Aby obliczyć błąd względny musimy posłużyć się następującym wzorem:
$$δ=\frac{|x-x_{o}|}{x}$$

W naszym przykładzie:
$$x=\frac{5}{8}=0,625$$ $$x_{o}=0,6$$ $$\text{więc}$$ $$δ=\frac{|0,625-0,6|}{0,625}$$ $$δ=\frac{0,025}{0,625}$$ $$δ=0,04=4\%$$

Spróbujmy narysować sobie szkic tej sytuacji, całość będzie wyglądać następująco:



Z rysunku widać, że kompletnie nie interesuje nas promień okręgu, dlatego zupełnie nie ma co się przejmować tak dużymi liczbami. My musimy skupić się tylko na środkach okręgów. Odległość między środkami okręgów jest równa \(6+6=12\) jednostek.

Równanie jest przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi zerować nam to równanie. Zatem:
$$(x^3-8)(x-5)(2x+1)=0$$ $$x^3-8=0 \quad\lor\quad x-5=0 \quad\lor\quad 2x+1=0$$ $$x^3=8 \quad\lor\quad x=5 \quad\lor\quad 2x=-1$$ $$x=2 \quad\lor\quad x=5 \quad\lor\quad x=-\frac{1}{2}$$

Komplet rozwiązań znalazł się więc w trzeciej odpowiedzi.

Przyjmijmy cenę początkową jako \(x\).
Po pierwszej podwyżce cena towaru wyniosła \(x\) plus \(30\%\) z ceny \(x\), czyli \(1,3x\).
Po drugiej podwyżce cena towaru wzrosła o \(10\%\), ale nie z ceny \(x\), tylko z \(1,3x\). Zatem mamy \(1,1\cdot1,3x=1,43x\).

Cena towaru wzrosła o \(1,43x-x=0,43=43\%\).

Krok 1. Obliczenie wartości kilku argumentów obydwu funkcji.
Spróbujmy obliczyć wartości kilku charakterystycznych argumentów, tak aby móc za chwilę wykonać szkic rysunku obydwu funkcji:
$$f(0)=-5\cdot0+1=0+1=1$$ $$f(1)=-5\cdot1+1=-5+1=-4$$ $$f(-1)=-5\cdot(-1)+1=5+1=6$$ $$\text{oraz}$$ $$g(0)=5^0=1$$ $$g(1)=5^1=5$$ $$g(-1)=5^{-1}=\frac{1}{5}$$

Krok 2. Sporządzenie szkicu wykresów obydwu funkcji.
Nanieśmy wyznaczone przed chwilą punkty i sprawdźmy ile punktów wspólnych będą mieć wykresy tych funkcji.



Widzimy wyraźnie, że te dwie funkcje mają jeden punkt wspólny i jest to punkt o współrzędnych \((0;1)\).

Wbrew pozorom w tym zadaniu nie chodzi o użycie wzorów skróconego mnożenia, bo tradycyjne wzory związane są z dwoma wyrazami, a tutaj w nawiasie mamy aż trzy wyrazy. Najprościej będzie to po prostu wymnożyć na piechotę, porządkując na koniec cały zapis:
$$(3x+1+y)^2=(3x+1+y)\cdot(3x+1+y)=$$ $$=9x^2+3x+3xy+3x+1+y+3xy+y+y^2=$$ $$=9x^2+y^2+6xy+6x+2y+1$$

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie poniższego równania:
$$\frac{1}{2}\cdot(4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28})=...$$

Warto zauważyć, że mamy cztery razy dodawanie liczby \(4^{28}\), co możemy zapisać oczywiście jako \(4\cdot4^{28}\). Dostrzeżenie tego faktu jest tak naprawdę kluczem do rozwiązywania tego typu zadań. Na sam koniec musimy już tylko wykonać poprawnie działania na potęgach, tak aby w podstawie potęgi znalazła się liczba \(2\).
$$\frac{1}{2}\cdot4\cdot4^{28}=2\cdot4^{28}=$$ $$=2\cdot(2^2)^{28}=2^1\cdot2^{56}=2^{57}$$

Krok 1. Określenie wartości współczynników kierunkowych obu prostych.
Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(a=-\frac{3}{4}\), natomiast drugiej prostej jest równy \(a=0\) (jest to funkcja stała).

Krok 2. Weryfikacja poszczególnych odpowiedzi.
\(Odp. A.\): Aby dwie przecinały się pod kątem \(90°\) (czyli aby proste były względem siebie prostopadłe) to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). W naszym przypadku tak nie jest, więc odrzucamy tą odpowiedź.

\(Odp. B.\) oraz \(Odp. D.\): Aby dwie proste były równoległe względem siebie (niezależnie od tego czy się pokrywają czy nie) to muszą mieć identyczny współczynnik kierunkowy. Tą odpowiedź także musimy odrzucić, bo u nas współczynniki są różne.

