Zapisujemy \(32\) jako potęgę liczby \(2\):

\(32=2^5\)

\(32^{\frac{3}{5}}=\left(2^5\right)^{\frac{3}{5}}=2^{5\cdot\frac{3}{5}}=2^3=8\)

Podstawiamy:

\(2^{-1}\cdot 8=\frac{1}{2}\cdot 8=4\)

Odpowiedź: D.

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie:

\(\log_{3}\left(\frac{3}{2}\right)+\log_{3}\left(\frac{2}{9}\right)=\log_{3}\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}\right)\)

Obliczamy iloczyn:

\(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\)

Zatem:

\(\log_{3}\frac{1}{3}=\log_{3}3^{-1}=-1\)

Odpowiedź: C.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\(\left(2\sqrt{10}\right)^2=4\cdot 10=40\)

\(2\cdot 2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{20}=4\cdot 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}\)

\(\left(\sqrt{2}\right)^2=2\)

Sumujemy:

\(40+8\sqrt{5}+2=42+8\sqrt{5}\)

Odpowiedź: D.

Przy procencie składanym po każdym roku kapitał mnoży się przez ten sam współczynnik:

\(100\%+6\%=106\%=1{,}06\)

Po pierwszym roku: \(K_0\cdot 1{,}06\)

Po drugim roku: \(K_0\cdot(1{,}06)^2\)

Po trzecim roku: \(K_0\cdot(1{,}06)^3\)

Odpowiedź: A.

Wyłączamy wspólny czynnik i stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

\(5n^3-5n=5n\left(n^2-1\right)=5n(n-1)(n+1)=5(n-1)n(n+1)\)

Liczby \(n-1\), \(n\), \(n+1\) to trzy kolejne liczby całkowite.

Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta, więc ich iloczyn dzieli się przez \(2\). Ponadto dokładnie jedna z nich jest podzielna przez \(3\), więc iloczyn dzieli się także przez \(3\).

Liczby \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, zatem iloczyn \((n-1)n(n+1)\) jest podzielny przez \(6\), czyli:

\((n-1)n(n+1)=6k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\)

Stąd:

\(5n^3-5n=5\cdot 6k=30k\)

Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(30\) i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez \(30\). \(\blacksquare\)

Mnożymy obie strony nierówności przez \(12\):

\(3x-5\lt 4\)

\(3x\lt 9\)

\(x\lt 3\)

Rozwiązaniami całkowitymi dodatnimi są liczby \(1\) i \(2\) — jest ich \(2\).

Odpowiedź: A.

Przekształcamy drugie równanie, dzieląc je stronami przez \((-4)\):

\(-4x+8y=-12\quad |:(-4)\)

\(x-2y=3\)

Otrzymaliśmy równanie identyczne z pierwszym. Oba równania opisują tę samą prostą, więc układ jest nieoznaczony.

Odpowiedź: D.

Rozkładamy mianownik ze wzoru na różnicę kwadratów:

\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)

Zapisujemy iloczyn:

\(\frac{2x^2}{(x-1)(x+1)}\cdot\frac{x+1}{x}=\frac{2x^2(x+1)}{(x-1)(x+1)x}\)

Skracamy \(x\) oraz \((x+1)\) — jest to możliwe, bo \(x\neq 0\) i \(x\neq -1\):

\(=\frac{2x}{x-1}\)

Odpowiedź: B.

Zauważmy, że \((2-3x)^2=(3x-2)^2\), ponieważ kwadraty liczb przeciwnych są równe. Zatem:

\(W(x)=(3x-2)^2\cdot(3x-2)=(3x-2)^3\)

Suma współczynników wielomianu jest równa jego wartości dla \(x=1\):

\(a+b+c+d=W(1)=(3\cdot 1-2)^3=1^3=1\)

Odpowiedź: \(1\)

Stosujemy metodę grupowania wyrazów:

\(4x^3-12x^2-x+3=0\)

\(4x^2(x-3)-(x-3)=0\)

Wyłączamy wspólny czynnik \((x-3)\):

\((x-3)\left(4x^2-1\right)=0\)

Drugi czynnik rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

\((x-3)(2x-1)(2x+1)=0\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś z czynników jest zerem:

\(x-3=0\) lub \(2x-1=0\) lub \(2x+1=0\)

Odpowiedź: \(x=3\) lub \(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=-\frac{1}{2}\)

Wykres funkcji \(f\) składa się z dwóch odcinków tworzących kształt litery „V” z wierzchołkiem w punkcie \((1,0)\).

