Krok 1. Obliczenie liczby \(a\).

\(a=4^{\log_2 45}=\left(2^2\right)^{\log_2 45}=2^{2\log_2 45}=2^{\log_2 45^2}=45^2=2025\)

Krok 2. Obliczenie liczby \(b\).

Zamieniamy logarytm z mianownika na podstawę \(3\):

\(\log_9 2023=\frac{\log_3 2023}{\log_3 9}=\frac{\log_3 2023}{2}\)

Zatem:

\(b=\frac{\log_3 2023}{\frac{\log_3 2023}{2}}=2\)

Krok 3. Różnica.

\(a-b=2025-2=2023\)

Odpowiedź: \(a-b=2023\)

Krok 1. Liczba wszystkich ustawień.

\(n\) osób można ustawić w kolejkę na \(n!\) sposobów.

Krok 2. Liczba ustawień, w których trójka stoi obok siebie.

Traktujemy Anię i jej dwóch znajomych jako jeden blok. Mamy wtedy \(n-2\) obiekty (blok oraz \(n-3\) pozostałe osoby), które ustawiamy na \((n-2)!\) sposobów. Wewnątrz bloku trzy osoby można ustawić na \(3!=6\) sposobów:

\((n-2)!\cdot 3!\)

Krok 3. Równanie.

\(n!=12\cdot(n-2)!\cdot 3!\)

\(n!=72\cdot(n-2)!\)

Ponieważ \(n!=n(n-1)\cdot(n-2)!\) oraz \((n-2)!\neq 0\):

\(n(n-1)=72\)

\(n^2-n-72=0\)

\(\Delta=1+288=289\), \(\;\sqrt{\Delta}=17\)

\(n=\frac{1+17}{2}=9\) (rozwiązanie \(n=-8\) odrzucamy)

Odpowiedź: \(n=9\)

Krok 1. Model — schemat Bernoulliego.

\(n=7\) prób (dni), sukces = awaria:

\(p=0{,}1\), \(\;q=0{,}9\)

Krok 2. Rozbicie zdarzenia \(A\).

\(P(A)=P(k=0)+P(k=1)+P(k=2)\)

\(P(k=0)=\binom{7}{0}\cdot 0{,}9^{7}=0{,}9^{7}\)

\(P(k=1)=\binom{7}{1}\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9^{6}=7\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9^{6}\)

\(P(k=2)=\binom{7}{2}\cdot 0{,}1^2\cdot 0{,}9^{5}=21\cdot 0{,}01\cdot 0{,}9^{5}\)

Krok 3. Obliczenia.

\(0{,}9^{5}=0{,}59049\), \(\;0{,}9^{6}=0{,}531441\), \(\;0{,}9^{7}=0{,}4782969\)

\(P(k=1)=0{,}7\cdot 0{,}531441=0{,}3720087\)

\(P(k=2)=0{,}21\cdot 0{,}59049=0{,}1240029\)

\(P(A)=0{,}4782969+0{,}3720087+0{,}1240029=0{,}9743085\)

Odpowiedź: \(P(A)\approx 0{,}97\)

Krok 1. Wyznaczenie \(x_0\).

\(2x_0^3-4x_0^2+9x_0=18\)

\(2x_0^3-4x_0^2+9x_0-18=0\)

Grupujemy wyrazy:

\(2x_0^2(x_0-2)+9(x_0-2)=0\)

\((x_0-2)\left(2x_0^2+9\right)=0\)

Ponieważ \(2x_0^2+9\gt 0\) dla każdego \(x_0\), jedynym rozwiązaniem jest:

\(x_0=2\)

Krok 2. Pochodna i współczynnik kierunkowy.

\(f'(x)=6x^2-8x+9\)

\(f'(2)=24-16+9=17\)

Krok 3. Równanie stycznej.

\(y-18=17(x-2)\)

\(y=17x-16\)

Odpowiedź: \(x_0=2\), styczna ma równanie \(y=17x-16\).

Sposób I — sprowadzenie do wspólnego mianownika.

Niech \(a\gt 0\). Nierówność jest równoważna kolejno:

\(a^2+\frac{16}{a}-12\ge 0\)

\(\frac{a^3-12a+16}{a}\ge 0\)

Ponieważ \(a\gt 0\), wystarczy wykazać, że \(a^3-12a+16\ge 0\).

