Krok 1. Opuszczenie wartości bezwzględnej.

Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc \(5^{3-x}\gt 0\) i:

\(3+5^{3-x}\gt 3\gt 0\)

Zatem \(\left|3+5^{3-x}\right|=3+5^{3-x}\) i

\(f(x)=3+5^{3-x}-1=2+5^{3-x}\)

Krok 2. Zbiór wartości.

Gdy \(x\) przebiega zbiór liczb rzeczywistych, wyrażenie \(5^{3-x}\) przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \((0,+\infty)\).

Zatem \(f(x)=2+5^{3-x}\) przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \((2,+\infty)\).

Odpowiedź: A.

Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta: \(\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\), zatem:

\(\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ=-\left(\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ\right)=-\cos 150^\circ\)

Obliczamy \(\cos 150^\circ\) ze wzoru redukcyjnego:

\(\cos 150^\circ=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Zatem:

\(-\cos 150^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Odpowiedź: D.

Krok 1. Podobieństwo trójkątów.

Ponieważ \(CD\parallel AB\), kąty \(ACD\) i \(CAB\) są naprzemianległe, więc \(|\angle ACD|=|\angle CAB|\).

Z założenia \(|\angle CAD|=|\angle ABC|\).

Trójkąty \(ACD\) i \(BAC\) mają więc po dwa równe kąty, zatem są podobne, przy czym odpowiadające sobie wierzchołki to \(A\leftrightarrow B\), \(C\leftrightarrow A\), \(D\leftrightarrow C\).

Krok 2. Proporcje boków.

\(\frac{|AC|}{|BA|}=\frac{|CD|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|BC|}\)

Z ostatniego stosunku:

\(\frac{|AD|}{|BC|}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

Krok 3. Długość \(AB\).

\(\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{1}{2}\Rightarrow|AB|=2|AC|=2\cdot 10=20\)

Odpowiedź: B.

Krok 1. Oznaczenia.

Niech \(a\) będzie długością każdej krawędzi. Podstawą jest kwadrat o boku \(a\), a ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku \(a\).

Krok 2. Apotema ściany bocznej i apotema podstawy.

Wysokość ściany bocznej (trójkąta równobocznego) poprowadzona na krawędź podstawy:

\(m=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Odległość środka podstawy od środka krawędzi podstawy:

\(\frac{a}{2}\)

Krok 3. Cosinus kąta nachylenia.

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnej \(\frac{a}{2}\) i przeciwprostokątnej \(m\):

\(\cos\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Odpowiedź: A.

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę \(n\) występującą w mianowniku, czyli przez \(n^5\):

\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{-\frac{7}{n^2}+\frac{3}{n^4}}{\frac{1}{n^5}+\frac{2}{n^4}+\frac{3}{n^3}+4}\)

Wszystkie wyrażenia postaci \(\frac{c}{n^k}\) dążą do zera, więc granica jest równa:

\(\frac{0+0}{0+0+0+4}=0\)

Uwaga: stopień licznika (\(3\)) jest mniejszy od stopnia mianownika (\(5\)), więc granica jest równa \(0\).

Odpowiedź: C.

Krok 1. Równanie.

Z warunku \(q=a_1\) oraz ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego zbieżnego:

\(\frac{a_1}{1-a_1}=12\)

Krok 2. Rozwiązanie.

\(a_1=12-12a_1\)

\(13a_1=12\)

\(a_1=\frac{12}{13}\)

Krok 3. Sprawdzenie warunku zbieżności.

\(|q|=\frac{12}{13}\lt 1\) ✓

Krok 4. Rozwinięcie dziesiętne.

\(\frac{12}{13}=0{,}923076\ldots\)

Odpowiedź: \(9\), \(2\), \(3\)

Krok 1. Zależność między zdarzeniami.

Zdarzenia \(A\) oraz \(B\setminus A\) są rozłączne, a ich suma jest równa \(A\cup B\):

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)\)

Krok 2. Obliczenia.

\(P(B\setminus A)=P(A\cup B)-P(A)=\frac{3}{5}-\frac{2}{7}\)

\(=\frac{21}{35}-\frac{10}{35}=\frac{11}{35}\)

Krok 3. Rozwinięcie dziesiętne.

\(\frac{11}{35}=0{,}3142857\ldots\)

Odpowiedź: \(3\), \(1\), \(4\)

Krok 1. Podniesienie do kwadratu.

Obie strony nierówności są dodatnie (jako sumy i iloczyny pierwiastków z liczb dodatnich), więc możemy je podnieść do kwadratu — otrzymamy nierówność równoważną:

\((a+b)(c+d)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\)

\(ac+ad+bc+bd\ge ac+2\sqrt{ac}\cdot\sqrt{bd}+bd\)

Krok 2. Uproszczenie.