Jedyną odpowiedzią, która nam zostaje jest \(Odp. C\). i faktycznie te dwie proste przetną się pod kątem innym niż \(90°\), co możemy jeszcze zweryfikować na rysunku:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie układ współrzędnych i oznaczmy na nim (przynajmniej mniej więcej) poszczególne punkty. Pamiętaj, że \(\sqrt{2}\approx1,41\) oraz \(\sqrt{6}\approx2,45\).



Krok 2. Obliczenie miary kąta.
Powstał nam trójkąt prostokątny w którym znamy tak naprawdę długości dwóch przyprostokątnych:
$$|BC|=\sqrt{2}$$ $$|AC|=\sqrt{6}$$

Aby obliczyć miarę kąta \(BAC\) możemy skorzystać z funkcji tangensa:
$$tgα=\frac{|BC|}{|AC|}$$ $$tgα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$$ $$tgα=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}$$ $$tgα=\frac{\sqrt{12}}{6}$$ $$tgα=\frac{\sqrt{4\cdot3}}{6}$$ $$tgα=\frac{2\sqrt{3}}{6}$$ $$tgα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Z tablic trygonometrycznych odczytujemy, że tangens przyjmuje wartość \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) dla kąta o mierze \(30°\).

Musimy odpowiedzieć tak naprawdę na pytanie - jakie są ostatnie cyfry liczb, które są wynikami podniesienia liczby do kwadratu. Przykładowo:
Liczby zakończone na \(2\):
$$2^2=\color{blue}{4}$$ $$72^2=518\color{blue}{4}$$ $$82^2=672\color{blue}{4}$$ $$92^2=846\color{blue}{4}$$

Liczby zakończone na \(3\):
$$3^2=\color{blue}{9}$$ $$73^2=532\color{blue}{9}$$ $$83^2=688\color{blue}{9}$$ $$93^2=864\color{blue}{9}$$

Liczby zakończone na \(9\):
$$9^2=8\color{blue}{1}$$ $$79^2=624\color{blue}{1}$$ $$89^2=792\color{blue}{1}$$ $$99^2=980\color{blue}{1}$$

Widzimy wyraźnie, że istnieje zbieżność, między ostatnią cyfrą liczby podniesioną do kwadratu, a kwadratem tej liczby. Gdybyśmy rozpatrzyli tak wszystkie możliwe przypadki (końcówki liczb od \(0\) do \(9\)) to zauważymy, że:
Ostatnia cyfra \(0\) - Kwadrat liczby kończy się na \(0\)
Ostatnia cyfra \(1\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)
Ostatnia cyfra \(2\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(3\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(4\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(5\) - Kwadrat liczby kończy się na \(5\)
Ostatnia cyfra \(6\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)
Ostatnia cyfra \(7\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)
Ostatnia cyfra \(8\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)
Ostatnia cyfra \(9\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)

Z naszych rozważań wynika, że na końcach kwadratów znaleźć się może jedna z sześciu liczb: \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). W związku z tym zbiór wartości funkcji \(f\) składa się z \(6\) elementów.

Wbrew pozorom nie można tego zadania rozwiązać tak jak rozwiązujemy standardowe proporcje. W zadaniu mamy przykład wielkości ODWROTNIE proporcjonalnej, więc metody typu "mnożenie na krzyż" nie zaprowadzą nas do skutecznego rozwiązania. Jak więc to powinniśmy rozwiązać?

I sposób:
Skoro \(25\) pracowników wykonuje tą pracę przez \(156\) dni, to jeden pracownik potrzebowałby na to:
$$25\cdot156dni=3900dni$$

Jeśli chcemy wykonać tę pracę w \(100\) dni to potrzebujemy:
$$3900:100=39\text{ [pracowników]}$$

Skoro mamy \(25\) pracowników, a potrzebujemy \(39\), to musimy zatrudnić dodatkowe \(14\) osób.

II sposób:
Wprowadźmy sobie niewiadomą \("praca"\), która będzie nam symbolizować jak dużo pracy trzeba wykonać. Im więcej osób pracuje, tym czas tej pracy jest mniejszy, zatem:
$$\frac{praca}{25}=156$$ $$praca=156\cdot25$$ $$praca=3900$$

Teraz tą samą pracę chcemy wykonać mając \(25+p\) pracowników (\(p\) to liczba dodatkowych pracowników). Czas tej pracy wyniesie \(100\) dni, zatem:
$$\frac{praca}{25+p}=100$$ $$\frac{3900}{25+p}=100$$ $$3900=100\cdot(25+p)$$ $$3900=2500+100p$$ $$1400=100p$$ $$p=14$$