Zauważamy, że \(a=2\) jest pierwiastkiem tego wielomianu (\(8-24+16=0\)). Po podzieleniu przez \((a-2)\):

\(a^3-12a+16=(a-2)\left(a^2+2a-8\right)=(a-2)(a-2)(a+4)=(a-2)^2(a+4)\)

Dla \(a\gt 0\) mamy \((a-2)^2\ge 0\) oraz \(a+4\gt 0\), więc iloczyn jest nieujemny. Zatem dana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej \(a\).

Sposób II — nierówność między średnimi.

Zapisujemy lewą stronę jako sumę trzech dodatnich składników:

\(a^2+\frac{16}{a}=a^2+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}\)

Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:

\(\frac{a^2+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}}{3}\ge\sqrt[3]{a^2\cdot\frac{8}{a}\cdot\frac{8}{a}}=\sqrt[3]{64}=4\)

\(a^2+\frac{16}{a}\ge 12\)

Równość zachodzi dla \(a=2\). \(\blacksquare\)

Krok 1. Równość odcinków stycznych.

Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu do okręgu mają równe długości. Zatem:

\(|AP|=|AQ|\), \(\;|BP|=|BD|\), \(\;|CQ|=|CD|\)

Krok 2. Wprowadzenie oznaczenia.

Niech \(|BP|=t\), gdzie \(t\gt 0\). Wtedy:

\(|BD|=|BP|=t\)

\(|CD|=2|BD|=2t\), więc \(|CQ|=|CD|=2t\)

\(|AQ|=5|BP|=5t\), więc \(|AP|=|AQ|=5t\)

Krok 3. Długości boków trójkąta \(ABC\).

Punkt \(B\) leży na odcinku \(AP\), zatem:

\(|AB|=|AP|-|BP|=5t-t=4t\)

Punkt \(C\) leży na odcinku \(AQ\), zatem:

\(|AC|=|AQ|-|CQ|=5t-2t=3t\)

Punkt \(D\) leży na odcinku \(BC\), zatem:

\(|BC|=|BD|+|DC|=t+2t=3t\)

Krok 4. Wniosek.

\(|AC|=|BC|=3t\)

Trójkąt \(ABC\) ma dwa boki równej długości, czyli jest równoramienny. \(\blacksquare\)

Krok 1. Pierwszy wyraz i iloraz.

\(a_1=2x\)

\(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-\frac{6x}{x-1}}{2x}=-\frac{3}{x-1}\)

Krok 2. Warunek istnienia sumy.

Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy \(|q|\lt 1\):

\(\left|\frac{3}{x-1}\right|\lt 1\)

\(|x-1|\gt 3\)

\(x-1\lt -3\) lub \(x-1\gt 3\)

\(x\in(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\)

Krok 3. Równanie na sumę.

\(S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2x}{1+\frac{3}{x-1}}=\frac{2x(x-1)}{x-1+3}=\frac{2x(x-1)}{x+2}\)

\(\frac{2x(x-1)}{x+2}=\frac{15}{2}\)

\(4x(x-1)=15(x+2)\)

\(4x^2-4x-15x-30=0\)

\(4x^2-19x-30=0\)

\(\Delta=361+480=841\), \(\;\sqrt{\Delta}=29\)

\(x_1=\frac{19-29}{8}=-\frac{5}{4}\), \(\;x_2=\frac{19+29}{8}=6\)

Krok 4. Sprawdzenie warunku zbieżności.

\(x=-\frac{5}{4}\notin(-\infty,-2)\cup(4,+\infty)\) — odrzucamy.

\(x=6\in(4,+\infty)\) ✓

Sprawdzenie: \(q=-\frac{3}{5}\), \(a_1=12\), \(S=\frac{12}{1+\frac{3}{5}}=\frac{12}{\frac{8}{5}}=\frac{15}{2}\) ✓

Odpowiedź: \(x=6\)

Krok 1. Sprowadzenie do jednej funkcji.

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego \(\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\):

\(\sin(5x)=-\cos x=-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\)

Krok 2. Równanie \(\sin\alpha=\sin\beta\).

Zachodzi ono, gdy \(\alpha=\beta+2k\pi\) albo \(\alpha=\pi-\beta+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

Przypadek A:

\(5x=x-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

\(4x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\)

\(x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\)

Przypadek B:

\(5x=\pi-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2k\pi\)

\(6x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)

\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{3}\)

Krok 3. Wybór rozwiązań z przedziału \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\).