\(ad+bc\ge 2\sqrt{abcd}\)

Zauważmy, że \(\sqrt{abcd}=\sqrt{ad}\cdot\sqrt{bc}\), więc nierówność przyjmuje postać:

\(ad+bc-2\sqrt{ad}\cdot\sqrt{bc}\ge 0\)

Krok 3. Wzór skróconego mnożenia.

\(\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\ge 0\)

Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich \(a,b,c,d\), a ponieważ wszystkie przejścia były równoważne, dana nierówność również jest prawdziwa.

Uwaga: równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(ad=bc\). \(\blacksquare\)

Krok 1. Rozkład trójmianu na czynniki.

\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\)

Korzystając z własności \(|uv|=|u|\cdot|v|\), zapisujemy nierówność w postaci:

\(|x-1|\cdot|x-2|\ge|x-1|\)

Krok 2. Przeniesienie na jedną stronę.

\(|x-1|\cdot\left(|x-2|-1\right)\ge 0\)

Krok 3. Rozpatrzenie przypadków.

Przypadek 1: \(x=1\). Wtedy \(|x-1|=0\) i lewa strona jest równa \(0\), więc nierówność jest spełniona.

Przypadek 2: \(x\neq 1\). Wtedy \(|x-1|\gt 0\) i możemy przez tę liczbę podzielić:

\(|x-2|-1\ge 0\)

\(|x-2|\ge 1\)

\(x-2\ge 1\) lub \(x-2\le -1\)

\(x\ge 3\) lub \(x\le 1\)

Krok 4. Suma rozwiązań.

Łącząc oba przypadki:

Odpowiedź: \(x\in(-\infty,1\rangle\cup\langle 3,+\infty)\)

Krok 1. Cofanie się po wzorze rekurencyjnym.

Ze wzoru \(a_{n+1}=a_n+n-4\) mamy \(a_n=a_{n+1}-n+4\).

Dla \(n=3\): \(a_4=a_3+3-4\), czyli \(4=a_3-1\Rightarrow a_3=5\)

Dla \(n=2\): \(a_3=a_2+2-4\), czyli \(5=a_2-2\Rightarrow a_2=7\)

Dla \(n=1\): \(a_2=a_1+1-4\), czyli \(7=a_1-3\Rightarrow a_1=10\)

Krok 2. Badanie monotoniczności.

\(a_{n+1}-a_n=n-4\)

Dla \(n=1,2,3\) różnica jest ujemna (ciąg maleje), ale dla \(n=4\) różnica jest równa \(0\), a dla \(n\gt 4\) jest dodatnia.

W szczególności:

\(a_5=a_4+4-4=4=a_4\)

Skoro \(a_5=a_4\), to nie zachodzi \(a_5\lt a_4\), a zatem ciąg nie jest malejący.

Odpowiedź: \(a_1=10\); ciąg \((a_n)\) nie jest malejący.

Krok 1. Układ współrzędnych.

Przyjmijmy, że krawędź sześcianu ma długość \(2\), i wprowadźmy współrzędne:

\(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\), \(C=(2,2,0)\), \(D=(0,2,0)\)

\(E=(0,0,2)\), \(F=(2,0,2)\), \(G=(2,2,2)\), \(H=(0,2,2)\)

Punkt \(K\) jest środkiem krawędzi \(BF\), więc \(K=(2,0,1)\).

Krok 2. Równanie płaszczyzny \(ACK\).

\(\vec{AC}=[2,2,0]\), \(\;\vec{AK}=[2,0,1]\)

Wektor normalny otrzymujemy z iloczynu wektorowego:

\(\vec{n}=\vec{AC}\times\vec{AK}=[2\cdot 1-0\cdot 0,\;0\cdot 2-2\cdot 1,\;2\cdot 0-2\cdot 2]=[2,-2,-4]\)

Płaszczyzna przechodzi przez \(A=(0,0,0)\):

\(2x-2y-4z=0\), czyli \(x-y-2z=0\)

Krok 3. Punkt przecięcia z przekątną \(BH\).

Parametryzujemy odcinek \(BH\): \(B=(2,0,0)\), \(H=(0,2,2)\):

\(P=(2-2t,\;2t,\;2t)\), gdzie \(t\in\langle 0,1\rangle\)

Podstawiamy do równania płaszczyzny:

\((2-2t)-2t-4t=0\)

\(2-8t=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}\)

Krok 4. Wniosek.

Parametr \(t=\frac{1}{4}\) oznacza, że \(|BP|=\frac{1}{4}|BH|\), a więc \(|HP|=\frac{3}{4}|BH|\).

\(\frac{|BP|}{|HP|}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}\)

czyli \(|BP|:|HP|=1:3\). \(\blacksquare\)

Krok 1. Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków.