Krok 1. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Musimy obliczyć pole powierzchni trójkąta \(ABD\), który jest podstawą tego ostrosłupa. Jest to połowa kwadratu o boku \(a\), zatem:
$$P_{p}=\frac{1}{2}a^2$$

Krok 2. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Pole podstawy ostrosłupa obliczyliśmy przed chwilą. Wysokość ostrosłupa \(H=a\), bo jest to sześcian, zatem:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$V_{o}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}a^2\cdot a$$ $$V_{o}=\frac{1}{6}a^3$$

Krok 3. Obliczenie objętości pozostałej części sześcianu.
Cały sześcian ma objętość równą \(V=a^3\). Aby więc obliczyć objętość pozostałej części (bo to do niej musimy się odnieść) to musimy od objętości sześcianu odjąć obliczoną przed chwilą objętość ostrosłupa:
$$V_{p}=a^3-\frac{1}{6}a^3$$ $$V_{p}=\frac{5}{6}a^3$$

To oznacza, że objętość ostrosłupa jest pięciokrotnie mniejsza od pozostałej części sześcianu.

Krok 1. Odczytanie informacji z wykresu.
Z wykresu funkcji kwadratowej musimy odczytać dwie kluczowe informacje:
- współrzędne wierzchołka \(W=(2;4)\).
- współczynnik kierunkowy \(a\) - ramiona są skierowane do dołu, więc na pewno \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji kwadratowej.
Funkcja kwadratowa o wierzchołku w punkcie \(W=(p;q)\) przyjmuje wzór:
$$y=a(x-p)^2+q$$

W naszym przypadku będzie to w takim razie:
$$y=a(x-2)^2+4$$

Pasują nam w tym momencie dwie odpowiedzi: \(A\) oraz \(C\). Z racji tego, że ramiona paraboli są skierowane do dołu i współczynnik kierunkowy \(a\lt0\), to prawidłową odpowiedzią będzie \(C\), gdyż to właśnie tam na początku znalazł się minus.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Spróbujmy mniej więcej zaznaczyć w układzie współrzędnych punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\):



Nie znamy współrzędnych punktu \(D\) (na rysunku jest on tylko by zobrazować sobie jak wygląda ten równoległobok), ale nie jest nam on na szczęście potrzebny. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, zatem wystarczy wyznaczyć środek odcinka \(AC\) (a mamy na to wzór w tablicach).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się przekątnych.
Zgodnie ze wzorami współrzędne \(S=(x_{S};y_{S})\) środka odcinka \(AC\) możemy obliczyć w następujący sposób:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$ $$x_{S}=\frac{-6-2\sqrt{2}+2+6\sqrt{2}}{2}$$ $$x_{S}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2}$$ $$x_{S}=-2+2\sqrt{2}$$

Tak naprawdę moglibyśmy w tym momencie skończyć rozwiązywanie zadania, bo tylko w czwartej odpowiedzi znajduje się obliczona przed chwilą współrzędna \(x_{S}\). Dla sprawdzenia i wprawy obliczmy sobie jeszcze współrzędną \(y_{S}\):
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$ $$y_{S}=\frac{4-2\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}}{2}$$ $$y_{S}=\frac{10-4\sqrt{2}}{2}$$ $$y_{S}=5-2\sqrt{2}$$

Musimy skorzystać z jednego ze wzorów redukcyjnych:
$$sin(90°+α)=cosα$$ $$sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$

Długości boków trójkątów tworzą tak naprawdę ciąg arytmetyczny. Zapiszmy sobie kilka przykładowych wyrazów tego ciągu, zamieniając od razu metry na centymetry (dzięki temu pozbędziemy się ułamków):
$$a_{1}=100$$ $$a_{2}=110$$ $$a_{3}=120$$ $$...$$ $$a_{n}=590$$

Naszym zadaniem jest wyznaczenie liczby wszystkich wyrazów tego ciągu, wiedząc że \(a_{1}=100\) oraz \(r=10\). Do tego celu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ $$590=100+(n-1)\cdot10$$ $$590=100+10n-10$$ $$590=90+10n$$ $$10n=500$$ $$n=50$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(50\) wyrazów, czyli na muralu pojawiło się \(50\) trójkątów.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Z racji tego, że kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są równej miary to nasz rysunek będzie wyglądał następująco:



Jeżeli obliczymy teraz wartość kąta \(α\) (czyli kąta między ramionami trójkąta) to będziemy mogli policzyć pole figury ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Skoro suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\), to:
$$α=180°-67,5°-67,5°=45°$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot sin45°$$ $$P=200\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$P=100\cdot\sqrt{2}$$

Zgodnie z zasadą podobieństwa figur, jeśli krawędzie pierwszego ostrosłupa są \(k\) razy większe od drugiego, to pole powierzchni całkowitej pierwszego ostrosłupa jest \(k^2\) większe od pola drugiego, a objętość jest \(k^3\) razy większa.

