Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych i obie współrzędne ma dodatnie, to musi znajdować się w pierwszej ćwiartce układu. Jeżeli do tego dorysujemy prostą o równaniu \(y=-3x+8\), to całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Tu powinniśmy dostrzec, że aby okrąg był styczny do osi układu, to jego współrzędne środka okręgu muszą mieć jednakową współrzędną. Po prowadzi nas do wniosku, że środkiem okręgu jest punkt \(S=(2;2)\). Tym samym widzimy, że promień okręgu musi mieć długość \(r=2\).

W tym zadaniu skorzystamy z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie. Na jego podstawie możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{a}{3}=\frac{5}{4} \quad\bigg/\cdot3$$ $$a=\frac{15}{4}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych znane punkty \(A\) oraz \(C\) i spróbujmy naszkicować omawiany romb. Wiemy, że wszystkie boki rombu mają jednakową długość, czyli punkt \(B\) (który leży na osi \(Ox\)) musi być oddalony o jednakową odległość zarówno od punktu \(A\) jak i \(C\). Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka \(B\).
Wiemy, że wierzchołek \(B\) leży na osi \(Ox\), czyli wiemy, że jego współrzędna \(y_{B}=0\). Brakuje nam tylko współrzędnej \(x\) tego punktu. Punktem wyjścia do jej wyznaczenia będzie obserwacja, że długości boków rombu mają jednakową miarę, zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka moglibyśmy zapisać, że:
$$|AB|=|BC|$$ $$\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$ $$(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2$$

Teraz wystarczy podstawić do tego równania znane nam współrzędne. W przypadku punktu \(B\) w miejsce \(y_{B}\) podstawimy oczywiście \(0\), a w miejsce \(x_{B}\) możemy podstawić \(x\), tak aby była lepsza przejrzystość zapisu, zatem:
$$(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2$$ $$(x-1)^2+(0-1)^2=(5-x)^2+(5-0)^2$$ $$x^2-2x+1+1=25-10x+x^2+25$$ $$-2x+2=-10x+50$$ $$8x=48$$ $$x=6$$

To oznacza, że wierzchołek \(B\) ma współrzędne \((6;0)\).

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ASC\).
Kąt \(ASC\) oraz kąty \(124°\) i \(92°\) tworzą kąt pełny. To oznacza, że miara kąta \(ASC\) będzie równa:
$$|\sphericalangle ASC|=360°-124°-92°=144°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Kąt \(ABC\) jest kątem wpisanym, który opiera się na tym samym łuku co kąt środkowy \(ASC\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że miara kąta wpisanego \(ABC\) będzie w takim razie dwa razy mniejsza od kąta środkowego \(ASC\), zatem:
$$|\sphericalangle ABC|=144°:2=72°$$

Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest zawsze punkt przecięcia się dwusiecznych trójkąta. W takim razie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\) jest punkt \(G\), ponieważ jest on punktem przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta \(ABC\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu będzie dobry rysunek pomocniczy. Tu powinniśmy pamiętać o tym, że z własności stycznych do okręgu wynika, że promień naszego okręgu jest prostopadły do takiej stycznej, a to sprawi, że otrzymamy taki oto trójkąt prostokątny:


Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Mamy trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków. Trzecim bokiem jest promień, którego szukamy, zatem jest to idealna sytuacja do zastosowania twierdzenia Pitagorasa:
$$r^2+24^2=26^2$$ $$r^2+576=676$$ $$r^2=100$$ $$r=10 \quad\lor\quad r=-10$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ promień musi być liczbą dodatnią, stąd też zostaje nam \(r=10\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał kwadrat. Oznaczmy zatem krawędź podstawy jako \(a\), natomiast krawędź boczną jako \(b\). Dodatkowo możemy zapisać, że przekątna podstawy ma długość \(a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna podstawy o boku \(a\)), a przekątna ściany bocznej będzie pięciokrotnie dłuższa, czyli będzie miała długość \(5a\sqrt{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie stosunku długości krawędzi bocznej do krawędzi podstawy.
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny, który powstał nam na ścianie bocznej. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$a^2+b^2=(5a\sqrt{2})^2$$ $$a^2+b^2=25\cdot a^2\cdot 2$$ $$a^2+b^2=50a^2$$ $$b^2=49a^2$$ $$b=\sqrt{49a^2} \quad\lor\quad b=-\sqrt{49a^2}$$ $$b=7a \quad\lor\quad b=-7a$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. W takim razie zostaje nam wynik \(b=7a\), który informuje nas, że krawędź boczna jest \(7\) razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy cokolwiek liczyć, spróbujmy zaznaczyć na rysunku jakiej wysokości szukamy, bo jest to dość rzadko spotykana sytuacja:


Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy wysokości ostrosłupa, tak jakby ostrosłup \(ABCS\) był przewrócony (trójkąt \(ABS\) byłby wtedy jego podstawą).

