Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd względny obliczymy korzystając ze wzoru \(δ=\frac{|x-p|}{x}\), gdzie:
\(δ\) - błąd względny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - wartość przybliżona

W naszym przypadku:
\(x=132,5\)
\(p=138\)

Krok 2. Obliczenie błędu względnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd względny obliczymy w następujący sposób:
$$\frac{|132,5-138|}{132,5}=\frac{|-5,5|}{132,5}=\frac{5,5}{132,5}\approx0,042$$

Z treści zadania wynika, że:
$$a=0,8b$$

My musimy policzyć jaki procent liczby \(a\) stanowi liczba \(b\), czyli musimy tak naprawdę obliczyć \(\frac{b}{a}\). W związku z tym:
$$\frac{b}{a}=\frac{b}{0,8b}=1,25=125\%$$

Tak na marginesie: w tym zadaniu bardzo łatwo jest o błąd, zwłaszcza że nie wszyscy wiedzą dlaczego akurat zapis \(a=0,8b\) jest tym poprawnym. Aby lepiej zrozumieć istotę tego zapisu, to można sobie to wyjaśnić na konkretnych przykładach liczbowych, przyjmując że np. \(b=10\). Jeżeli \(b=10\), to \(a\) będące o \(20\%\) mniejsze będzie równe \(a=8\). Teraz znacznie łatwiej będzie zrozumieć dlaczego \(a=0,8b\) i dlaczego liczymy \(\frac{b}{a}\).

Naszym zadaniem jest tak naprawdę usunięcie niewymierności z mianownika. W tym konkretnym przypadku wymnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{3}\) nic nam nie da. Tutaj należy pomnożyć licznik i mianownik przez \(6-\sqrt{3}\), dzięki czemu w mianowniku będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Przy okazji także w liczniku będziemy mogli zastosować wzór skróconego mnożenia: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{6}-\sqrt{3})}=$$ $$=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{3})^2}{6-3}=\frac{6-2\sqrt{18}+3}{3}=\frac{9-2\sqrt{18}}{3}=$$ $$=\frac{9-2\sqrt{9\cdot2}}{3}=\frac{9-6\sqrt{2}}{3}=3-2\sqrt{2}$$

Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy oraz korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(x-2)^2\le14-(2-x)(x+2)$$ $$x^2-4x+4\le14-(2x+4-x^2-2x)$$ $$x^2-4x+4\le14-2x-4+x^2+2x$$ $$x^2-4x+4\le x^2+10$$ $$-4x+4\le10$$ $$-4x\le6 \quad\bigg/:-4$$ $$x\ge-\frac{6}{4}$$ $$x\ge-\frac{3}{2}$$

To oznacza, że zbiorem rozwiązań nierówności będzie przedział \(\langle-\frac{3}{2},+\infty)\).

Zwróć też uwagę na to, że dzieląc (lub mnożąc) obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną zmienia się znak nierówności.

Sprawdźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A.
Zacznijmy od lewej strony. Skoro \(\sqrt[3]{125}=5\), to \(-\sqrt[3]{125}=-5\).
Po prawej stronie mamy \(\sqrt[3]{-125}=-5\), bo \(-5\cdot-5\cdot-5=-125\).
Pierwsze równanie jest więc prawdziwe.

Odp. B.
Wartość\(\sqrt{(-125)^2}\) jest równa \(125\), a nie \(-125\). Dlaczego akurat tak? Wynikiem pierwiastkowania w przypadku parzystego stopnia pierwiastka może być tylko liczba dodatnia. Z tego też względu jak mamy np. \(\sqrt{25}\), co moglibyśmy analogicznie zapisać jako chociażby \(\sqrt{(-5)^2}\), to wynik tego pierwiastkowania jest równy tylko i wyłącznie \(5\), mimo iż przecież \(-5\cdot(-5)\) także daje wynik równy \(25\).

Odp. C.
Po lewej stronie mamy \(\sqrt[5]{-64}\). Wyłączając czynnik przed znak pierwiastka otrzymamy \(\sqrt[5]{-32\cdot2}=-2\sqrt[5]{2}\). To jest dokładnie ten sam wynik co po prawej stronie równania, zatem zdanie jest prawdziwe.

Odp. D.
Po lewej stronie mamy \(5^{\frac{7}{3}}\). Zamieniając postać potęgi na postać pierwiastka otrzymamy: \(5^{\frac{7}{3}}=\sqrt[3]{5^7}=\sqrt[3]{5^6\cdot5}=5^2\sqrt[3]{5}=25\sqrt[3]{5}\). Zdanie jest więc prawdziwe, bo po lewej i prawej stronie mamy tą samą wartość.