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa, czyli \(k\).
Wczytując się w treść zadania wiemy, że pole powierzchni całkowitej pierwszego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola drugiego ostrosłupa, zatem:
$$k^2=2$$ $$k=\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie ile razy objętość pierwszego ostrosłupa jest większa od drugiego.
Zgodnie z tym co sobie napisaliśmy na wstępie - objętość pierwszego ostrosłupa będzie \(k^3\) razy większa, zatem:
$$k^3=(\sqrt{2})^3=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ASC\).
Musimy zauważyć, że trójkąt \(ACS\) jest trójkątem równoramiennym. Skąd to wiemy? Jego ramiona \(AS\) oraz \(CS\) mają długość równą długości promienia tego okręgu. Skoro tak, to kąty przy podstawie \(AC\) mają równą miarę, a to pozwoli nam wyznaczyć miarę kąta \(ASC\):
$$|\sphericalangle ASC|=180°-21°-21°$$ $$|\sphericalangle ASC|=138°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ADC\).
Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Zatem:
$$|\sphericalangle ASC|=138°:2$$ $$|\sphericalangle ASC|=69°$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Do obliczenia niewiadomej \(x\) skorzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną. Wszystkich liczb (łącznie z niewiadomą \(x\)) mamy osiem, zatem:
$$\frac{3+8+3+11+3+10+3+x}{8}=6$$ $$\frac{41+x}{8}=6$$ $$41+x=48$$ $$x=7$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Aby móc obliczyć medianę musimy najpierw uporządkować wyrazy w kolejności niemalejącej:
$$3, 3, 3, 3, 7, 8, 10, 11$$

Mamy parzystą liczbę wyrazów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb:
$$m=\frac{3+7}{2}$$ $$m=\frac{10}{2}$$ $$m=5$$

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Aby móc obliczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego (w tym także dziesiątego) potrzebujemy znać wartość pierwszego wyrazu oraz iloraz ciągu. Brakuje nam tylko ilorazu, zatem obliczmy go w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$ $$q=\frac{2}{-\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości dziesiątego wyrazu ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego, a skoro interesuje nas poznanie wartości dziesiątego wyrazu to podstawimy do niego \(n=10\):
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ $$a_{10}=a_{1}\cdot q^{10-1}$$ $$a_{10}=-\sqrt{2}\cdot (-\sqrt{2})^{9}$$ $$a_{10}=(-\sqrt{2})^{1+9}$$ $$a_{10}=(-\sqrt{2})^{10}$$

Aby pozbyć się minusa i otrzymać dokładny wynik tego potęgowania to najprościej jest chyba zapisać to w następującej formie:
$$a_{10}=((-\sqrt{2})^{2})^{5}$$ $$a_{10}=2^{5}$$ $$a_{10}=32$$

Krok 1. Obliczenie łącznej liczby wyrazów nieujemnych ciągu \((a_{n})\).
Musimy ustalić ile wyrazów tego ciągu przyjmuje wartość większą lub równą zero. To oznacza, że musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\ge0$$ $$\frac{24-4n}{n}\ge0 \quad\bigg/\cdot n$$ $$24-4n\ge0$$ $$-4n\ge-24 \quad\bigg/:(-4)$$ $$n\le6$$

Z tego rozwiązania wynika, że ciąg ma sześć wyrazów, które są większe lub równe zero.

Tak na marginesie - mogliśmy pomnożyć obie strony nierówności przez \(n\), bo wiemy że \(n\ge1\). Stąd też nie ma obaw, że jest to liczba ujemna, która powodowałaby zmianę znaku. O zmianie znaku nierówności należało za to pamiętać dzieląc obie strony przez \(-4\).

Krok 2. Wyznaczenie liczby całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu.
Niestety to nie koniec zadania. Pułapka w tym zadaniu polega na tym, że nie każdy z tych sześciu nieujemnych wyrazów jest liczbą całkowitą. Nie ma innego wyjścia, musimy obliczyć po kolei wartość każdego z tych wyrazów:
$$a_{1}=\frac{24-4\cdot1}{1}=\frac{24-4}{1}=\frac{20}{1}=20$$ $$a_{2}=\frac{24-4\cdot2}{2}=\frac{24-8}{2}=\frac{16}{2}=8$$ $$a_{3}=\frac{24-4\cdot3}{3}=\frac{24-12}{3}=\frac{12}{3}=4$$ $$a_{4}=\frac{24-4\cdot4}{4}=\frac{24-16}{4}=\frac{8}{4}=2$$ $$a_{5}=\frac{24-4\cdot5}{5}=\frac{24-20}{5}=\frac{4}{5}$$ $$a_{6}=\frac{24-4\cdot6}{6}=\frac{24-24}{6}=\frac{0}{6}=0$$

Z naszych obliczeń wynika, że pięć wyrazów jest liczbą całkowitą (wszystkie oprócz \(a_{5}\)), zatem prawidłową odpowiedzią jest \(C\).

