1-\sqrt{2}}{-1}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}= \           ,\
=\frac{(1-\sqrt{2})+(\sqrt{2}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{-1}=\frac{1-\sqrt{4}}{-1}=\frac{1-2}{-1}=\frac{-1}{-1}=1$$

Upraszczając cały zapis otrzymaliśmy wynik równy \(1\), zatem otrzymaliśmy liczbę całkowitą, co należało udowodnić.

Prawdziwe jest jedynie równanie zapisane w drugiej odpowiedzi, ponieważ:
$$\sqrt{\sqrt{144}+\sqrt{16}}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4=2^2=2^{\frac{4}{2}}$$

Powiedzmy sobie może jeszcze, dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne:
Odp. A. - tutaj trzeba byłoby zastosować wzór skróconego mnożenia \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), więc od razu widać, że ten zapis jest niepoprawny.
Odp. C. - tu wystarczyło zauważyć, że \(\sqrt{2\frac{1}{4}}\) jest równe \(\sqrt{\frac{9}{4}}\), czyli \(\frac{3}{2}\). Ten ułamek podniesiony do potęgi trzeciej da zupełnie inny wynik niż to, co jest po prawej stronie.
Odp. D. - tu można dostrzec, że \(\sqrt[3]{64}\) jest równe \(4\), a \(4^{\frac{1}{8}}\) to zupełnie inna liczba niż \(8^3\) (zwróć uwagę, że \(4^{\frac{1}{8}}\) to mniej niż \(1\), a \(8^3\) jest równe ponad \(500\)).

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że przyśpieszenie grawitacyjne na Ziemi jest równe \(9,81\frac{m}{s^2}\), zatem podstawiając tą daną do wzoru na okres, otrzymamy:
$$T_{Z}=2\pi\sqrt{\frac{l}{9,81}}$$

I analogicznie, podstawiając przyśpieszenie grawitacyjne na Księżycu równe \(1,62\frac{m}{s^2}\), otrzymamy:
$$T_{K}=2\pi\sqrt{\frac{l}{1,62}}$$

Krok 2. Obliczenie stosunku okresu drgań.
Celem zadania jest obliczenie stosunku drgań wahadła na Księżycu, względem drgań na Ziemi, zatem musimy podzielić \(T_{K}\) przez \(T_{Z}\), otrzymując:
$$\frac{T_{K}}{T_{Z}}=\frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{1,62}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{9,81}}}=\frac{\sqrt{\frac{l}{1,62}}}{\sqrt{\frac{l}{9,81}}}= \           ,\
=\sqrt{\frac{l}{1,62}}:\sqrt{\frac{l}{9,81}}=\sqrt{\frac{l}{1,62}:\frac{l}{9,81}}= \           ,\
=\sqrt{\frac{l}{1,62}\cdot\frac{9,81}{l}}=\sqrt{\frac{9,81}{1,62}}\approx\sqrt{6,056}\approx2,46$$

Zanim zaczniemy obliczać, to warto wspomnieć, że jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie jest ona równa \(10\). Stąd też przykładowo \(log\;{k}\) to nic innego jak \(log_{10}k\).

Wracając do naszego przykładu, to korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:
$$log{k\cdot\frac{1}{100}k^2:\frac{1}{10}k^3}=log{\frac{1}{100}k^3:\frac{1}{10}k^3}=log{\frac{1}{100}k^3\cdot\frac{10}{k^3}}=log{\frac{1}{10}}$$

Jeśli umiemy podać wartość końcowego logarytmu, to od ręki możemy zapisać, że całość jest równa \(-1\). Jeśli jednak nie czujemy się na siłach, to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{10}\frac{1}{10}=x \Leftrightarrow 10^x=\frac{1}{10}$$

Teraz musimy sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymując:
$$10^x=\frac{1}{10} \           ,\
10^x=10^{-1} \           ,\
x=-1$$

Pierwsze równanie jesteśmy w stanie ułożyć tak naprawdę z definicji logarytmu, którą znajdziemy w tablicach matematycznych, czyli:
$$log_{a}b=c \Leftrightarrow a^c=b$$

Musimy się tylko odpowiednio dopasować symbolami. Z treści zadania wynika, że \(y^z=x\), zatem:
$$log_{y}x=z \Leftrightarrow y^z=x$$

To oznacza, że jedną z poprawnych odpowiedzi jest na pewno E. Poszukajmy teraz drugiej odpowiedzi. Również w tablicach znajdziemy takie oto równanie:
$$a^{log_{a}b}=b$$

Korzystając z naszych oznaczeń, zapisalibyśmy, że:
$$y^{log_{y}x}=x$$

Dokładnie takiej odpowiedzi nie mamy, ale przyglądając się proponowanym odpowiedziom, widzimy, że jesteśmy dość blisko zapisu z odpowiedzi B. Pamiętając o tym, że ujemna potęga związana jest z odwrotnością liczby, moglibyśmy stwierdzić, że:
$$y^{-log_{y}x}=\frac{1}{x}$$

Stąd też równie poprawną odpowiedzią będzie równanie z odpowiedzi B.