Krok 1. Dostrzeżenie rodzaju przesunięcia wykresu funkcji.
Funkcja wykładnicza \(f(x)=a^x\) jest funkcją, która posiada dwie kluczowe cechy: dąży do zera oraz przecina oś igreków w punkcie \(A=(0;1)\). My na rysunku widzimy, że nasza funkcja dąży do jedynki i przecina oś igreków w punkcie \(R=(0;2)\), a to oznacza, że jest to funkcja przesunięta o jedną jednostkę do góry. Skoro tak, to jej wzorem będzie \(f(x)=a^{x}+1\). Do poznania pełnego wzoru tej funkcji musimy jeszcze ustalić wartość \(a\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji wykładniczej.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przechodzi przez punkt \(P=(2;3)\). Podstawiając zatem \(x=2\) oraz \(y=3\) do wzoru \(f(x)=a^x+1\) otrzymamy:
$$3=a^2+1$$ $$a^2=2$$ $$a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$

Z rysunku wynika, że funkcja jest rosnąca, a funkcje wykładnicze są rosnące jedynie dla \(a\gt1\). To oznacza, że \(a=\sqrt{2}\). Znając wartość \(a\) możemy już zapisać, że wzorem tej funkcji będzie \(f(x)=(\sqrt{2})^{x}+1\).

Krok 1. Zapisanie relacji między liczbą \(a\) oraz \(b\).
Skoro \(log_{b}a=4\), to zamieniając postać logarytmu na postać potęgi wyjdzie nam, że \(a=b^4\). Z tej relacji skorzystamy za chwilę podczas rozpisywania całego logarytmu.

Krok 2. Rozwiązanie logarytmu.
Korzystając z zamiany pierwiastków na potęgi otrzymamy:
$$log_{b}\sqrt[3]{ab^2}=log_{b}(a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}})$$

Podstawiając teraz \(a=b^4\) wyjdzie nam, że:
$$log_{b}((b^4)^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}})=log_{b}(b^{\frac{4}{3}}\cdot b^{\frac{2}{3}})=log_{b}b^2=2$$

Wykonując symetrię funkcji względem osi igreków zmienia nam się na przeciwny znak współczynnika kierunkowego \(a\). Skoro początkowa funkcja ma \(a=3\), to jej odbicie symetryczne względem osi igreków będzie mieć \(a=-3\). To oznacza, że poszukiwana przez nas funkcja przyjmuje wzór \(g(x)=-3x-2\).

Krok 1. Zapisanie nierówności.
Funkcja liniowa w postaci \(y=ax+b\) jest rosnąca wtedy, gdy współczynnik kierunkowy \(a\) jest większy od zera. W naszym przypadku \(a=8-p^2\), zatem musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$8-p^2\gt0$$

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, którą precyzyjniej moglibyśmy jeszcze zapisać jako \(-p^2+8\gt0\). Aby rozwiązać taką nierówność, to jak to zwykle bywa, musimy zacząć od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \(8-p^2=0\), zatem:
$$-p^2+8=0$$ $$p^2=8$$ $$p=\sqrt{8} \quad\lor\quad p=-\sqrt{8}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczając na osi liczbowej wartości wyznaczone przed chwilą możemy przystąpić do rysowania paraboli. Jej ramiona będą skierowane do dołu (bo przed \(p^2\) pojawił się minus), zatem całość będzie wyglądać następująco:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Z rysunku wynika, że wartości większe od zera są przyjmowane dla \(p\in(-\sqrt{8};\sqrt{8})\). To z kolei oznacza, że właśnie dla takich wartości naszego \(p\) funkcja liniowa będzie rosnąca. Omawiany przedział został zaprezentowany w trzeciej odpowiedzi.

Krok 1. Szkicowanie wykresu paraboli.
W treści zadania mamy podaną funkcję w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\) z której wprost możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Przyrównując wzór \(f(x)=-\frac{1}{2}(x-3)^2+2\) do postaci kanonicznej widzimy wyraźnie, że \(p=3\) oraz \(q=2\). Dodatkowo też możemy odczytać, że współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\), co z kolei będzie oznaczać, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Nasz wykres będzie więc wyglądał mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Odczytanie rozwiązania zadania.
Musimy ustalić dla jakiego parametru \(m\) prosta \(y=m\) będzie przecinać naszą parabolę w dwóch miejscach. Po wykresie widzimy wyraźnie, że aby tak się stało, to \(m\) musi być mniejsze od \(2\):


To oznacza, że interesującym nas rozwiązaniem będzie \(m\lt2\).

