Krok 1. Ustalenie wartości liczby odwrotnej.
Aby poznać liczbę odwrotną do liczby \(-4\frac{3}{5}\) musimy najpierw zamienić ją na ułamek niewłaściwy:
$$-4\frac{3}{5}=-\frac{23}{5}$$

Dopiero teraz możemy stwierdzić, że liczbą odwrotną jest \(-\frac{5}{23}\).

Krok 2. Ustalenie wartości liczby przeciwnej.
Aby poznać liczbę przeciwną do liczby \(\frac{18}{23}\) musimy po prostu postawić przed nią minusa, zatem liczbą przeciwną będzie \(-\frac{18}{23}\).

Krok 3. Obliczenie sumy liczb.
Suma liczby odwrotnej oraz liczby przeciwnej będzie zatem równa:
$$-\frac{5}{23}+\left(-\frac{18}{23}\right)=-1$$

Korzystając z działań na logarytmach i potęgach możemy zapisać, że:
$$\frac{1}{2}log_{3}15-log_{3}\sqrt{5}=log_{3}15^{\frac{1}{2}}-log_{3}\sqrt{5}=$$ $$=log_{3}\sqrt{15}-log_{3}\sqrt{5}=log_{3}\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=$$ $$=log_{3}\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=log_{3}\sqrt{3}=\frac{1}{2}$$

Możemy rozwiązać każdą nierówność oddzielnie, ale możemy też rozwiązać to nieco bardziej matematycznie. Po lewej stronie nierówności będziemy mieć zawsze \(|x-a|\), gdzie \(a\) jest punktem leżącym idealnie po środku między krańcami przedziałów (w naszym przypadku między \(-11\) oraz \(7\)). To oznacza, że \(a=\frac{-11+7}{2}=-2\).

Po lewej stronie nierówności będziemy mieć zatem \(|x-(-2)|\), czyli \(|x+2|\).

Musimy jeszcze ustalić znak nierówności i liczbę po prawej stronie. Między punktem środkowym \(a=-2\) oraz punktami krańcowymi \(-11\) oraz \(7\) mamy dokładnie po \(9\) jednostek w lewo i w prawo. Nas interesują wszystkie te wartości, które są oddalone od punktu środkowego jeszcze więcej niż \(9\) jednostek (aż do nieskończoności), stąd też ostatecznym rozwiązaniem będzie \(|x+2|\gt9\).

Naszym zadaniem jest podstawienie do wskazanego wyrażenia podanych wartości \(k\) oraz \(m\) oraz wykonanie odpowiednich działań na potęgach i pierwiastkach:
$$k^2-12m=(2-3\sqrt{2})^2-12\cdot(1-\sqrt{2})=$$ $$=4-12\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2-12+12\sqrt{2}=$$ $$=4-12\sqrt{2}+18-12+12\sqrt{2}=4+18-12=10$$

Z treści zadania wiemy, że \(a=\frac{40}{100}b\), czyli \(a=\frac{2}{5}b\). Chcąc więc obliczyć wartość \(b\) musimy wymnożyć obie strony tego równania przez \(\frac{5}{2}\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$a=\frac{2}{5}b \quad\bigg/\cdot\frac{5}{2}$$ $$b=\frac{5}{2}a$$ $$b=2,5a$$

Z racji tego iż nie możemy dzielić przez \(0\), to wartość mianownika musi być różna od zera. To oznacza, że musimy sprawdzić kiedy \(x^3+4x=0\) i wykluczyć te rozwiązania z dziedziny funkcji.
$$x^3+4=0$$ $$x(x^2+4)=0$$ $$x=0 \quad\lor\quad x^2+4=0$$ $$x=0 \quad\lor\quad x^2=-4$$

Z racji tego, iż nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu da wynik ujemny, to jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=0\). W związku z tym dziedziną funkcji będzie zbiór liczb rzeczywistych oprócz zera, czyli \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\).