W każdym rzucie kostką możemy otrzymać jeden z sześciu wyników. Poszczególne rzuty kostką są względem siebie niezależne, stąd też prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej liczby będzie zawsze to samo i wyniesie \(p=\frac{1}{6}\).

Tak naprawdę to zadanie można było rozwiązać bez żadnych obliczeń, bowiem skoro wynik logarytmu ma spełniać równanie \(4^x=9\), to zgodnie z definicją logarytmu w jego podstawie musi znaleźć się liczba \(4\). Taką sytuację mamy tylko i wyłącznie w ostatniej odpowiedzi.

Gdybyśmy tego nie zauważyli, to moglibyśmy skorzystać z następującego wzoru z tablic matematycznych:
$$\color{blue}{a}^{\color{orange}{\log_{a}c}}=\color{green}{c}$$

Porównując to bezpośrednio do naszego zapisu \(\color{blue}{4}^{\color{orange}{x}}=\color{green}{9}\) mamy:
$$a=4,\;\log_{a}c=x,\;c=9$$ $$\text{zatem:}$$ $$x=\log_{a}c=\log_{4}9$$

Takiej odpowiedzi jednak nie mamy w naszym zadaniu, dlatego otrzymany wynik musimy przekształcić do formy przedstawionej w odpowiedziach:
$$\log_{4}9=\log_{4}3^2=2\log_{4}{3}$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-4,\;c=21\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot21=16-(-84)=16+84=100$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-10}{2\cdot(-1)}=\frac{4-10}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+10}{2\cdot(-1)}=\frac{4+10}{-2}=\frac{14}{-2}=-7$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, bo współczynnik \(a\) jest ujemny. Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, to w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesują nas wartości mniejsze od zera, zatem rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów \(x\in(-\infty;-7)\cup(3;+\infty)\).

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim przystąpimy do obliczeń musimy sobie zapisać założenia do tego równania, które wynikają z tego, że mianownik ułamka nie może być równy zero. Zatem:
$$x-2\neq0$$ $$x\neq2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Możemy już przystąpić do obliczeń. Najprościej będzie zacząć obliczenia od wymnożenia obu stron przez wartość \((x-2)\), pozbywając się w ten sposób ułamka:
$$\frac{2x+4}{x-2}=2x+1 \quad\bigg/\cdot (x-2)$$ $$2x+4=(2x+1)\cdot(x-2)$$ $$2x+4=2x^2-4x+x-2$$ $$2x+4=2x^2-3x-2$$ $$-2x^2+5x+6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie możemy rozwiązać za pomocą metody delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot6=25-(-48)=25+48=73$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{73}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5-\sqrt{73}}{-4}=\frac{5+\sqrt{73}}{4}$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5+\sqrt{73}}{-4}=\frac{5-\sqrt{73}}{4}$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Obydwa rozwiązania tego równania są jak najbardziej poprawne (nie wykluczają się z naszymi założeniami z pierwszego kroku). Naszym zadaniem jest jednak udowodnić, że to równanie nie ma żadnych CAŁKOWITYCH rozwiązań i rzeczywiście tak jest, bo obydwie otrzymane liczby nie są całkowite. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.

I sposób - krok po kroku:
Skoro co \(8\) dni mamy o połowę mniej tego pierwiastka, to:
\(1g\) - tyle jest na początku
\(0,5\cdot1g=0,5g\) - tyle jest po \(8\) dniach
\(0,5\cdot0,5g=0,25g\) - tyle jest po \(16\) dniach
\(0,5\cdot0,25g=0,125g\) - tyle jest po \(24\) dniach

To oznacza, że po 24 dniach tego pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\).

II sposób - za pomocą nierówności wykładniczej:
Przyjmijmy, że:
\(x\) - liczba okresów (każdy po \(8\) dni)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) - tyle z pierwiastka zostanie po \(x\) okresach
Nas interesuje, kiedy z pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\) (czyli \(\frac{1}{8}g\)), zatem musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x\le0,125$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\frac{1}{8}$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\left(\frac{1}{2}\right)^3$$

Opuszczamy podstawę potęgi, ale przy okazji musimy zmienić jej znak (bo podstawa jest ułamkiem zwykłym). Otrzymamy zatem: \(x\ge3\).