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(MN\).
Odcinek \(MN\) jest bokiem trójkąta równobocznego, a jego długość obliczymy ze wzoru:
$$|MN|=\sqrt{(x_{N}-x_{M})^2+(y_{N}-y_{M})^2}$$

Podstawiając współrzędne punktów \(M\) oraz \(N\) otrzymamy:
$$|MN|=\sqrt{(2-(-2))^2+(4-0)^2}$$ $$|MN|=\sqrt{4^2+4^2}$$ $$|MN|=\sqrt{16+16}$$ $$|MN|=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego.
Wiemy już, że bok trójkąta równobocznego ma długość \(a=4\sqrt{2}\). Naszym celem jest poznanie wysokości tego trójkąta. Korzystając więc ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego otrzymamy:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\frac{4\sqrt{6}}{2}$$ $$h=2\sqrt{6}$$

Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że musimy obliczyć wartość trzeciego wyrazu. Naszym zadaniem będzie więc podstawienie \(n=3\) do wzoru ciągu:
$$a_{3}=\sqrt{3^3}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{3}$$ $$a_{3}=3^{\frac{3}{2}}\cdot3^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{1}{6}}$$ $$a_{3}=3^{\frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$$ $$a_{3}=3^{\frac{9}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}}$$ $$a_{3}=3^2$$ $$a_{3}=9$$

Krok 1. Ustalenie wartości ilorazu ciągu geometrycznego.
Skoro każdy następny wyraz ma być dwa razy mniejszy od poprzedniego, to mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym w którym \(q=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a_{15}\).
Wiedząc, że \(a_{1}=4^{10}\) oraz \(q=\frac{1}{2}\) możemy skorzystać ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ $$a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{15-1}$$ $$a_{15}=4^{10}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{14}$$ $$a_{15}=\left(2^2\right)^{10}\cdot\left(2^{-1}\right)^{14}$$ $$a_{15}=2^{20}\cdot2^{-14}$$ $$a_{15}=2^{6}$$ $$a_{15}=64$$

Krok 1. Odczytanie z rysunku kluczowych informacji na temat prostych.
Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, czyli na pewno muszą mieć współczynnik kierunkowy \(a\) mniejszy od \(0\). Oprócz tego jesteśmy też w stanie odczytać konkretne wartości współczynnika \(b\), patrząc się na miejsce przecięcia się prostych z osią igreków. Jedna prosta przecina oś igreków dla \(y=1\), czyli współczynnik \(b=1\), natomiast druga prosta przecina oś igreków dla \(y=-2\), czyli ma współczynnik \(b=-2\).

Krok 2. Wskazanie prawidłowego układu równań.
Proste zapisane w układach równań mają postać \(y=ax+b\). Ustaliliśmy już sobie, że współczynnik \(a\) jednej i drugiej prostej musi być ujemny, co sprawia że możemy odrzucić drugą i czwartą odpowiedź.
Wiemy też, że współczynnik \(b\) jednej prostej ma być równy \(1\), a drugiej ma być równy \(-2\) i taką sytuację mamy w pierwszym układzie równań. Możemy więc bez wykonywania specjalnych obliczeń wskazać, że poszukiwaną prawidłową odpowiedzią jest pierwszy układ równań.

Krok 1. Zapisanie temperatury w Warszawie w skali Fahrenheita.
Skoro temperatura w Warszawie wyniosła \(20°C\), to zgodnie ze wzorem podanym w treści zadania możemy zapisać, że:
$$f=\frac{9}{5}\cdot20+32$$ $$f=36+32$$ $$f=68$$

To oznacza, że w Warszawie mieliśmy temperaturę \(68°F\).

Krok 2. Wyznaczenie różnicy temperatur między dwoma miastami.
Skoro w Nowym Jorku mamy \(77°F\), a w Warszawie \(68°F\), to różnica temperatur wyniesie:
$$77°F-68°F=9°F$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie trzema kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6\cdot6=6^3\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą następujące rzuty:
$$(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),$$ $$(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6)$$

To oznacza, że tylko sześć przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{6^3}=\frac{6}{6^2\cdot6}=\frac{1}{6^2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek odpowiednie informacje z treści zadania oraz łącząc środek okręgu z punktem styczności \(S\) otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(CO\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OSC\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|OS|^2+|SC|^2=|CO|^2$$ $$5^2+12^2=|CO|^2$$ $$25+144=|CO|^2$$ $$|CO|^2=169$$ $$|CO|=13 \quad\lor\quad |CO|=-13$$

Długość odcinka nie może być ujemna, zatem zostaje nam jedynie \(|CO|=13\).