Krok 1. Zapisanie prostych w postaci kierunkowej.
Aby móc w ogóle przystąpić do obliczeń musimy pierwszą prostą doprowadzić do postaci kierunkowej, czyli postaci typu \(y=ax+b\). Przenosimy więc igreki na jedną stronę, całą resztę na drugą, otrzymując:
$$-3y-mx+12=0$$ $$-mx+12=3y \quad\bigg/:3$$ $$y=-\frac{1}{3}mx+4$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości parametru \(m\).
Aby proste były prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-\frac{1}{3}m\), druga prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=6\), zatem:
$$-\frac{1}{3}m\cdot6=-1$$ $$-2m=-1$$ $$m=\frac{1}{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie zwizualizować to zadanie. Narysujmy parabolę (jej ramiona będą skierowane do dołu, bo po wymnożeniu wszystkich wyrazów współczynnik kierunkowy \(a\) wyjdzie ujemny) i zobaczmy jak będzie wyglądać zbiór wartości funkcji. Z postaci iloczynowej możemy też szybko wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji, bo wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-4=0$$ $$x=-3 \quad\lor\quad x=4$$



Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Z rysunku wynika, że nasza funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do współrzędnej igrekowej wierzchołka tej paraboli (zapisywanej w matematyce symbolem \(q\)).

Krok 2. Zapisanie równania w postaci ogólnej.
Współrzędną \(q\) możemy obliczyć ze wzoru: \(q=\frac{-Δ}{4a}\). Musimy zatem obliczyć deltę, a żeby obliczyć deltę to najpierw całe równanie musimy zapisać w postaci ogólnej, zatem wymnażając wszystkie wyrazy otrzymamy:
$$f(x)=-2(x+3)(x-4)$$ $$f(x)=-2(x^2-4x+3x-12)$$ $$f(x)=-2(x^2-x-12)$$ $$f(x)=-2x^2+2x+24$$

Krok 3. Obliczenie współrzędnej \(q\).
Najpierw obliczmy potrzebną deltę:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=2,\;c=24\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-2)\cdot24=4-(-192)=196$$

W związku z tym współrzędna \(q\) będzie równa:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$ $$q=\frac{-196}{4\cdot(-2)}$$ $$q=\frac{-196}{-8}$$ $$q=24\frac{1}{2}$$

Krok 4. Ustalenie zbioru wartości funkcji.
Zgodnie z naszym szkicowym rysunkiem i obliczeniami możemy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest przedział:
$$y\in(-\infty,q\rangle$$ $$y\in(-\infty,24\frac{1}{2}\rangle$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
To co możemy określić praktycznie od ręki to jest wartość (a w zasadzie znak) współczynnika kierunkowego \(a\). Parabola ma ramiona skierowane do dołu, a to oznacza że \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Spójrzmy na wierzchołek naszej paraboli. Współrzędna iksowa wierzchołka (oznaczana zazwyczaj jako \(p\)) jest na pewno dodatnia. Z własności wierzchołka paraboli wiemy, że \(p=\frac{-b}{2a}\). Ustaliliśmy już, że \(p\) musi być dodatnie i wiemy też, że mianownik \(2a\) jest ujemny, bo \(a\lt0\). To oznacza, że licznik \(-b\) musi być także ujemny, a skoro tak to \(b\) musi być większe od zera (bo przed \(b\) stoi już minus).

Jeżeli dwukrotnym pierwiastkiem (czyli po prostu rozwiązaniem) tego wielomianu jest liczba \(-1\), to na pewno częścią składową tego wielomianu zapisanego w postaci iloczynowej będzie wyrażenie \((x+1)^2\). Zostają nam więc już tak naprawdę tylko dwie odpowiedzi do wyboru - B oraz C.

Wiemy też, że wielomian jest stopnia czwartego (czyli najwyższa potęga przy iksie musi być równa \(4\)). To wyklucza nam odpowiedź B, bo tutaj po wymnożeniu wszystkich wyrazów będziemy mieć maksymalnie \(x^3\). Prawidłową odpowiedzią jest więc odpowiedź C.

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość \(x^2+2x\) musi być różna od zera. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+2x=0\) i wykluczyć te argumenty z naszego rozwiązania równania.
$$x^2+2x=0$$ $$x(x+2)=0$$ $$x=0 \quad\lor\quad x+2=0$$ $$x=0 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
$$\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+2x}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2+2x)$$ $$(x+3)(x^2-4)=0$$

Mamy wygodną postać iloczynową, zatem możemy przyrównać wartość każdego nawiasu do zera:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x^2-4=0$$ $$x=-3 \quad\lor\quad x^2=4$$ $$x=-3 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 3. Zapisanie rozwiązań równania.
Musimy teraz zweryfikować nasze rozwiązania i sprawdzić czy jakieś rozwiązanie nie wyklucza się z naszymi założeniami z kroku pierwszego. Okazuje się, że jedno rozwiązanie (\(x=-2\)) musimy wykluczyć ze względu właśnie na założenia, dlatego równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=2\).