Taki wynik oznacza, że potrzeba minimum trzech okresów, aby zostało nie więcej niż \(0,125g\) pierwiastka. Skoro każdy okres to \(8\) dni, to wyszło nam, że musi upłynąć przynajmniej \(3\cdot8=24\) dni.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(n\) - liczba naturalna
\(3n\) - liczba naturalna podzielna przez \(3\)
\(3n+1\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(1\))
\(3n+2\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(2\))

Musimy udowodnić, że liczby niepodzielne przez \(3\) (czyli \(3n+1\) oraz \(3n+2\)) podniesione do kwadratu dają resztę z dzielenia przez \(3\) równą \(1\).

Krok 2. Podniesienie do kwadratu liczb niepodzielnych przez \(3\).
Musimy zweryfikować obydwa warianty.
$$(3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1$$ $$(3n+2)^2=9n^2+12n+4=9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1$$

W obydwu przykładach aby udowodnić, że liczba po podzieleniu przez \(3\) daje resztę równą \(1\) wyciągnęliśmy przed nawias trójkę. Skoro wolnym wyrazem który został nam na końcu tego wyniku jest jedynka, to dowód możemy uznać za zakończony, bo to będzie właśnie nasza reszta z dzielenia.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
\(s\) - trasa z punktu \(A\) do \(C\)
\(s_{AB}=s_{BC}=\frac{1}{2}s\) - trasa z punktu \(A\) do \(B\) oraz z \(B\) do \(C\) (bo punkt \(B\) znajduje się dokładnie w połowie drogi)
\(t_{AB}\) - czas jazdy z punktu \(A\) do \(B\)
\(t_{BC}\) - czas jazdy z punktu \(B\) do \(C\)
\(v_{AB}=40\) - prędkość jazdy z punktu \(A\) do \(B\)
\(v_{BC}=60\) - prędkość jazdy z punktu \(B\) do \(C\)

Krok 2. Zapisanie wzoru na czas jazdy.
Korzystając ze wzoru na prędkość możemy wyznaczyć wzór na czas jazdy:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$

Spróbujmy teraz wyznaczyć wzory na czas jazdy na poszczególnych odcinkach.
Czas jazdy na trasie \(AB\):
$$t_{AB}=\frac{s_{AB}}{v_{AB}}$$ $$t_{AB}=\frac{\frac{1}{2}s}{40}$$ $$t_{AB}=\frac{1}{80}s=\frac{s}{80}$$

Czas jazdy na trasie \(BC\):
$$t_{BC}=\frac{s_{BC}}{v_{BC}}$$ $$t_{BC}=\frac{\frac{1}{2}s}{60}$$ $$t_{BC}=\frac{1}{120}s=\frac{s}{120}$$

Krok 3. Obliczenie wartości średniej prędkości na całej trasie.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami droga jest równa \(s\), a czas całej jazdy będzie równy \(t_{AB}+t_{BC}\), zatem:
$$\require{cancel}
V=\frac{s}{t_{AB}+t_{BC}}$$ $$V=\frac{s}{\frac{s}{80}+\frac{s}{120}}$$ $$V=\frac{s}{\frac{3s}{240}+\frac{2s}{240}}$$ $$V=\frac{s}{\frac{5s}{240}}$$ $$V=s:\frac{5s}{240}$$ $$V=\cancel{s}\cdot\frac{240}{5\cancel{s}}$$ $$V=\frac{240}{5}$$ $$V=48\left[\frac{km}{h}\right]$$

Średnia prędkość na całej trasie jest więc równa \(48km/h\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Zadanie już na samym początku może sprawiać problemy (zwłaszcza jeśli chodzi o samo zrozumienie treści), dlatego zastanówmy się jakie pary biletów moglibyśmy zakupić. Każdy bilet ma numer od \(1\) do \(16\) (na razie nie patrzymy na to jakie to są rzędy). Pierwszej osobie możemy dać bilet na \(16\) różnych sposobów (bo dostanie numer od \(1\) do \(16\)). Drugiej osobie możemy dać bilet na \(15\) sposobów (bo jeden damy wcześniej innej osobie). Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości będziemy mieć:
$$|Ω|=16\cdot15=240$$

Jeśli nie umiemy sobie wyobrazić tej sytuacji, to możemy sobie, że pierwszy bilet dostaje Jaś, a drugi dostaje Małgosia, więc mamy następujące możliwości rozmieszczenia dzieci na sali kinowej:
$$(1,2), (1,3), (1,4)... (1,16)$$ $$(2,1), (2,3), (2,4)... (2,16)$$ $$...$$ $$(16,1), (16,2), (16,3)... (16,15)$$

