LekcjeRazem

Wyłączamy wspólny czynnik i stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

\(5n^3-5n=5n\left(n^2-1\right)=5n(n-1)(n+1)=5(n-1)n(n+1)\)

Liczby \(n-1\), \(n\), \(n+1\) to trzy kolejne liczby całkowite.

Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta, więc ich iloczyn dzieli się przez \(2\). Ponadto dokładnie jedna z nich jest podzielna przez \(3\), więc iloczyn dzieli się także przez \(3\).

Liczby \(2\) i \(3\) są względnie pierwsze, zatem iloczyn \((n-1)n(n+1)\) jest podzielny przez \(6\), czyli:

\((n-1)n(n+1)=6k\) dla pewnej liczby całkowitej \(k\)

Stąd:

\(5n^3-5n=5\cdot 6k=30k\)

Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(30\) i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez \(30\). \(\blacksquare\)