Wiemy, że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość \(y=5\). Podstawiając te informacje do naszego równania otrzymamy:
$$\left(-\frac{1}{3}m+2\right)\cdot0+\frac{3}{2}m-1=5$$ $$0+\frac{3}{2}m-1=5$$ $$\frac{3}{2}m=6 \quad\bigg/\cdot\frac{2}{3}$$ $$m=4$$

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając \(n=1\) otrzymamy:
$$b_{1}=(-1)^{2\cdot1+3}\cdot(1+1)$$ $$b_{1}=(-1)^{5}\cdot2$$ $$b_{1}=-1\cdot2$$ $$b_{1}=-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
$$b_{2}=(-1)^{2\cdot2+3}\cdot(2+1)$$ $$b_{2}=(-1)^{7}\cdot3$$ $$b_{2}=(-1)\cdot3$$ $$b_{2}=-3$$

Krok 3. Obliczenie sumy dwóch pierwszych wyrazów:
$$b_{1}+b_{2}=-2+(-3)=-5$$

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnica między siódmym i piątym wyrazem jest równa \(2r\). To oznacza, że możemy ułożyć następujące równanie:
$$a_{7}-a_{5}=2$$ $$14-8=2r$$ $$2r=6$$ $$r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości dziesiątego wyrazu.
Nie musimy obliczać wartości pierwszego wyrazu by obliczyć wartość dziesiątego wyrazu. Możemy zapisać, że:
$$a_{10}=a_{7}+3r$$ $$a_{10}=14+3\cdot3$$ $$a_{10}=14+9$$ $$a_{10}=23$$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=k\)
\(p=0,04:2=0,02\)
\(n=6\cdot2=12\)

Dlaczego \(p=0,02\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(4\%\), czyli \(0,04\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,04\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(2\) razy w roku (co pół roku), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,04:2=0,02\).

Dlaczego \(n=12\)?
Lokata jest na \(6\) lat, a odsetki naliczane są co pół roku czyli \(2\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(6\cdot2=12\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{12}=k\cdot(1+0,02)^{12}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy sobie poszczególne długości na naszym rysunku:



Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(ABE\) możemy zapisać, że:
$$|BE|^2+|AE|^2=|AB|^2$$ $$3^2+|AE|^2=8^2$$ $$9+|AE|^2=64$$ $$|AE|^2=55$$ $$|AE|=\sqrt{55}$$

Krok 3. Obliczene długości \(x\).
Teraz spójrzmy na trójkąt prostokątny \(AEC\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|AE|^2+|EC|^2=|AC|^2$$ $$(\sqrt{55})^2+x^2=(x+3)^2$$ $$55+x^2=x^2+6x+9$$ $$46=6x$$ $$x=\frac{46}{6}=\frac{23}{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Teraz zgodnie z oznaczeniami na rysunku możemy zapisać, że:
$$|AC|=\frac{23}{3}+3$$ $$|AC|=\frac{23}{3}+\frac{9}{3}$$ $$|AC|=\frac{32}{3}$$

Krok 1. Ustalenie wartości kąta \(AMB\) oraz \(AOB\).
Kąt \(AMB\) oraz kąt wklęsły \(AOB\) oznaczony jako \(α\) są kątami opartymi na tym samym łuku. Zgodnie z własnościami kątów środkowych i wpisanych wiemy, że w takiej sytuacji kąt wpisany jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego, czyli:
$$|\sphericalangle AMB|=\frac{1}{2}α$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że kąt wewnętrzny \(AOB\) ma miarę taką samą co kąt \(AMB\), zatem możemy stworzyć następujący rysunek:



Krok 3. Obliczenie miary kąta \(α\).
Z rysunku wyraźnie widać, że kąt pełny jest równy \(1\frac{1}{2}α\), zatem:
$$1\frac{1}{2}α=360°$$ $$α=240°$$

Krok 1. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Do obliczenia tangensa potrzebna jest długość drugiej przyprostokątnej, a tą wyznaczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$7^2+x^2=8^2$$ $$49+x^2=64$$ $$x^2=15$$ $$x=\sqrt{15} \quad\lor\quad x=-\sqrt{15}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem \(x=\sqrt{15}\).