\(\Delta=(k-1)^2-4k^2\cdot 1=k^2-2k+1-4k^2=-3k^2-2k+1\)

\(\Delta\gt 0\iff 3k^2+2k-1\lt 0\iff(3k-1)(k+1)\lt 0\)

\(k\in\left(-1,\frac{1}{3}\right)\), a ponadto \(k\neq 0\), zatem:

\(k\in(-1,0)\cup\left(0,\frac{1}{3}\right)\)

Krok 2. Wyznaczenie \(m\).

Ze wzorów Viète’a: \(x_1+x_2=-\frac{k-1}{k^2}\), \(\;x_1x_2=\frac{1}{k^2}\)

\(m=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-\frac{k-1}{k^2}}{\frac{1}{k^2}}=-(k-1)=1-k\)

Krok 3. Funkcja.

\(f(k)=2^{\,1-k}\) dla \(k\in(-1,0)\cup\left(0,\frac{1}{3}\right)\)

Funkcja ta jest malejąca (podstawa \(2\gt 1\), a wykładnik \(1-k\) maleje wraz ze wzrostem \(k\)).

Krok 4. Zbiór wartości.

Obliczamy wartości na końcach przedziałów:

\(f(-1)=2^{2}=4\), \(\;f(0)=2^{1}=2\), \(\;f\left(\frac{1}{3}\right)=2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}\)

Dla \(k\in(-1,0)\) otrzymujemy wartości z przedziału \((2,4)\).

Dla \(k\in\left(0,\frac{1}{3}\right)\) otrzymujemy wartości z przedziału \(\left(\sqrt[3]{4},2\right)\).

Odpowiedź: \(ZW=\left(\sqrt[3]{4},2\right)\cup(2,4)\)

Krok 1. Podstawienie.

Niech \(t=\sin x\), gdzie \(t\in\langle-1,1\rangle\). Nierówność przyjmuje postać:

\((2t-3)(2t+1)\gt 0\)

Miejsca zerowe: \(t=\frac{3}{2}\) oraz \(t=-\frac{1}{2}\); współczynnik przy \(t^2\) jest dodatni, więc:

\(t\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2},+\infty\right)\)

Krok 2. Uwzględnienie zakresu sinusa.

Ponieważ \(\sin x\le 1\lt\frac{3}{2}\), drugi przedział nie daje rozwiązań. Pozostaje:

\(\sin x\lt-\frac{1}{2}\)

Można też zauważyć od razu, że \(2\sin x-3\lt 0\) dla każdego \(x\), więc iloczyn jest dodatni tylko wtedy, gdy \(2\sin x+1\lt 0\).

Krok 3. Rozwiązanie w przedziale \((0,2\pi)\).

Sinus przyjmuje wartość \(-\frac{1}{2}\) dla \(x=\frac{7\pi}{6}\) oraz \(x=\frac{11\pi}{6}\), a między tymi argumentami jest mniejszy od \(-\frac{1}{2}\).

Odpowiedź: \(x\in\left(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right)\)

Krok 1. Zapisanie warunku za pomocą funkcji trygonometrycznych.

Niech \(a\), \(b\) będą przyprostokątnymi (\(a\gt b\)), a \(c\) — przeciwprostokątną, oraz niech \(\alpha\) będzie kątem ostrym leżącym naprzeciw boku \(a\). Wtedy \(\sin\alpha=\frac{a}{c}\), \(\cos\alpha=\frac{b}{c}\), a warunek zadania przyjmuje postać:

\(\frac{a-b}{c}=\frac{1}{2}\), czyli \(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{1}{2}\)

Krok 2. Podniesienie do kwadratu.

\(\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=\frac{1}{4}\)

\(1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{4}\)

\(2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{4}\)

Krok 3. Równanie kwadratowe.

Podstawiamy \(\sin\alpha=\cos\alpha+\frac{1}{2}\) do jedynki trygonometrycznej:

\(\left(\cos\alpha+\frac{1}{2}\right)^2+\cos^2\alpha=1\)

\(2\cos^2\alpha+\cos\alpha-\frac{3}{4}=0\)

Mnożymy przez \(4\):

\(8\cos^2\alpha+4\cos\alpha-3=0\)

\(\Delta=16+96=112\), \(\;\sqrt{\Delta}=4\sqrt{7}\)

\(\cos\alpha=\frac{-4\pm 4\sqrt{7}}{16}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{4}\)

Krok 4. Wybór rozwiązania i drugi kąt.

Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha\gt 0\) i odrzucamy wartość ujemną:

\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}-1}{4}\)

Drugi kąt ostry spełnia \(\beta=90^\circ-\alpha\), zatem:

\(\cos\beta=\sin\alpha=\cos\alpha+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}-1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\)

Sprawdzenie: \(\left(\frac{\sqrt{7}-1}{4}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{7}+1}{4}\right)^2=\frac{8-2\sqrt{7}+8+2\sqrt{7}}{16}=1\) ✓

Odpowiedź: \(\frac{\sqrt{7}-1}{4}\) oraz \(\frac{\sqrt{7}+1}{4}\)

Cyfr nieparzystych jest \(5\) (\(1,3,5,7,9\)), parzystych też \(5\) (\(0,2,4,6,8\)), przy czym pierwsza cyfra liczby nie może być zerem. Rozpatrujemy dwa rozłączne przypadki.

