LekcjeRazem

Krok 1. Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków.

\(\Delta=(k-1)^2-4k^2\cdot 1=k^2-2k+1-4k^2=-3k^2-2k+1\)

\(\Delta\gt 0\iff 3k^2+2k-1\lt 0\iff(3k-1)(k+1)\lt 0\)

\(k\in\left(-1,\frac{1}{3}\right)\), a ponadto \(k\neq 0\), zatem:

\(k\in(-1,0)\cup\left(0,\frac{1}{3}\right)\)

Krok 2. Wyznaczenie \(m\).

Ze wzorów Viète’a: \(x_1+x_2=-\frac{k-1}{k^2}\), \(\;x_1x_2=\frac{1}{k^2}\)

\(m=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-\frac{k-1}{k^2}}{\frac{1}{k^2}}=-(k-1)=1-k\)

Krok 3. Funkcja.

\(f(k)=2^{\,1-k}\) dla \(k\in(-1,0)\cup\left(0,\frac{1}{3}\right)\)

Funkcja ta jest malejąca (podstawa \(2\gt 1\), a wykładnik \(1-k\) maleje wraz ze wzrostem \(k\)).

Krok 4. Zbiór wartości.

Obliczamy wartości na końcach przedziałów:

\(f(-1)=2^{2}=4\), \(\;f(0)=2^{1}=2\), \(\;f\left(\frac{1}{3}\right)=2^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{4}\)

Dla \(k\in(-1,0)\) otrzymujemy wartości z przedziału \((2,4)\).

Dla \(k\in\left(0,\frac{1}{3}\right)\) otrzymujemy wartości z przedziału \(\left(\sqrt[3]{4},2\right)\).

Odpowiedź: \(ZW=\left(\sqrt[3]{4},2\right)\cup(2,4)\)