Z treści zadania wiemy, że punkty przecięcia wykresu z prostą \(y=2\) mają współrzędne całkowite. Odczytujemy je z rysunku:

lewy punkt: \((0,2)\), prawy punkt: \((4,2)\)

Nierówność \(f(x)\le 2\) jest spełniona tam, gdzie wykres leży na prostej \(y=2\) lub poniżej niej, czyli między tymi punktami (włącznie).

Odpowiedź: \([0,4]\)

Zależność między wzorami. Przesunięcie wykresu w lewo o \(4\) jednostki wzdłuż osi \(Ox\) odpowiada podstawieniu \(x+4\) w miejsce \(x\):

\(g(x)=f(x+4)\) — odpowiedź A.

Dziedzina czy zbiór wartości? Przesunięcie poziome zmienia dziedzinę: dziedziną \(f\) jest \([-1,7]\), a dziedziną \(g\) jest \([-5,3]\) — są różne.

Wartości funkcji nie zmieniają się przy przesunięciu poziomym: zbiorem wartości obu funkcji jest \([0,4]\) — są takie same.

Odpowiedź 2.

Odpowiedź: A2.

Stwierdzenie 1. Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi \(0\). Z tabeli odczytujemy:

\(f(-1)=0\) oraz \(f(1)=0\)

Funkcja ma dwa miejsca zerowe, więc stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Symetria względem osi \(Oy\) oznaczałaby \(f(-x)=f(x)\) dla wszystkich argumentów. Sprawdzamy:

\(f(-2)=-1\), natomiast \(f(2)=3\)

Wartości są różne, więc stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: F, F.

Miejsce zerowe oznacza, że \(f(2)=0\). Podstawiamy:

\((3-m)\cdot 2+4=0\)

\(6-2m+4=0\)

\(10=2m\)

\(m=5\)

Sprawdzenie: dla \(m=5\) mamy \(f(x)=-2x+4\), a \(f(2)=-4+4=0\) ✓

Odpowiedź: D.

Parabola ma z osiami dokładnie dwa punkty wspólne, a jednym z nich jest \(N=(3,0)\) leżący na osi \(Ox\). Gdyby istniało drugie miejsce zerowe, punktów wspólnych z osiami byłoby więcej.

Oznacza to, że \(x=3\) jest jedynym miejscem zerowym, czyli parabola jest styczna do osi \(Ox\) — wierzchołek leży w punkcie \((3,0)\). Zapisujemy postać kanoniczną:

\(f(x)=a(x-3)^2\)

Korzystamy z drugiego punktu \(M=(0,18)\):

\(f(0)=a\cdot(0-3)^2=9a=18\)

\(a=2\)

Zatem:

\(f(x)=2(x-3)^2=2x^2-12x+18\)

Odpowiedź: \(f(x)=2(x-3)^2\)

Wzór \(f(x)=-(x+1)^2+4\) jest postacią kanoniczną funkcji kwadratowej, z której odczytujemy:

współczynnik \(a=-1\lt 0\) — ramiona paraboli skierowane w dół,

wierzchołek \(W=(-1,4)\).

Rysunki A i C przedstawiają parabole o ramionach skierowanych w górę — odpadają.

Na rysunku D wierzchołek leży w punkcie \((1,4)\), a nie \((-1,4)\) — odpada.

Warunki spełnia rysunek B.

Odpowiedź: B.

Stwierdzenie 1. Obliczamy wartość funkcji dla \(x=0\):

\(f(0)=-(0+1)^2+4=-1+4=3\)

Wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,3)\), a nie \((0,4)\). Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Wyznaczamy miejsca zerowe:

\(-(x+1)^2+4=0\)

\((x+1)^2=4\)

\(x+1=2\) lub \(x+1=-2\)

\(x=1\) lub \(x=-3\)

Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Obliczamy kilka początkowych wyrazów ciągu:

\(a_1=2\cdot(-1)^2+5=2+5=7\)

\(a_2=2\cdot(-1)^3+5=-2+5=3\)

\(a_3=7\), \(a_4=3\), …

Ciąg jest naprzemienny: \(7,\,3,\,7,\,3,\ldots\)

Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć wyrazów równych \(7\) i pięć równych \(3\):

\(S_{10}=5\cdot 7+5\cdot 3=35+15=50\)

Odpowiedź: C.

Kolejne wyrazy ciągu to \(7,\,3,\,7,\,3,\ldots\)

Stwierdzenie 1. Ciąg malejący spełnia \(a_{n+1}\lt a_n\) dla każdego \(n\). Tutaj:

\(a_2=3\lt a_1=7\), ale \(a_3=7\gt a_2=3\)

Ciąg nie jest malejący — stwierdzenie fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Tutaj:

\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{3}{7}\), natomiast \(\frac{a_3}{a_2}=\frac{7}{3}\)

Ilorazy są różne — stwierdzenie fałszywe (F).