Otrzymaliśmy \(16\) różnych wierszy, a w każdym wierszu jest \(15\) różnych możliwości (bo wykluczają nam się zdublowane opcje typu \((1,1), (2,2)\) itd.). Łącznie jest ich więc \(16\cdot15=240\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której numery biletów są sąsiadujące (czyli wtedy kiedy Jaś siedzi obok Małgosi). Wypiszmy sobie wszystkie pary, które spełniałyby warunki zadania. Zwróć uwagę, że jeśli Jaś siedzi na \(1.\) miejscu, a Małgosia na \(2.\) miejscu (czyli \((1,2)\)) to jest to zupełnie inne zdarzenie niż Jaś siedzący na \(2.\) miejscu i Małgosia siedząca na \(1.\) miejscu (zdarzenie \((2,1)\)). Zatem:
W pierwszym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10)$$ $$(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,6), (8,7), (9,8), (10,9)$$

W szesnastym rzędzie sprzyjającymi zdarzeniami będą:
$$(11,12), (12,13), (13,14), (14,15), (15,16)$$ $$(12,11), (13,12), (14,13), (15,14), (16,15)$$

Łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy: \(|A|=28\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{28}{240}=\frac{7}{60}$$

Krok 1. Obliczenie pola trójkąta \(OCD\) oraz \(ACD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\), możemy go sobie nawet wyodrębnić z całego rysunku i naszkicować:



Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(OCD\) (którego pola powierzchni szukamy), to byłoby to:
$$P_{OCD}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h$$ $$P_{OCD}=0,5x\cdot h$$

Gdybyśmy chcieli obliczyć pole trójkąta \(AOD\) (którego pole powierzchni znamy), to byłoby to:
$$P_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot5x\cdot h$$ $$P_{AOD}=2,5x\cdot h$$

Widzimy wyraźnie, że pole trójkąta \(AOD\) jest pięciokrotnie większe od trójkąta \(OCD\). Skoro więc \(P_{AOD}=10\), to \(P_{OCD}=10:5=2\).

Tym samym możemy wyznaczyć pole trójkąta \(ACD\):
$$P_{ACD}=P_{AOD}+P_{OCD}=10+2=12$$

Krok 2. Ustalenie podobieństwa trójkątów \(ABO\) i \(OCD\).
Musimy zauważyć, że trójkąty \(ABO\) i \(OCD\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skąd to wiemy?
\(|\sphericalangle AOB|=|\sphericalangle DOC| \Rightarrow\) kąty wierzchołkowe
\(|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle DCA| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe
\(|\sphericalangle ABD|=|\sphericalangle CDB| \Rightarrow\) kąty naprzemianległe

Ale to nie wszystko, bo znamy też skalę podobieństwa tych trójkątów. Skoro odcinek \(AO\) jest pieć razy dłuższy od odcinka \(OC\), to skala podobieństwa wynosi \(k=5\). Z własności figur podobnych wiemy, że jeśli boki pierwszej figury podobnej są \(k\) razy większe od boków figury drugiej, to pole powierzchni pierwszej figury jest \(k^2\) większe. W naszym przypadku oznaczać to będzie, że pole trójkąta \(ABO\) jest \(5^2=25\) razy większe od pola trójkąta \(OCD\), czyli:
$$P_{ABO}=25\cdot2=50$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(OBC\).
Spójrzmy na duże trójkąty \(ABD\) oraz \(ABC\). Ich miary pól powierzchni muszą być sobie równe, bo obydwa trójkąty mają tą samą podstawę \(|AB|\) oraz tą samą wysokość (która jest wysokością trapezu). Pole trójkąta \(ABD\) możemy obliczyć bardzo szybko:
$$P_{ABD}=P_{ABO}+P_{AOD}$$ $$P_{ABD}=50+10$$ $$P_{ABD}=60$$

Skoro tak, to także \(P_{ABC}=60\), zatem możemy wyznaczyć pole trójkąta \(OBC\):
$$P_{ABC}=P_{ABO}+P_{OBC}$$ $$60=50+P_{OBC}$$ $$P_{OBC}=10$$

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Obliczyliśmy wartości czterech mniejszych trójkątów wchodzących w skład trapezu, więc pole trapezu będzie sumą naszych wszystkich wyników:
$$P_{ABCD}=P_{ABO}+P_{AOD}+P_{OBC}+P_{OCD}$$ $$P_{ABCD}=50+10+10+2$$ $$P_{ABCD}=72$$

Wynik wyszedł nam taki sam jak w treści zadania, tak więc dowód możemy uznać za zakończony.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy w układzie współrzędnych punkty z treści zadania i od razu oszacujmy mniej więcej gdzie znajdzie się punkt \(C\) (z którego to wierzchołka musimy poprowadzić później wysokość trójkąta) oraz punkt \(D\), którego współrzędnych poszukujemy.



Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Skorzystamy ze wzoru na środek odcinka \(AC\), bowiem znamy współrzędne środka \(M\) i znamy też współrzędne punktu \(A\), zatem jedyną niewiadomą będą w tej sytuacji współrzędne punktu \(C\). Obliczmy po kolei każdą ze współrzędnych:
$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$ $$1=\frac{3+x_{C}}{2}$$ $$2=3+x_{C}$$ $$x_{C}=-1$$ $$\text{oraz}$$ $$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$ $$6=\frac{3+y_{C}}{2}$$ $$12=3+y_{C}$$ $$y_{C}=9$$

Współrzędne punktu \(C\) to w takim razie \(C=(-1;9)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Potrzebujemy znać równanie prostej \(AB\), bo to na jej przedłużeniu znajdzie się poszukiwany przez nas punkt \(D\). Możemy tutaj skorzystać ze wzoru na równanie prostej, zatem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0$$ $$(y-3)(9-3)-(1-3)(x-3)=0$$ $$(y-3)6-(-2)(x-3)=0$$ $$6y-18-(-2x+6)=0$$ $$6y-18+2x-6=0$$ $$6y+2x-24=0$$ $$6y=-2x+24$$ $$y=-\frac{2}{6}x+4$$ $$y=-\frac{1}{3}x+4$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do \(y=-\frac{1}{3}x+4\) przechodzącej przez punkt \(C\).
Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma \(a=-\frac{1}{3}\), to poszukiwana prosta prostopadła ma na pewno współczynnik kierunkowy równy:
$$-\frac{1}{3}\cdot a=-1$$ $$a=3$$

Wiemy już, że nasza prosta prostopadła ma wzór \(y=3x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\), tak aby ta prosta przechodziła dokładnie przez punkt \(C\). Aby to osiągnąć Wystarczy podstawić do tego wzoru współrzędne punktu \(C\) (obliczyliśmy je sobie w drugim kroku):
$$y=3x+b$$ $$9=3\cdot(-1)+b$$ $$9=-3+b$$ $$b=12$$

Poszukiwana prosta prostopadła wyraża się więc wzorem \(y=3x+12\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych jest punkt ich przecięcia się. Tworząc więc układ równań z dwóch prostych (których wzory sobie wyznaczyliśmy w poprzednich krokach) obliczymy poszukiwane współrzędne punktu \(D\).
\begin{cases} y=-\frac{1}{3}x+4 \\ y=3x+12 \end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-\frac{1}{3}x+4=3x+12 \quad\bigg/\cdot3$$ $$-x+12=9x+36$$ $$-10x=24$$ $$x=-2,4$$

Drugą współrzędną obliczymy podstawiając \(x=-2,4\) do jednego z równań:
$$y=3\cdot(-2,4)+12$$ $$y=-7,2+12$$ $$y=4,8$$

To oznacza, że współrzędnymi poszukiwanego punktu są \(D=(-2,4;\;4,8)\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie przekrój stożka i zaznaczmy na nim odpowiednie miary i oznaczenia:



Warto sobie od razu zapisać, że zgodnie z treścią zadania wysokość stożka jest krótsza o \(22\) od średnicy podstawy (średnicy, nie promienia!). Zatem:
$$H=2r-22$$

Krok 2. Wyznaczenie długości promienia podstawy.
Możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, podstawiając za wysokość \(H=2r-22\). Otrzymamy wtedy:
$$r^2+H^2=17^2$$ $$r^2+(2r-22)^2=289$$ $$r^2+4r^2-88r+484=289$$ $$5r^2-88r+195=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=5,\;b=-88,\;c=195\)
$$Δ=b^2-4ac=(-88)^2-4\cdot5\cdot195=7744-3900=3844$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{3844}=62$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-88)-62}{2\cdot5}=\frac{88-62}{10}=\frac{26}{10}=2,6$$ $$r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-88)+62}{2\cdot5}=\frac{88+62}{10}=\frac{150}{10}=15$$

Obydwa rozwiązania są póki co dobre, żadnego z nich nie możemy odrzucić (odrzucilibyśmy np. wtedy, gdyby któraś z wartości wyszła ujemna).

Krok 4. Obliczenie wysokości stożka.
Jeśli \(r_{1}=2,6\), to \(H_{1}=2\cdot2,6-22=5,2-22=-16,8\)
Jeśli \(r_{2}=15\), to \(H_{2}=2\cdot15-22=30-22=8\)

W przypadku pierwszej pary wyszła nam ujemna wysokość, więc odrzucamy całe to rozwiązanie. To oznacza, że jest tylko jedna para liczb, która spełnia warunki naszego zadania: \(r=15\) oraz \(H=8\).

Krok 5. Obliczenie objętości stożka.
Znając promień podstawy i wysokość stożka możemy już bez problemu obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}πr^2 H$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot15^2\cdot8π$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot225\cdot8π$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot1800π$$ $$V=600π$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej.
$$P_{c}=πr\cdot(r+l)$$ $$P_{c}=π\cdot15\cdot(15+17)$$ $$P_{c}=π\cdot15\cdot32$$ $$P_{c}=480π$$