Krok 3. Obliczenie wysokości \(CD\).
Patrząc się na rysunek możemy teraz zauważyć, że wysokość trójkąta będzie równa sumie długości odcinka \(CO\) (którą obliczyliśmy przed chwilą) oraz \(OD\) (który jest równy długości promienia okręgu), zatem:
$$|CD|=13+5$$ $$|CD|=18$$

Z tablic matematycznych możemy odczytać, że jeżeli mamy taką sytuację jak na powyższym rysunku, czyli kiedy jedno ramię kąta pokrywa się z osią iksów, wierzchołek kąta znajduje się w miejscu przecięcia się osi układu współrzędnych, a drugie ramię przechodzi przez punkt \(P=(x;y)\), to:
$$sinα=\frac{y}{r}$$ $$cosα=\frac{x}{r}$$ $$tgα=\frac{y}{x}$$
gdzie \(r\) to odległość od punktu \(P\) do początku układu współrzędnych, którą możemy policzyć ze wzoru \(r=\sqrt{x^2+y^2}\).

Krok 2. Obliczenie długości \(r\).
W naszym przypadku ramię kąta przechodzi przez punkt \(P=(-4;3)\), czyli \(x=-4\) oraz \(y=3\). Korzystając z podanego powyżej wzoru możemy zapisać, że:
$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ $$r=\sqrt{(-4)^2+3^2}$$ $$r=\sqrt{16+9}$$ $$r=\sqrt{25}$$ $$r=5$$

Krok 3. Obliczenie wartości poszczególnych funkcji trygonometrycznych.
Wiemy już, że \(x=-4\), \(y=3\) oraz \(r=5\), zatem możemy obliczyć każdą z wartości funkcji trygonometrycznych:
$$sinα=\frac{3}{5}$$ $$cosα=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5}$$ $$tgα=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$$

Porównując otrzymane wyniki z odpowiedziami widzimy wyraźnie, że prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuację z treści zadania możemy przedstawić na rysunku w następujący sposób:
--rysunek 408--

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ASB\).
Kąt \(ASB\) jest kątem środkowym, opisanym na tym samym łuku co kąt \(ACB\). Zgodnie z własnościami takich kątów wiemy, że w takim razie miara kąta \(ASB\) będzie dwukrotnie większa od miary kąta \(ACB\), zatem:
$$|\sphericalangle ASB|=2\cdot15°$$ $$|\sphericalangle ASB|=30°$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABS\).
W trójkącie \(ABS\) mamy dwa ramiona o długości \(6\) (są to promienie okręgu) i wiemy, że kąt między tymi ramionami ma długość \(30°\). Korzystając więc ze "wzoru na pole trójkąta z sinusem" możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot sin30°$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\frac{1}{2}$$ $$P=3\cdot6\cdot\frac{1}{2}$$ $$P=18\cdot\frac{1}{2}$$ $$P=9$$

Liczby podzielne przez \(5\) zawsze mają ostatnią cyfrę równą \(5\) lub \(0\). Ustalmy zatem ile cyfr możemy umiejscowić w rzędzie setek, dziesiątek i jedności:
• rząd setek - tutaj pasuje nam każda cyfra od \(1\) do \(9\) (bez \(0\), bo nie istnieje coś takiego jak \(035\)). Mamy więc dziewięć możliwości uzupełnienia rzędu setek.
• rząd dziesiątek - tutaj pasują nam cyfry \(2,3,5\) oraz \(7\), bo mają to być liczby pierwsze. Mamy więc cztery możliwości uzupełnienia rzędu dziesiątek.
• rząd jedności - tutaj pasują nam cyfry \(5\) oraz \(0\), bo liczba musi być podzielna przez \(5\). Mamy więc dwie możliwości uzupełnienia rzędu jedności.

W związku z tym wszystkich liczb trzycyfrowych spełniających warunki naszego zadania będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$9\cdot4\cdot2=72$$

Krok 1. Obliczenie średniej ocen Ani.
Na razie policzmy średnią ocen bez niewiadomej oceny \(x\). Mamy pięć znanych ocen, zatem:
$$śr=\frac{5+4+6+5+5}{5}$$ $$śr=\frac{25}{5}$$ $$śr=5$$

Krok 2. Wyznaczenie mediany ocen.
Aby wyznaczyć medianę z pięciu znanych ocen musimy najpierw uszeregować wyniki w porządku niemalejącymi (czyli od najmniejszego do największego). Otrzymamy w ten sposób:
$$4,5,5,5,6$$

Liczba ocen jest nieparzysta, zatem mediana będzie równa wartości środkowego wyrazu, czyli \(m=5\).

Krok 3. Interpretacja wartości niewiadomej \(x\).
Spójrzmy na naszą medianę. Gdybyśmy dopisali jeszcze jedną liczbę, to otrzymamy parzystą ilość liczb, czyli medianę będziemy wyliczać ze średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów. Niezależnie od tego jaką ocenę byśmy Ani dopisali, to środkowymi wyrazami będą \(5\) oraz \(5\), zatem mediana po dodaniu niewiadomej \(x\) będzie i tak równa \(5\).