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować ten trójkąt, zaznaczając na nim kąt ostry. Musimy pamiętać, że mniejszy kąt będzie leżał przy dłuższej przyprostokątnej. W tym przypadku dłuższą przyprostokątną jest ta o długości \(7\), bo \(7\gt\sqrt{15}\). Dzięki temu będziemy wiedzieć które długości boków należy wziąć do obliczeń poszukiwanego tangensa.



Krok 3. Wyznaczenie wartości tangensa.
Zgodnie z definicją tangensa i zgodnie z naszym rysunkiem pomocniczym możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{\sqrt{15}}{7}$$

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CAB\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Wiemy, że w tym trójkącie znalazły się kąty \(30°\) oraz \(90°\), zatem trzeci kąt tego trójkąta ma miarę:
$$|\sphericalangle CAB|=180°-30°-90°=60°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(DCA\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(CAD\). Wiemy że kąt \(CAD\) ma miarę \(60°\) (bo \(|\sphericalangle CAD|=|\sphericalangle CAB|=60°\)). Wiemy też że \(|\sphericalangle CDA|=60°\), zatem:
$$|\sphericalangle DCA|=180°-60°-60°=60°$$

Możemy więc już wywnioskować, że trójkąt \(CAD\) jest trójkątem równobocznym.

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(BCD\).
Teraz spójrzmy na kąt \(BCA\), który ma miarę \(90°\). Składa się on z kąta \(DCA\) (którego miarę obliczyliśmy przed chwilą) oraz kąta \(BCD\), który ma w takim razie ma miarę:
$$|\sphericalangle BCD|=90°-60°=30°$$

To oznacza, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie \(30°\).

Krok 4. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).
Skoro trójkąt \(CAD\) jest równoboczny, to \(|CD|=|CA|\), czyli \(|CD|=4\).
Skoro trójkąt \(BCD\) jest równoramienny, to \(|BD|=|CD|\), czyli \(|BD|=4\).

Krok 1. Obliczenie długości promienia.
Korzystając ze wzoru na pole koła możemy zapisać, że:
$$πr^2=\frac{16}{3}π$$ $$r^2=\frac{16}{3}$$ $$r=\sqrt{\frac{16}{3}} \quad\lor\quad r=-\sqrt{\frac{16}{3}}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{\frac{16}{3}}\), co możemy jeszcze zapisać jako \(r=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta.
Z własności okręgów wpisanych w trójkąt równoboczny wiemy, że promień okręgu wpisanego jest równy \(\frac{1}{3}\) wysokości trójkąta, czyli \(r=\frac{1}{3}h\). To pozwoli nam wyznaczyć wysokość takiego trójkąta:
$$r=\frac{1}{3}h$$ $$\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}h \quad\bigg/\cdot3$$ $$h=\frac{12}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości boku trójkąta.
Z własności trójkątów równobocznych wynika, że \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). W związku z tym:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2$$ $$\frac{24}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot\sqrt{3}$$ $$24=3a$$ $$a=8$$

Krok 4. Obliczenie obwodu trójkąta.
Trójkąt równoboczny ma trzy boki równej długości, zatem:
$$Obw=8+8+8=24$$

Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

Musimy zatem doprowadzić równanie z treści zadania właśnie do takiej postaci, co pozwoli nam wyznaczyć najpierw promień okręgu, a potem długość całego okręgu. Zrobimy to w następujący sposób:

Krok 1. Zapisanie równania w postaci równania okręgu.
$$x^2-4x+y^2-4=0$$ $$x^2-4x+4-4+y^2-4=0$$ $$(x-2)^2-4+y^2-4=0$$ $$(x-2)^2+y^2-8=0$$ $$(x-2)^2+(y-0)^2-8=0$$ $$(x-2)^2+(y-0)^2=8$$

(W drugiej linii dopisaliśmy sobie \(+4-4\), tak aby móc zastosować wzór skróconego mnożenia).