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa z wierzchołka \(C\).
Niezależnie od tego jak jest ułożony ostrosłup, to jego objętość będzie taka sama i to będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń. Jeżeli przyjmiemy, że pole podstawy \(ABC\) jest równe \(x\), to objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$$ $$V=\frac{1}{3}x\cdot6$$ $$V=2x$$

Z treści zadania wynika, że ściana boczna ma pole powierzchni dwa razy większe od podstawy. Tym samym pole ściany \(ABS\) będzie równe \(2x\). Jeżeli potraktujemy teraz ścianę \(ABS\) jako podstawę ostrosłupa, to opuszczona na nią wysokość z wierzchołka \(C\) musi być na tyle długa, by objętość bryły w dalszym ciągu była równa \(2x\), czyli:
$$2x=\frac{1}{3}\cdot2x\cdot H_{C}$$ $$H_{C}=3$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W pierwszym pudełku mamy \(4\) kule, w drugim mamy \(3\) kule, czyli zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=4\cdot3=12\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowane kule utworzą liczbę podzielną przez \(3\). Spróbujmy zatem wypisać interesujące nas możliwości:
$$(1;2), (2;4), (3;3), (4;2)$$

Widzimy, że są \(4\) sprzyjające zdarzenia, czyli \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{12}\).
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$ $$168=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$ $$14=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}$$ $$a_{1}+a_{12}=28$$

Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}-a_{12}=22\), czyli że tym samym \(a_{1}=22+a_{12}\). Podstawiając tę informację do równania \(a_{1}+a_{12}=28\), wyjdzie nam, że:
$$22+a_{12}+a_{12}=28$$ $$2a_{12}=6$$ $$a_{12}=3$$

Musimy jeszcze obliczyć wartość \(a_{1}\). Zapisaliśmy przed chwilą, że \(a_{1}=22+a_{12}\), zatem:
$$a_{1}=22+3$$ $$a_{1}=25$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Do wyznaczenia wzoru potrzebujemy jeszcze różnicy ciągu arytmetycznego. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że:
$$a_{12}=a_{1}+11r$$

Podstawiając do tego równania znane nam \(a_{1}=25\) oraz \(a_{12}=3\), otrzymamy:
$$3=25+11r$$ $$11=-22$$ $$r=-2$$

Krok 3. Zapisanie wzoru.
Do zapisania wzoru skorzystamy ze standardowego wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Podstawiając do niego \(a_{1}=25\) oraz \(r=-2\), otrzymamy:
$$a_{n}=25+(n-1)\cdot(-2)$$ $$a_{n}=25-2n+2$$ $$a_{n}=-2n+27$$

Zadanie 1.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Co prawda nie jest to konieczne do wykonania obliczeń, ale zobrazujmy sobie może o co w ogóle chodzi z tymi trójkątami, które spełniają warunki zadania. Taka wizualizacja przyda nam się w zrozumieniu istoty zadania. Ogólnie chodzi o to, że te trójkąty mogą wyglądać w ten sposób:


W tym zadaniu interesuje nas jeden konkretny trójkąt - ten, którego przyprostokątna \(BC\) ma długość \(2\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Jeżeli długość boku \(BC\) jest równa \(2\), a punkt \(B\) leży na osi \(OX\), to współrzędna \(y\) punktu \(C\) na pewno jest równa \(y_{C}=2\). Spróbujmy teraz obliczyć współrzędną \(x\) punktu \(C\). Skoro punkt ten leży na prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{2}x+5\), to moglibyśmy zapisać, że:
$$2=-\frac{1}{2}x+5$$ $$-3=-\frac{1}{2}x$$ $$x=6$$

To oznacza, że \(C=(6;2)\).