Z przypadku A: \(k=0\Rightarrow x=-\frac{\pi}{8}\); \(\;k=1\Rightarrow x=\frac{3\pi}{8}\). (Dla \(k=-1\) otrzymujemy \(-\frac{5\pi}{8}\lt-\frac{\pi}{2}\), dla \(k=2\) — \(\frac{7\pi}{8}\gt\frac{\pi}{2}\).)

Z przypadku B: \(k=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\); \(\;k=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{12}\); \(\;k=-2\Rightarrow x=-\frac{5\pi}{12}\). (Dla \(k=1\) mamy \(\frac{7\pi}{12}\gt\frac{\pi}{2}\), dla \(k=-3\) — \(-\frac{3\pi}{4}\lt-\frac{\pi}{2}\).)

Odpowiedź: \(x=-\frac{5\pi}{12}\), \(x=-\frac{\pi}{8}\), \(x=-\frac{\pi}{12}\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{3\pi}{8}\)

Krok 1. Położenie prostej \(AB\) względem okręgu.

Z równania okręgu: środek \(S=(1,2)\), promień \(r=5\).

Odległość środka od prostej \(4x-3y+2=0\):

\(d=\frac{|4\cdot 1-3\cdot 2+2|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|4-6+2|}{5}=0\)

Prosta przechodzi przez środek okręgu, więc cięciwa \(AB\) jest średnicą:

\(|AB|=2r=10\)

Krok 2. Podział boku \(AB\).

Z warunku \(|AD|=4|DB|\) oraz \(|AD|+|DB|=10\):

\(4|DB|+|DB|=10\Rightarrow|DB|=2\), \(\;|AD|=8\)

Krok 3. Wysokość \(CD\).

Kąt \(ACB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc jest prosty. W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną spełnia zależność:

\(|CD|^2=|AD|\cdot|DB|=8\cdot 2=16\)

\(|CD|=4\)

Krok 4. Pole trójkąta.

\(P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|CD|=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20\)

Odpowiedź: \(P=20\)

Etap I. Warunek dwóch różnych rozwiązań rzeczywistych.

Równanie ma być kwadratowe: \(m\neq 0\).

\(\Delta=(m+1)^2-4m(-2m+3)=m^2+2m+1+8m^2-12m=9m^2-10m+1\)

\(9m^2-10m+1=(9m-1)(m-1)\)

\(\Delta\gt 0\iff m\lt\frac{1}{9}\;\vee\;m\gt 1\)

Ponadto rozwiązania mają być różne od zera, co oznacza, że wyraz wolny jest różny od zera:

\(-2m+3\neq 0\Rightarrow m\neq\frac{3}{2}\)

Etap II. Warunek \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\lt 1\).

Ze wzorów Viète’a:

\(x_1+x_2=\frac{m+1}{m}\), \(\;x_1x_2=\frac{3-2m}{m}\)

\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}\)

\((x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{(m+1)^2}{m^2}-\frac{2(3-2m)}{m}=\frac{(m+1)^2-2m(3-2m)}{m^2}=\frac{5m^2-4m+1}{m^2}\)

\((x_1x_2)^2=\frac{(3-2m)^2}{m^2}\)

Zatem warunek przyjmuje postać:

\(\frac{5m^2-4m+1}{(3-2m)^2}\lt 1\)

Ponieważ \((3-2m)^2\gt 0\) (bo \(m\neq\frac{3}{2}\)), mnożymy obie strony:

\(5m^2-4m+1\lt 4m^2-12m+9\)

\(m^2+8m-8\lt 0\)

\(\Delta=64+32=96\), \(\;\sqrt{96}=4\sqrt{6}\)

\(m\in\left(-4-2\sqrt{6},\;-4+2\sqrt{6}\right)\)

Etap III. Część wspólna warunków.

Szukamy \(m\) spełniających jednocześnie: \(m\neq 0\), \(m\neq\frac{3}{2}\), \(m\in\left(-\infty,\frac{1}{9}\right)\cup(1,+\infty)\) oraz \(m\in\left(-4-2\sqrt{6},-4+2\sqrt{6}\right)\).