W związku z tym, skoro średnia arytmetyczna znanych ocen jest równa \(5\), a wiemy że średnia ma być większa od mediany, to niewiadoma \(x\) musi być większa od piątki, czyli to musi być po prostu szóstka. Otrzymamy wtedy:
$$śr=\frac{5+4+6+5+5+6}{6}$$ $$śr=\frac{31}{6}$$ $$śr\approx5,17$$

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Graniastosłup jest prawidłowy, więc w podstawie musi znaleźć się figura foremna, a skoro jest to graniastosłup czworokątny, to w podstawie będziemy mieć kwadrat. Wiemy, że bok kwadratu ma długość \(a\), zatem:
$$P_{p}=a^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest \(8\) razy większe od pola podstawy, zatem:
$$P_{b}=8a^2$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
W graniastosłupie mamy cztery prostokątne ściany. Wiemy, że pole powierzchni bocznej (czyli pole wszystkich ścian bocznych) jest równe \(8a^2\). To oznacza, że pojedyncza ściana będzie mieć powierzchnię:
$$P_{śb}=8a^2:4$$ $$P_{śb}=2a^2$$

Pojedyncza ściana boczna jest prostokątem w którym jeden bok jest taki jak krawędź podstawy, czyli ma długość \(a\), a drugi bok jest wysokością graniastosłupa.


Skoro pole pojedynczej ściany ściany bocznej ma wynosić \(2a^2\), to:
$$P_{śb}=a\cdot H$$ $$2a^2=a\cdot H$$ $$H=2a$$

Krok 4. Obliczenie objętości.
Podstawiając do wzoru na objętość graniastosłupa znane nam dane otrzymamy:
$$V=P_{p}\cdot H$$ $$V=a^2\cdot2a$$ $$V=2a^3$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na stożek dane z treści zadania otrzymamy tak naprawdę trójkąty o kątach \(30°,60°,90°\), bowiem wysokość stożka podzieli nam kąt rozwarcia na dwa kąty o mierze \(60°\):


Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy.
Długość promienia możemy obliczyć korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) lub też z funkcji trygonometrycznych. W przypadku funkcji trygonometrycznych możemy skorzystać np. z sinusa:
$$sin60°=\frac{r}{4}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{4}$$ $$r=2\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy już wszystkie potrzebne miary, czyli \(r=2\sqrt{3}\) oraz \(l=4\), zatem pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=\pi rl$$ $$P_{b}=\pi\cdot2\sqrt{3}\cdot4$$ $$P_{b}=8\sqrt{3}\pi$$

I sposób - korzystając z rysunku:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) oraz funkcję \(g(x)\), będącą przesunięciem funkcji \(f(x)\) o cztery jednostki w prawo:


Krok 2. Odczytanie rozwiązania zadania.
Z rysunku wynika, że funkcja \(g(x)\) przyjmuje wartości większe od \(2\) dla:
$$x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$$


II sposób - korzystając ze wzoru funkcji:
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji \(g(x)\).
Przesunięcie funkcji o cztery jednostki w prawo powoduje, że we wzorze funkcji wartość stojącą przy iksie musimy pomniejszyć o \(4\). To oznacza, że \(g(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2\).

Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Musimy odpowiedzieć na pytanie kiedy nasza funkcja przyjmuje wartości większe od \(2\), czyli kiedy zajdzie nierówność:
$$\frac{1}{2}(x-4)^2\gt2$$

Najprościej będzie chyba wymnożyć obydwie strony przez \(2\) i doprowadzić nierówność do postaci ogólnej z której potem obliczymy deltę:
$$\frac{1}{2}(x-4)^2\gt2 \quad\bigg/\cdot2$$ $$(x-4)^2\gt4$$ $$x^2-8x+16\gt4$$ $$x^2-8x+12\gt0$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=12\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=64-48=16$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-4}{2\cdot1}=\frac{8-4}{2}=\frac{4}{2}=2$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+4}{2\cdot1}=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:


Punkty \(x=2\) oraz \(x=6\) mają niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla \(x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+3\neq0$$ $$x\neq-3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
To równanie najprościej jest rozwiązać dostrzegając, że zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia \(x^2-9\) to jest to samo co \((x+3)(x-3)\). Kiedy dostrzeżemy ten fakt, to całe zadanie jest już bardzo proste:
$$\frac{x^2-9}{x+3}=1-x$$ $$\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}=1-x$$ $$x-3=1-x$$ $$2x=4$$ $$x=2$$

Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, zatem poprawną odpowiedzią będzie \(x=2\).

Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tego sprytnego sposobu, to nie pozostaje nam nic innego jak wymnożyć lewą i prawą stronę przez \(x+3\), otrzymując:
$$\frac{x^2-9}{x+3}=1-x \quad\bigg/\cdot (x+3)$$ $$x^2-9=(1-x)(x+3)$$ $$x^2-9=x+3-x^2-3x$$ $$x^2-9=-x^2-2x+3$$ $$2x^2+2x-12=0$$

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy skorzystać z niezawodnej delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=2,\;c=-12\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot2\cdot(-12)=4-(-96)=4+96=100$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-10}{2\cdot2}=\frac{-12}{4}=-3$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+10}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2$$

Ale to nie koniec, bo musimy jeszcze sprawdzić zgodność z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=-3\) musimy odrzucić, zatem jedynym rozwiązaniem jakie nam zostanie będzie \(x=2\).

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Najpierw losujemy jedną z \(10\) piłeczek. Losowanie jest bez zwracania, więc drugą piłeczkę losujemy już tylko z puli \(9\) piłeczek. To oznacza, że wszystkich zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć \(|Ω|=10\cdot9=90\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest sytuacja w której wylosujemy dwie czarne piłeczki. W pierwszym losowaniu możemy trafić na jedną z siedmiu takich piłeczek. Jak już wylosujemy czarną piłeczkę, to w drugim losowaniu możemy trafić na jedną z sześciu piłeczek. W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia, liczba zdarzeń sprzyjających będzie równa \(|A|=7\cdot6=42\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy w układzie współrzędnych dwa wskazane wierzchołki i zobaczmy co z tego możemy otrzymać:


Tu powinniśmy dostrzec, że zaznaczony odcinek może być bokiem kwadratu, ale może też być jego przekątną, co sprawi że otrzymamy w tym zadaniu tak naprawdę dwie różne odpowiedzi.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Z rysunku jasno wynika, że odcinek \(AB\) ma długość \(3\). Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tego (albo gdyby nie było to takie oczywiste do odczytania) to możemy posłużyć się wzorem na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$ $$|AB|=\sqrt{(2-(-1))^2+(1-1)^2}$$ $$|AB|=\sqrt{3^2+0^2}$$ $$|AB|=\sqrt{9}$$ $$|AB|=3$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
I tu właśnie rozpatrujemy dwie możliwości:
• Pierwsza możliwość - jeżeli odcinek \(AB\) jest bokiem kwadratu, to:
$$P=a^2$$ $$P=3^2$$ $$P=9$$

• Druga możliwość - jeżeli odcinek \(AB\) jest przekątną kwadratu, to wiedząc że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\) możemy zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=3$$ $$a=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Moglibyśmy usunąć jeszcze niewymierność z mianownika, otrzymalibyśmy wtedy \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\), ale tak prawdę mówiąc, to nie trzeba wykonywać tej operacji, bo obliczając pole powierzchni i tak pozbędziemy się pierwiastka. Skoro więc \(a=\frac{3}{\sqrt{2}}\), to pole powierzchni będzie równe:
$$P=a^2$$ $$P=\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2$$ $$P=\frac{9}{2}=4,5$$

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Potraktujmy to zadanie tak, jakby to nie było zadanie dowodowe i spróbujmy wyznaczyć miejsca zerowe naszej funkcji. Aby wyznaczyć miejsca zerowe musimy przyrównać wzór funkcji do zera, zatem musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2x^2-3^{9}x+27^7=0$$

Równanie kwadratowe zapisane jest w postaci ogólnej, zatem możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=3^9,\;c=27^7\)
$$Δ=b^2-4ac=(3^9)^2-4\cdot2\cdot27^7=3^{18}-8\cdot27^7=3^{18}-8\cdot(3^3)^7=3^{18}-8\cdot3^{21}$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Wyraźnie widzimy, że \(3^{18}\) jest mniejsze od \(8\cdot3^{21}\), zatem nasza delta jest ujemna. Moglibyśmy to nawet rozpisać w taki sposób:
$$3^{18}-8\cdot3^{21}=3^{18}-8\cdot3^{18}\cdot3^{3}=3^{18}\cdot(1-8\cdot3^3)=3^{18}\cdot(-215)$$

Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że gdy delta jest ujemna, to taka funkcja nie ma miejsc zerowych i właśnie to trzeba było udowodnić.

Krok 1. Dostrzeżenie ciągu arytmetycznego.
Patrząc się na opisaną sytuację powinniśmy dostrzec, że zarobki Bartka układają się w ciąg arytmetyczny w którym \(a_{1}=20\) oraz \(r=3\).
Wiemy też, że ten ciąg jest skończony i będzie miał \(5\cdot8=40\) wyrazów.