Przypadek 1: pierwsza cyfra jest nieparzysta.

Pierwsza cyfra: \(5\) możliwości.

Wśród czterech pozostałych pozycji dokładnie dwie mają być nieparzyste: \(\binom{4}{2}=6\) sposobów wyboru, \(5^2\) sposobów wpisania cyfr nieparzystych i \(5^2\) sposobów wpisania cyfr parzystych.

\(5\cdot 6\cdot 25\cdot 25=18\,750\)

Przypadek 2: pierwsza cyfra jest parzysta.

Pierwsza cyfra: \(4\) możliwości (bez zera).

Wśród czterech pozostałych pozycji dokładnie trzy mają być nieparzyste: \(\binom{4}{3}=4\) sposoby wyboru, \(5^3\) sposobów wpisania cyfr nieparzystych i \(5\) sposobów wpisania cyfry parzystej.

\(4\cdot 4\cdot 125\cdot 5=10\,000\)

Suma.

\(18\,750+10\,000=28\,750\)

Odpowiedź: takich liczb jest \(28\,750\).

Krok 1. Kierunek prostej \(BC\).

Wysokość poprowadzona z \(A\) jest prostopadła do boku \(BC\). Prosta \(2x+19y+52=0\) ma wektor normalny \([2,19]\), zatem wektor ten jest równoległy do prostej \(BC\).

(Sprawdzenie: \(2\cdot(-7)+19\cdot(-2)+52=-14-38+52=0\), więc punkt \(A\) rzeczywiście leży na tej prostej.)

Prosta \(BC\) przechodzi przez \(B=(4,-7)\) i ma kierunek \([2,19]\):

\(C=(4+2t,\;-7+19t)\) dla pewnego \(t\in\mathbb{R}\)

Krok 2. Symetralna podstawy.

Trójkąt jest równoramienny o podstawie \(AB\), więc \(|CA|=|CB|\), czyli punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\).

Środek odcinka: \(M=\left(-\frac{3}{2},-\frac{9}{2}\right)\); wektor \(\vec{AB}=[11,-5]\).

Symetralna: \(11\left(x+\frac{3}{2}\right)-5\left(y+\frac{9}{2}\right)=0\)

\(11x-5y+\frac{33}{2}-\frac{45}{2}=0\)

\(11x-5y-6=0\)

Krok 3. Wyznaczenie punktu \(C\).

Podstawiamy współrzędne punktu \(C\):

\(11(4+2t)-5(-7+19t)-6=0\)

\(44+22t+35-95t-6=0\)

\(73-73t=0\Rightarrow t=1\)

\(C=(4+2,\;-7+19)=(6,12)\)

Sprawdzenie: \(|CA|=\sqrt{13^2+14^2}=\sqrt{365}\), \(\;|CB|=\sqrt{2^2+19^2}=\sqrt{365}\) ✓

Odpowiedź: \(C=(6,12)\)

Krok 1. Wysokość w zależności od promienia.

\(P_c=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi\)

Dzielimy przez \(2\pi\):

\(r^2+rh=1\)

\(h=\frac{1-r^2}{r}\)

Z warunków \(r\gt 0\) i \(h\gt 0\) wynika \(1-r^2\gt 0\), czyli \(r\in(0,1)\).

Krok 2. Objętość jako funkcja promienia.

\(V=\pi r^2 h=\pi r^2\cdot\frac{1-r^2}{r}=\pi r\left(1-r^2\right)\)

\(V(r)=\pi\left(r-r^3\right)\) dla \(r\in(0,1)\)

Krok 3. Badanie funkcji.

\(V'(r)=\pi\left(1-3r^2\right)\)

\(V'(r)=0\iff r^2=\frac{1}{3}\iff r=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\) (bierzemy wartość dodatnią)

Dla \(r\in\left(0,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\): \(V'(r)\gt 0\) — funkcja rosnąca.

Dla \(r\in\left(\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)\): \(V'(r)\lt 0\) — funkcja malejąca.

Zatem dla \(r=\frac{\sqrt{3}}{3}\) objętość jest największa.

Krok 4. Największa objętość.

\(V\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{3}}{27}\right)=\pi\left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{9}\right)=\pi\cdot\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{9}=\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}\)

Uwaga: odpowiadająca wysokość wynosi \(h=\frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

Odpowiedź: \(r=\frac{\sqrt{3}}{3}\), a największa objętość jest równa \(\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}\).