Krok 2. Wyznaczenie długości promienia.
Porównując postać równania z tym co otrzymaliśmy w pierwszym kroku możemy zauważyć, że:
$$r^2=8$$ $$r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości okręgu.
Korzystając ze wzoru na długość okręgu możemy zapisać, że:
$$Obw=2πr$$ $$Obw=2π\cdot2\sqrt{2}$$ $$Obw=4\sqrt{2}π$$

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Odcinek \(AC\) jest zgodnie z treścią zadania przekątną naszego kwadratu, a jego długość obliczymy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-6-(-2))^2+(2-4)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{4^2+(-2)^2}$$ $$|AC|=\sqrt{16+4}$$ $$|AC|=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}$$

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie jest równa połowie długości przekątnej tego kwadratu. W związku z tym:
$$r=\frac{1}{2}|AC|$$ $$r=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{5}$$ $$r=\sqrt{5}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wszystkich zdarzeń elementarnych (czyli wszystkich liczb w tym zbiorze) jest \(9\), czyli \(|Ω|=9\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wybór liczby podzielnej przez \(3\). Takimi liczbami z naszego zbioru są: \(3,6,12,15\). Są to więc \(4\) liczby, czyli \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{9}$$

Podstawiając do wzoru na objętość ostrosłupa dane z treści zadania otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$32=\frac{1}{3}\cdot4\cdot4\cdot H$$ $$32=\frac{1}{3}\cdot16\cdot H$$ $$2=\frac{1}{3}H$$ $$H=6$$

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć \(0\). Zatem:
$$-2x^2+3x\lt4$$ $$-2x^2+3x-4\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=3,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-2)\cdot(-4)=9-32=-23$$

Delta wyszła ujemna, zatem nie będziemy mieć miejsc zerowych.

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
To, że delta wyszła ujemna nie oznacza, że nierówność nie ma żadnych rozwiązań. To oznacza tylko i wyłącznie tyle, że nie mamy miejsc zerowych. Spróbujmy zatem naszkicować wykres naszej paraboli. Współczynnik \(a\) jest ujemny, bo \(a=-2\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Nasza parabola musi więc wyglądać w ten sposób:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera. W naszym przypadku cała parabola jest pod osią iksów, czyli dla każdego argumentu \(x\) otrzymamy wartość ujemną. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest cały zbiór liczb rzeczywistych \(x\in\mathbb{R}\).

Skoro liczba \(-2\) jest pierwiastkiem (czyli rozwiązaniem) wielomianu, to znaczy że podstawiając do tego wielomianu \(x=-2\) otrzymamy wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$-2\cdot(-2)^3+3\cdot(-2)^2-(k+2)\cdot(-2)-6=0$$ $$-2\cdot(-8)+3\cdot4-(-2k-4)-6=0$$ $$16+12+2k+4-6=0$$ $$26+2k=0$$ $$26=-2k$$ $$k=-13$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy przedstawić sytuację z treści zadania na rysunku poglądowym:



Krok 2. Dostrzeżenie kątów naprzemianległych.
W trapezie podstawy są względem siebie równoległe, zatem prowadząc prostą przecinającą te proste równoległe (w naszym przypadku są to przekątne) możemy korzystać z własności kątów naprzemianległych i tak oto otrzymamy następującą sytuację:



Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt, który przy podstawie ma kąty tej samej miary \(α\). To oznacza, że jest to trójkąt równoramienny. Analogiczny wniosek dotyczy trójkąta \(BCD\). Możemy więc zapisać, że:
$$|AD|=|DC|$$ $$|DC|=|BC|$$

Łącząc te dwie równości możemy zapisać, że \(|AD|=|DC|=|BC|\), co oznacza, że odcinek \(AD\) jest równy odcinkowi \(BC\) i właśnie to jest dowód na to, że ten trapez jest równoramienny.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania możemy narysować mniej więcej taki oto trójkąt prostokątny:



Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Zgodnie z oznaczeniami na rysunku możemy przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa zapisać, że:
$$x^2+(2x)^2=c^2$$ $$x^2+4x^2=c^2$$ $$c^2=5x^2$$ $$c=\sqrt{5}x \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}x$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5}x\).

