📄 Treść zadania
Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał \(5\) zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o \(2\) zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy \(480\)?
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Pierwszego tygodnia uczeń rozwiązał \(5\) zadań, drugiego rozwiązał \(5+2=7\) zadań, trzeciego \(5+2+2=9\) zadań itd. Widzimy, że powstanie nam w ten sposób ciąg arytmetyczny w którym:
$$a_{1}=5 \ ,\
r=2$$
Krok 2. Zapisanie równania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
oraz ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Spróbujmy zatem dowiedzieć się kiedy uczeń rozwiąże \(480\) zadań, czyli kiedy zajdzie następująca równość:
$$S_{n}=480 \ ,\
\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=480 \ ,\
\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n=480 \ ,\
\frac{5+5+(n-1)\cdot2}{2}\cdot n=480 \ ,\
\frac{10+2n-2}{2}\cdot n=480 \ ,\
\frac{2n+8}{2}\cdot n=480 \quad\bigg/\cdot2 \ ,\
(2n+8)\cdot n=960 \ ,\
2n^2+8n=960 \ ,\
2n^2+8n-960=0 \quad\bigg/:2 \ ,\
n^2+4n-480=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-480\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-480)=16-(-40)=16-(-1920)=1936 \ ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-44}{2\cdot1}=\frac{-48}{2}=-24 \ ,\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+44}{2\cdot1}=\frac{40}{2}=20$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(n=-24\) oraz \(n=20\). Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo liczba tygodni nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(n=20\).
Otrzymany wynik oznacza, że rozwiązanie \(480\) zadań zajmie uczniowi równo \(20\) tygodni. Tym samym uczeń przekroczy \(480\) zadań w kolejnym, \(21\)-szym tygodniu.