Krok 2. Obliczenie zarobków Bartka.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów i podstawiając znane nam dane wypisane w poprzednim kroku możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$ $$S_{40}=\frac{2\cdot20+(40-1)\cdot3}{2}\cdot40$$ $$S_{40}=\frac{40+39\cdot3}{2}\cdot40$$ $$S_{40}=\frac{40+117}{2}\cdot40$$ $$S_{40}=\frac{157}{2}\cdot40$$ $$S_{40}=157\cdot20$$ $$S_{40}=3140$$

To oznacza, że Bartek zarobi \(3140\) złotych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Opisana w treści zadania sytuacja wygląda mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy dostrzec, że na rysunku pojawiły nam się dwa trójkąty podobne: \(ABE\) oraz \(DCE\). Ich podobieństwo wynika z cechy kąt-kąt-kąt, bowiem skoro prosta \(CD\) jest równoległa do prostej \(AB\), to kąty przy podstawach mają jednakową miarę, a kąt przy wierzchołku \(E\) jest wspólny dla obydwu trójkątów. Możemy więc dla ułatwienia wyodrębnić sobie na rysunku te dwa trójkąty:


Krok 3. Obliczenie skali podobieństwa.
Jeżeli przyjmiemy sobie, że mniejszy trójkąt \(DCE\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABE\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa będzie równa:
$$k=\frac{|AB|}{|DC|}$$ $$k=\frac{8}{2}$$ $$k=4$$

Uwaga: Gdybyśmy przyjęli, że trójkąt \(ABE\) jest podstawowy, a trójkąt \(DCE\) jest podobny, to skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{4}\) i jest to jak najbardziej poprawny tok rozwiązywania zadania. Różnica jest tylko taka, że w dalszych krokach trzeba konsekwentnie odnosić się do wybranej przez siebie figury podobnej.

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABE\).
Z własności figur podobnych wiemy, że trójkąt podobny w skali \(k\) ma pole powierzchni \(k^2\) razy większe od trójkąta podstawowego. Z treści zadania wynika, że \(P_{DCE}=2cm^2\), zatem:
$$P_{ABE}=k^2\cdot P_{DCE}$$ $$P_{ABE}=4^2\cdot2cm^2$$ $$P_{ABE}=16\cdot2cm^2$$ $$P_{ABE}=32cm^2$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu \(ABCD\).
Pole trapezu jest różnicą między polem powierzchni dużego trójkąta \(ABE\) i małego trójkąta \(DCE\), zatem:
$$P_{ABCD}=P_{ABE}-P_{DCE}$$ $$P_{ABCD}=32cm^2-2cm^2$$ $$P_{ABCD}=30cm^2$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(s\) - odległość z hali do domu (w kilometrach)
\(t\) - czas pokonania trasy pieszo (w godzinach)
\(t-\frac{1}{15}\) - czas pokonania trasy biegiem (w godzinach)

W przypadku czasu pokonania trasy biegiem odejmujemy wartość \(\frac{1}{15}\), bo \(4\) minuty to \(\frac{1}{15}\) godziny. Nie moglibyśmy zapisać, że czas ten wynosi \(t-4\), bo mielibyśmy niezgodność jednostek - czas mielibyśmy w minutach, a prędkość w \(\frac{km}{h}\).

Krok 2. Obliczenie czasu pokonania trasy pieszo.
To co jest niezmienne w przypadku pokonywania trasy pieszo i biegiem to droga jaką należy pokonać. Ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\) wynika, że \(s=v\cdot t\). Możemy więc ułożyć dwa następujące równania:
Pieszo: \(s=4\cdot t\)
Bieg: \(s=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right)\)

Te dwa równania możemy zapisać w postaci układu równań, dzięki któremu obliczymy czas pokonania trasy pieszo:
\begin{cases} s=4\cdot t \\ s=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right) \end{cases}

Układ ten najprościej będzie rozwiązać metodą podstawiania, zatem:
$$4\cdot t=6\cdot\left(t-\frac{1}{15}\right)$$ $$4t=6t-\frac{6}{15}$$ $$-2t=-\frac{6}{15} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$$ $$t=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}[h]$$

Krok 3. Obliczenie odległości z hali do domu.
Skoro wyszło nam, że \(t=\frac{1}{5}\), to korzystając z równania \(s=4\cdot t\) możemy bez problemu obliczyć odległość z hali do domu:
$$s=4\cdot t$$ $$s=4\cdot\frac{1}{5}$$ $$s=\frac{4}{5}[km]$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczając w układzie współrzędnych dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
Korzystając ze wzoru na środek odcinka i podstawiając odpowiednie współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ $$P=\left(\frac{-2+8}{2};\frac{-4+1}{2}\right)$$ $$P=\left(\frac{6}{2};\frac{-3}{2}\right)$$ $$P=\left(3;-\frac{3}{2}\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\).
Oś symetrii jest prostą prostopadłą do prostej \(AB\), która przechodzi przez środek tego odcinka. Możemy wyznaczyć równanie prostej \(AB\) (np. metodą układu równań), ale nam tak naprawdę wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\), a ten jesteśmy w stanie policzyć z prostego wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$ $$a=\frac{1-(-4)}{8-(-2)}$$ $$a=\frac{1+4}{8+2}$$ $$a=\frac{5}{10}$$ $$a=\frac{1}{2}$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej będącej osią symetrii trapezu.
Wiemy już, że oś symetrii trapezu jest prostą prostopadłą do prostej \(AB\), która przechodzi przez punkt \(P\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to oś symetrii będzie mieć współczynnik \(a=-2\), bo \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\).