Krok 3. Obliczenie długości przeciwprostokątnej \(AC\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej \(AC\), korzystając po prostu ze wzoru na długość odcinka:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(6-0)^2+(2-0)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{6^2+2^2}$$ $$|AC|=\sqrt{36+4}$$ $$|AC|=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}$$

Ewentualnie moglibyśmy oczywiście skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, dostrzegając że \(|AB|=6\) oraz \(|BC|=2\), zatem:
$$6^2+4^2=|AC|^2$$ $$36+4=|AC|^2$$ $$|AC|^2=40$$ $$|AC|=\sqrt{40} \quad\lor\quad |AC|=-\sqrt{40}$$

Ujemny wynik odrzucamy, ponieważ długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(|AC|=\sqrt{40}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|AC|=2\sqrt{10}\).

Zadanie 2.
Krok 1. Rozpisanie współrzędnych punktu \(C\).
Powinniśmy dostrzec, że współrzędna \(x_{C}\) musi być taka sama jak \(x_{B}\) (dobrze to było widać chociażby w poprzedniej części zadania). Skoro więc współrzędna \(x_{B}=m\) (tak wynika z treści zadania), to także \(x_{C}=m\). Dodatkowo, skoro punkt \(C\) leży na prostej określonej równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+5\), to możemy zapisać, że \(y_{C}=-\frac{1}{2}m+5\).

To pozwala nam zapisać, że \(C=(m;-\frac{1}{2}m+5)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(m)\).
Pole trójkąta \(ABC\) obliczymy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|BC|$$

Powinniśmy zauważyć, że długość odcinka \(AB\) będzie równa tyle, co współrzędna \(x\) punktu \(B\), czyli \(|AB|=m\). Z kolei wysokość \(|BC|\) będzie równa tyle, ile współrzędna \(y\) punktu \(C\), czyli \(|BC|=-\frac{1}{2}m+5\). Jeśli tego nie dostrzegasz, to zwróć uwagę na pierwsze zadanie, tam jest to bardzo dobrze widoczne.

Możemy więc zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot m\cdot(-\frac{1}{2}m+5)$$ $$P=-\frac{1}{4}m^2+\frac{5}{2}m$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni można opisać wzorem \(-\frac{1}{4}m^2+\frac{5}{2}m\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(m\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(m)=-\frac{1}{4}m^2+\frac{5}{2}m\).

Krok 3. Wyznaczenie dziedziny funkcji.
Współrzędne punktu \(C\) są dodatnie (tak wynika z treści zadania), zatem:
$$m\gt0 \quad\text{oraz}\quad -\frac{1}{2}m+5\gt0$$ $$m\gt0 \quad\text{oraz}\quad -\frac{1}{2}m\gt-5$$ $$m\gt0 \quad\text{oraz}\quad m\lt10$$

Przy okazji zwróć uwagę, że zmienił się znak drugiej nierówności na przeciwny. Stało się tak dlatego, ponieważ mając postać \(-\frac{1}{2}m\gt-5\) wykonywaliśmy obustronne mnożenie przez \(-2\), czyli przez liczbę ujemną, a mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną zawsze trzeba zmienić znak na przeciwny.

Wyszło nam więc, że \(m\) musi być większe od \(0\) i mniejsze od \(10\), stąd też dziedziną funkcji \(P(m)\) będzie \(m\in(0;10)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na poziomej osi mamy \(m\), a na pionowej pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(m\) osiągniemy jak największe pole \(P\). Z własności parabol wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej wartości \(m\) to największe pole jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$

W naszym przypadku współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) oraz \(b=\frac{5}{2}\), zatem:
$$x_{W}=\frac{-\frac{5}{2}}{2\cdot(-\frac{1}{4})}$$ $$x_{W}=\frac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}}$$ $$x_{W}=\left(-\frac{5}{2}\right):\left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$x_{W}=\left(-\frac{5}{2}\right)\cdot(-2)$$ $$x_{W}=5$$

Tu warto przy okazji dodać, że otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie, zatem wszystko jest w porządku.

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
W poprzednim kroku otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni będzie największe wtedy, gdy współrzędna \(x\) będzie równa \(5\). W naszym przypadku współrzędną \(x\) punktu \(C\) oznaczyliśmy jako \(m\), zatem to pole będzie największe wtedy, gdy \(m=5\). Współrzędna \(y\) punktu \(C\) jest opisana jako \(-\frac{1}{2}m+5\), zatem:
$$y_{C}=-\frac{1}{2}\cdot5+5$$ $$y_{C}=-2\frac{1}{2}+5$$ $$y_{C}=2\frac{1}{2}$$

To oznacza, że największe pole powierzchni otrzymamy wtedy, gdy \(C=(5;2\frac{1}{2})\).