Odpowiedź: F, F.

Obliczamy różnicę ciągu arytmetycznego:

\(r=a_2-a_1=13-7=6\)

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz:

\(a_{10}=a_1+9r=7+9\cdot 6=7+54=61\)

Odpowiedź: C.

Ciąg arytmetyczny. Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich:

\(2\cdot 2=-1+x\)

\(x=5\gt 0\)

Ciąg geometryczny. Kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich:

\(2^2=(-1)\cdot y\)

\(4=-y\), czyli \(y=-4\lt 0\)

Odpowiedź: B.

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), skąd:

\(\cos^2 27^\circ=1-\sin^2 27^\circ\)

Podstawiamy do wyrażenia:

\(1+\cos^2 27^\circ=1+\left(1-\sin^2 27^\circ\right)=2-\sin^2 27^\circ\)

Odpowiedź: A.

Poprowadźmy z wierzchołka \(C\) wysokość na podstawę \(AB\). Powstaje trójkąt prostokątny, w którym:

przyprostokątna pionowa to wysokość trapezu: \(\sqrt{3}\),

przyprostokątna pozioma to różnica podstaw: \(8-5=3\).

Kąt \(ABC\) leży przy tej poziomej przyprostokątnej, więc:

\(\mathrm{tg}\,|\sphericalangle ABC|=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Taką wartość tangensa ma kąt o mierze \(30^\circ\).

Odpowiedź: B.

Kąt środkowy oparty na łuku stanowiącym \(\frac{1}{5}\) okręgu ma miarę:

\(\frac{1}{5}\cdot 360^\circ=72^\circ\)

Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego:

\(|\sphericalangle ACB|=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ\)

Odpowiedź: C.

Rozważmy trójkąt \(ABS\). Jego podstawą jest bok \(AB\) o długości \(12\), a wysokością opuszczoną na tę podstawę — odcinek o długości \(|BS|=\frac{12}{2}=6\) (bo \(BC\perp AB\)).

Pole trójkąta \(ABS\):

\(P=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6=36\)

Długość odcinka \(AS\) z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(ABS\):

\(|AS|=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)

Odcinek \(BP\) jest wysokością trójkąta \(ABS\) opuszczoną na bok \(AS\), więc pole można zapisać też tak:

\(P=\frac{1}{2}\cdot|AS|\cdot|BP|\)

\(36=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{5}\cdot|BP|\)

\(|BP|=\frac{72}{6\sqrt{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\)

Odpowiedź: \(|BP|=\frac{12\sqrt{5}}{5}\)

Z równania \((x-1)^2+(y+2)^2=5\) odczytujemy: środek \(S=(1,-2)\) oraz \(r^2=5\).

Stwierdzenie 1. Sprawdzamy, czy punkt \((-1,-3)\) spełnia równanie:

\((-1-1)^2+(-3+2)^2=(-2)^2+(-1)^2=4+1=5\) ✓

Punkt należy do okręgu — stwierdzenie prawdziwe (P).

Stwierdzenie 2. Z równania \(r^2=5\), więc:

\(r=\sqrt{5}\approx 2{,}24\neq 5\)

Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Odpowiedź: P, F.

W symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych punkt \((a,b)\) przechodzi na punkt \((-a,-b)\), a promień okręgu nie zmienia się.

Środek okręgu \(\mathcal{O}\) to \(S=(1,-2)\), zatem środek okręgu \(\mathcal{K}\):

\(S_1=(-1,2)\)

Promień pozostaje równy \(\sqrt{5}\), czyli \(r^2=5\). Zapisujemy równanie:

\((x+1)^2+(y-2)^2=5\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Współrzędne punktu \(P\).

Punkt \(P\) leży na osi \(Ox\), więc ma współrzędne \(P=(p,0)\). Symetralna odcinka to zbiór punktów równo oddalonych od jego końców, zatem:

\(|AP|=|BP|\)

\((p-2)^2+(0-8)^2=(p-10)^2+(0-2)^2\)

\(p^2-4p+4+64=p^2-20p+100+4\)

\(-4p+68=-20p+104\)

\(16p=36\)

\(p=\frac{9}{4}\)

Zatem \(P=\left(\frac{9}{4},\,0\right)\).

Krok 2. Długość odcinka \(AP\).