To oznacza, że oś symetrii da się opisać równaniem \(y=-2x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(P=\left(3;-\frac{3}{2}\right)\), przez które ta prosta przechodzi. Otrzymamy w ten sposób:
$$y=-2x+b$$ $$-\frac{3}{2}=-2\cdot3+b$$ $$-\frac{3}{2}=-6+b$$ $$b=4\frac{1}{2}$$

Znając współczynnik \(b\) znamy już równanie naszej osi symetrii, a będzie to \(y=-2x+4\frac{1}{2}\).

Krok 5. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(CD\).
Prosta \(CD\) jest równoległa do prostej \(AB\), zatem te dwie proste będą miały identyczny współczynnik kierunkowy \(a\). Możemy więc już w tym momencie zapisać, że prosta \(CD\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\).

Krok 6. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Wiemy już, że prosta \(CD\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), czyli możemy ją opisać równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Brakujący współczynnik \(b\) poznamy podstawiając współrzędne jednego punktu przez które ta prosta przechodzi, czyli punktu \(C=(4,4)\). Otrzymamy wtedy:
$$y=\frac{1}{2}x+b$$ $$4=\frac{1}{2}\cdot4+b$$ $$4=2+b$$ $$b=2$$

W związku z tym prosta \(CD\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+2\).

Krok 7. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(CD\) i jednocześnie jest miejscem przecięcia się osi symetrii oraz prostej \(CD\). Znamy równania jednej i drugiej prostej, zatem możemy ułożyć układ równań którego rozwiązaniem będą właśnie współrzędne punktu \(S\):
$$\begin{cases} y=-2x+4\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2}x+2 \end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$-2x+4\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x+2$$ $$-2\frac{1}{2}x=-2\frac{1}{2}$$ $$x=1$$

Znamy już współrzędną iksową, więc jeszcze musimy obliczyć współrzędną igrekową, a poznamy ją podstawiając \(x=1\) do dowolnego równania (np. pierwszego):
$$y=-2x+4\frac{1}{2}$$ $$y=-2\cdot1+4\frac{1}{2}$$ $$y=-2+4\frac{1}{2}$$ $$y=2\frac{1}{2}$$

To oznacza, że \(S=\left(1;2\frac{1}{2}\right)\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Czworościan foremny to bryła mająca wszystkie krawędzie jednakowej długości. Tym samym każda ściana tej bryły jest trójkątem równobocznym. Zaznaczmy na naszym rysunku poszukiwany kąt i zobaczmy jakie odcinki będą go tworzyć:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OC\).
Spójrzmy na rysunek pomocniczy. Wynika z niego, że odcinek \(OC\) będący dolną przyprostokątną trójkąta prostokątnego ma długość \(\frac{2}{3}h_{p}\). Skoro w podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a\), to:
$$|OC|=\frac{2}{3}\cdot h_{p}$$ $$|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$|OC|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Cosinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie oraz przeciwprostokątnej, zatem:
$$cosα=\frac{|OC|}{|CS|}$$ $$cosα=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}$$ $$cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}:a$$ $$cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{a}$$ $$cosα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4. Uproszczenie wyrażenia.
Na początek musimy uprościć nasze wyrażenie, korzystając ze wzorów redukcyjnych oraz z jedynki trygonometrycznej. Jeżeli chodzi o wzory redukcyjne to wykorzystamy tutaj zależność \(cos(90°-α)=sinα\). Po lewej stronie równania mamy \(cos^2(90°-α)\), zatem korzystając ze wspomnianego wzoru redukcyjnego możemy zapisać, że to będzie równe \(sin^2α\). Całość wyrażenia będzie więc wyglądać następująco:
$$cos^2(90°-α)-cos2α=sin^2α-cos^2α$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), czyli że \(sin^2α=1-cos^2α\). Skoro tak, to podstawiając to do wyznaczonej przed chwilą postaci otrzymamy:
$$sin^2α-cos^2α=1-cos^2α-cos^2α=1-2cos^2α$$

Krok 5. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
Skoro \(cosα=\frac{\sqrt{3}}{3}\) to wartość naszego wyrażenia będzie równa:
$$1-2cos^2α=1-2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2=$$ $$=1-2\cdot\frac{3}{9}=1-\frac{6}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$