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Wiedząc, że cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\) do przeciwprostokątnej możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{x}{c}$$ $$cosα=\frac{x}{\sqrt{5}x}$$ $$cosα=\frac{1}{\sqrt{5}}$$ $$cosα=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}$$ $$cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Krok 1. Zapisanie równań.
Jeżeli dwa okręgi są styczne zewnętrznie, to odległość między ich środkami jest równa sumie promieni. My wiemy, że ta odległość jest równa \(8cm\), zatem:
$$r_{1}+r_{2}=8$$

Jeżeli dwa okręgi są styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami jest równa różnicy promieni. My wiemy że ta odległość jest równa \(2cm\), zatem:
$$r_{2}-r_{1}=2$$

(tu zakładamy, że okrąg oznaczony promieniem \(r_{2}\) jest większy)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z wyznaczonych w pierwszym kroku równań możemy ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} r_{2}+r_{1}=8 \\ r_{2}-r_{1}=2 \end{cases}$$

Ten układ możemy rozwiązać dowolną metodą, ale najprościej będzie dodać wszystko stronami, otrzymując:
$$2r_{2}=10$$ $$r_{2}=5$$

Skoro drugi promień jest \(5\), to korzystając z pierwszego równania:
$$r_{1}+r_{2}=8$$ $$r_{1}+5=8$$ $$r_{1}=3$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AC\).
Symetralna dzieli nam odcinek na dwie równe części. Spróbujmy wyznaczyć współrzędne punktu \(S\), który jest miejscem przecięcia się symetralnej z odcinkiem \(AC\). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń możemy policzyć każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$$ $$x_{S}=\frac{-3+(-1)}{2}$$ $$x_{S}=\frac{-4}{2}$$ $$x_{S}=-2$$ $$\quad$$ $$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$$ $$y_{S}=\frac{-2+4}{2}$$ $$y_{S}=\frac{2}{2}$$ $$y_{S}=1$$

Udało nam się w ten sposób wyznaczyć współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(S=(-2;1)\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AC\).
Aby poznać wzór prostej prostopadłej do prostej \(AC\) musimy najpierw poznać równanie prostej \(AC\) lub przynajmniej jej współczynnik \(a\), bo to właśnie ten współczynnik będzie nam potrzebny do dalszych obliczeń.

Możemy to zrobić tak naprawdę na dwa sposoby - albo układając odpowiedni układ równań, albo korzystając ze wzoru \(a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\).

Spróbujmy może obliczyć ten współczynnik bardziej popularną metodą układu równań. Aby tego dokonać to do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) i ułożyć z nich następujący układ:
$$\begin{cases} -2=-3a+b \\ 4=-1a+b \end{cases}$$

Odejmując równania stronami otrzymamy:
$$-6=-2a$$ $$a=3$$

Współczynnik \(b\) jest nam w tym przypadku niepotrzebny, więc nie musimy go obliczać.

Krok 3. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej symetralnej.
Prosta symetralna jest tak naprawdę prostą prostopadłą do odcinka \(AC\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Wiemy, że nasza prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(a=3\), zatem prosta symetralna ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot3=-1$$ $$a=-\frac{1}{3}$$

Krok 4. Ustalenie równania prostej symetralnej.
Musimy jeszcze ustalić równanie prostej symetralnej. Wiemy już, że na pewno \(a=-\frac{1}{3}\), czyli że nasza symetralna przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Do wyznaczenia pozostaje nam zatem współczynnik \(b\). Aby go wyznaczyć, to pod iksa i igreka podstawimy współrzędne punktu, który należy do tej prostej, czyli współrzędne punktu \(S=(-2;1)\). Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$ $$1=-\frac{1}{3}\cdot(-2)+b$$ $$1=\frac{2}{3}+b$$ $$b=\frac{1}{3}$$

To oznacza, że nasza symetralna przyjmuje postać:
$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$$

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Pierwszego tygodnia uczeń rozwiązał \(5\) zadań, drugiego rozwiązał \(5+2=7\) zadań, trzeciego \(5+2+2=9\) zadań itd. Widzimy, że powstanie nam w ten sposób ciąg arytmetyczny w którym:
$$a_{1}=5$$ $$r=2$$