\(|AP|=\sqrt{\left(\frac{9}{4}-2\right)^2+(0-8)^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+64}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1024}{16}}=\sqrt{\frac{1025}{16}}=\frac{\sqrt{1025}}{4}\)

\(\sqrt{1025}=\sqrt{25\cdot 41}=5\sqrt{41}\)

\(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\)

Odpowiedź: \(P=\left(\frac{9}{4},0\right)\) oraz \(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\)

Ostrosłup o \(2024\) ścianach bocznych ma w podstawie wielokąt o \(2024\) bokach.

Liczba krawędzi podstawy: \(2024\)

Liczba krawędzi bocznych (po jednej z każdego wierzchołka podstawy do wierzchołka ostrosłupa): \(2024\)

Łącznie:

\(2024+2024=4048\)

Odpowiedź: C.

Ściana sześcianu jest kwadratem o boku \(a\), a jego przekątna ma długość \(a\sqrt{2}\):

\(a\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

\(a=2\)

Obliczamy objętość:

\(V=a^3=2^3=8\)

Odpowiedź: A.

Rzutem przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątna kwadratu o boku \(4\):

\(d=4\sqrt{2}\)

Przekątna graniastosłupa, jej rzut i wysokość \(H\) tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt \(\alpha\) leży przy rzucie:

\(\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{H}{4\sqrt{2}}\)

Podstawiamy \(\mathrm{tg}\,\alpha=2\):

\(2=\frac{H}{4\sqrt{2}}\)

\(H=8\sqrt{2}\)

Odpowiedź: C.

Z diagramu odczytujemy liczby uczniów dla kolejnych ocen:

ocena \(1\) – \(2\) uczniów, \(2\) – \(9\), \(3\) – \(5\), \(4\) – \(3\), \(5\) – \(5\), \(6\) – \(1\).

Liczba wszystkich uczniów:

\(2+9+5+3+5+1=25\)

Suma wszystkich ocen:

\(1\cdot 2+2\cdot 9+3\cdot 5+4\cdot 3+5\cdot 5+6\cdot 1=2+18+15+12+25+6=78\)

Średnia arytmetyczna:

\(\frac{78}{25}=3{,}12\)

Odpowiedź: B.

Korzystamy z reguły mnożenia.

Cyfra jedności. Liczba ma być parzysta, więc ostatnią cyfrą może być \(2\) albo \(4\) — \(2\) możliwości.

Pozostałe trzy cyfry. Każda z nich może być równa \(2\), \(4\) lub \(7\) — po \(3\) możliwości:

\(3\cdot 3\cdot 3=27\)

Łącznie:

\(27\cdot 2=54\)

Odpowiedź: C.

Oznaczmy przez \(n\) liczbę wszystkich kul w pudełku. Z definicji prawdopodobieństwa:

\(\frac{18}{n}=\frac{3}{5}\)

\(3n=90\)

\(n=30\)

Liczba kul białych:

\(30-18=12\)

Odpowiedź: B.

Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary \((a,b)\), gdzie \(a\) to wynik pierwszego, a \(b\) drugiego rzutu:

\(|\Omega|=6\cdot 6=36\)

Zliczamy pary, w których \(a\gt b\), grupując je według pierwszego wyniku:

\(a=2\): \(1\) para; \(a=3\): \(2\) pary; \(a=4\): \(3\) pary; \(a=5\): \(4\) pary; \(a=6\): \(5\) par

\(|A|=1+2+3+4+5=15\)

Obliczamy prawdopodobieństwo:

\(P(A)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)

Uwaga: ten sam wynik daje rozumowanie symetryczne — przypadków \(a\gt b\) i \(a\lt b\) jest tyle samo, a remisów jest \(6\), więc \(P(A)=\frac{36-6}{2}:36=\frac{15}{36}\).

Odpowiedź: \(P(A)=\frac{5}{12}\)

Część 32.1 — największy przychód.

Funkcja \(P(x)=(70-x)(20+x)\) jest funkcją kwadratową o ramionach skierowanych w dół (po wymnożeniu współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(-1\)).

Jej miejsca zerowe to \(x=70\) oraz \(x=-20\), więc pierwsza współrzędna wierzchołka:

\(x_w=\frac{70+(-20)}{2}=25\)

Wartość \(25\) spełnia warunki \(0\le x\le 60\) — odpowiedź A.

Część 32.2 — przychód równy 800 zł.

\((70-x)(20+x)=800\)

\(1400+70x-20x-x^2=800\)

\(-x^2+50x+600=0\)

\(x^2-50x-600=0\)

\(\Delta=2500+2400=4900\), \(\sqrt{\Delta}=70\)

\(x=\frac{50-70}{2}=-10\) lub \(x=\frac{50+70}{2}=60\)

Warunek \(0\le x\le 60\) spełnia tylko \(x=60\) — odpowiedź E.

Odpowiedź: 32.1. A, 32.2. E.