📄 Treść zadania
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{24-4n}{n}\) dla \(n\ge1\). Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A
\(7\)
B
\(6\)
C
\(5\)
D
\(4\)
Krok 1. Obliczenie łącznej liczby wyrazów nieujemnych ciągu \((a_{n})\).
Musimy ustalić ile wyrazów tego ciągu przyjmuje wartość większą lub równą zero. To oznacza, że musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\ge0 \ ,\
\frac{24-4n}{n}\ge0 \quad\bigg/\cdot n \ ,\
24-4n\ge0 \ ,\
-4n\ge-24 \quad\bigg/:(-4) \ ,\
n\le6$$
Z tego rozwiązania wynika, że ciąg ma sześć wyrazów, które są większe lub równe zero.
Tak na marginesie - mogliśmy pomnożyć obie strony nierówności przez \(n\), bo wiemy że \(n\ge1\). Stąd też nie ma obaw, że jest to liczba ujemna, która powodowałaby zmianę znaku. O zmianie znaku nierówności należało za to pamiętać dzieląc obie strony przez \(-4\).
Krok 2. Wyznaczenie liczby całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu.
Niestety to nie koniec zadania. Pułapka w tym zadaniu polega na tym, że nie każdy z tych sześciu nieujemnych wyrazów jest liczbą całkowitą. Nie ma innego wyjścia, musimy obliczyć po kolei wartość każdego z tych wyrazów:
$$a_{1}=\frac{24-4\cdot1}{1}=\frac{24-4}{1}=\frac{20}{1}=20 \ ,\
a_{2}=\frac{24-4\cdot2}{2}=\frac{24-8}{2}=\frac{16}{2}=8 \ ,\
a_{3}=\frac{24-4\cdot3}{3}=\frac{24-12}{3}=\frac{12}{3}=4 \ ,\
a_{4}=\frac{24-4\cdot4}{4}=\frac{24-16}{4}=\frac{8}{4}=2 \ ,\
a_{5}=\frac{24-4\cdot5}{5}=\frac{24-20}{5}=\frac{4}{5} \ ,\
a_{6}=\frac{24-4\cdot6}{6}=\frac{24-24}{6}=\frac{0}{6}=0$$
Z naszych obliczeń wynika, że pięć wyrazów jest liczbą całkowitą (wszystkie oprócz \(a_{5}\)), zatem prawidłową odpowiedzią jest \(C\).