Krok 2. Zapisanie równania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

oraz ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Spróbujmy zatem dowiedzieć się kiedy uczeń rozwiąże \(480\) zadań, czyli kiedy zajdzie następująca równość:
$$S_{n}=480$$ $$\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=480$$ $$\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n=480$$ $$\frac{5+5+(n-1)\cdot2}{2}\cdot n=480$$ $$\frac{10+2n-2}{2}\cdot n=480$$ $$\frac{2n+8}{2}\cdot n=480 \quad\bigg/\cdot2$$ $$(2n+8)\cdot n=960$$ $$2n^2+8n=960$$ $$2n^2+8n-960=0 \quad\bigg/:2$$ $$n^2+4n-480=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-480\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-480)=16-(-40)=16-(-1920)=1936$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-44}{2\cdot1}=\frac{-48}{2}=-24$$ $$n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+44}{2\cdot1}=\frac{40}{2}=20$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(n=-24\) oraz \(n=20\). Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo liczba tygodni nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(n=20\).

Otrzymany wynik oznacza, że rozwiązanie \(480\) zadań zajmie uczniowi równo \(20\) tygodni. Tym samym uczeń przekroczy \(480\) zadań w kolejnym, \(21\)-szym tygodniu.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować ten graniastosłup, oznaczając na nim dane z treści zadania.



Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z kluczowych odcinków powstał nam trójkąt prostokątny, dzięki czemu będziemy w stanie skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa. Możemy zatem zapisać, że:
$$(H+4)^2+H^2=(H+8)^2$$ $$H^2+8H+16+H^2=H^2+16H+64$$ $$2H^2+8H+16=H^2+16H+64$$ $$H^2-8H-48=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-48\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-48)=64-(-192)=64+192=256$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{256}=16$$

$$H_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-16}{2\cdot1}=\frac{8-16}{2}=\frac{-8}{2}=-4$$ $$H_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+16}{2\cdot1}=\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(H=12\).

Krok 4. Obliczenie wartości sinusa.
Zgodnie z naszym rysunkiem oraz zgodnie możemy zapisać, że:
$$sinα=\frac{H}{H+8}$$ $$sinα=\frac{12}{12+8}$$ $$sinα=\frac{12}{20}$$ $$sinα=\frac{3}{5}$$

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(p\) - praca do wykonania
\(x\) - czas pracy ojca (w godzinach)
\(x+5\) - czas pracy syna (w godzinach)

Krok 2. Ułożenie równania.
Do zadania podejdziemy dokładanie tak jak podchodzimy do zadań z prędkością, gdzie korzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\). Tutaj też mamy tak jakby prędkość zbierania, zamiast drogi mamy wielkość pracy do wykonania, a zamiast czasu jazdy mamy czas zbierania. Jeżeli tak przystąpimy do tego zadania, to możemy zapisać, że prędkość zbierania jabłek przez ojca jest równa \(\frac{p}{x}\), prędkość zbierania jabłek przez syna to \(\frac{p}{x+5}\), a prędkość zbierania jabłek przez ojca i syna jednocześnie to \(\frac{p}{6}\). W związku z tym możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6}$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie najprościej jest zacząć od wymnożenia wszystkiego przez wartości znajdujące się w mianownikach. Najlepiej jest to zrobić powoli i po kolei:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6} \quad\bigg/\cdot6$$ $$\frac{6p}{x}+\frac{6p}{x+5}=p \quad\bigg/\cdot x$$ $$6p+\frac{6px}{x+5}=px \quad\bigg/\cdot(x+5)$$ $$6p\cdot(x+5)+6px=px\cdot(x+5) \quad\bigg/:p$$ $$6\cdot(x+5)+6x=x\cdot(x+5)$$ $$6x+30+6x=x^2+5x$$ $$12x+30=x^2+5x$$ $$x^2-7x-30=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które policzymy oczywiście korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-30\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-30)=49-(-120)=49+120=169$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{169}=13$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-13}{2\cdot1}=\frac{7-13}{2}=\frac{-6}{2}=-3$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+13}{2\cdot1}=\frac{7+13}{2}=\frac{20}{2}=10$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo czas pracy ojca oznaczony jako \(x\) nie może być ujemny, zatem zostaje nam \(x=10\). To oznacza, że ojciec samodzielnie zebrałby jabłka w ciągu \(10\) godzin.