Ponieważ \(-4+2\sqrt{6}\approx 0{,}899\lt 1\), część wspólna z \((1,+\infty)\) jest pusta, a z \(\left(-\infty,\frac{1}{9}\right)\) otrzymujemy przedział \(\left(-4-2\sqrt{6},\frac{1}{9}\right)\), z którego usuwamy \(m=0\).

Odpowiedź: \(m\in\left(-4-2\sqrt{6},\;0\right)\cup\left(0,\;\frac{1}{9}\right)\)

Krok 1. Zapisanie warunków.

Ciąg geometryczny: \(b^2=a\cdot c\)

Ciąg arytmetyczny: \(2\cdot 2b=2a+(c+1)\), czyli \(4b=2a+c+1\)

Trzeci warunek: \(c=b+6\)

Krok 2. Wyznaczenie \(a\) w zależności od \(b\).

Podstawiamy \(c=b+6\) do drugiego równania:

\(4b=2a+b+6+1\)

\(2a=3b-7\)

\(a=\frac{3b-7}{2}\)

Krok 3. Równanie z jedną niewiadomą.

\(b^2=\frac{3b-7}{2}\cdot(b+6)\)

\(2b^2=(3b-7)(b+6)=3b^2+11b-42\)

\(b^2+11b-42=0\)

\(\Delta=121+168=289\), \(\;\sqrt{\Delta}=17\)

\(b_1=\frac{-11-17}{2}=-14\), \(\;b_2=\frac{-11+17}{2}=3\)

Wyrazy ciągu są dodatnie, więc \(b=3\).

Krok 4. Pozostałe wyrazy.

\(a=\frac{3\cdot 3-7}{2}=1\), \(\;c=3+6=9\)

Sprawdzenie: \((1,3,9)\) — ciąg geometryczny o ilorazie \(3\) ✓; \((2,6,10)\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(4\) ✓; \(c-b=9-3=6\) ✓

Odpowiedź: \(a=1\), \(b=3\), \(c=9\)

Krok 1. Przekątna \(BD\).

Kąt \(BAD\) jest kątem wpisanym o mierze \(90^\circ\), więc jest oparty na półokręgu. Zatem odcinek \(BD\) jest średnicą okręgu:

\(|BD|=2\cdot 4=8\)

Z warunku \(|BE|=3|DE|\) oraz \(|BE|+|DE|=8\):

\(|DE|=2\), \(\;|BE|=6\)

Z warunku \(|BD|=2|AE|\):

\(|AE|=4\)

Krok 2. Podobne trójkąty.

Kąty \(BAC\) i \(BDC\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(BC\), więc są równe. Kąty \(AEB\) i \(DEC\) są wierzchołkowe. Zatem trójkąty \(ABE\) i \(DCE\) są podobne, a skala podobieństwa wynosi:

\(k_1=\frac{|AE|}{|DE|}=\frac{4}{2}=2\), skąd \(|AB|=2\cdot|DC|\)

Podobnie kąty \(ADB\) i \(ACB\) są oparte na łuku \(AB\), a kąty \(AED\) i \(BEC\) są wierzchołkowe, więc trójkąty \(AED\) i \(BEC\) są podobne w skali:

\(k_2=\frac{|AE|}{|BE|}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\), skąd \(|AD|=\frac{2}{3}\cdot|BC|\)

Krok 3. Twierdzenie Pitagorasa w obu trójkątach prostokątnych.

Trójkąty \(ABD\) i \(CBD\) są prostokątne o wspólnej przeciwprostokątnej \(BD=8\):

\(|AB|^2+|AD|^2=64\) oraz \(|BC|^2+|CD|^2=64\)

Podstawiamy \(|AB|=2|CD|\) oraz \(|AD|=\frac{2}{3}|BC|\):

\(4|CD|^2+\frac{4}{9}|BC|^2=64\)

Z drugiego równania \(|CD|^2=64-|BC|^2\), więc:

\(4\left(64-|BC|^2\right)+\frac{4}{9}|BC|^2=64\)

\(256-4|BC|^2+\frac{4}{9}|BC|^2=64\)

\(192=|BC|^2\left(4-\frac{4}{9}\right)=\frac{32}{9}|BC|^2\)

\(|BC|^2=54\), czyli \(|BC|=3\sqrt{6}\)

Krok 4. Pozostałe boki.

\(|CD|^2=64-54=10\Rightarrow|CD|=\sqrt{10}\)

\(|AB|=2|CD|=2\sqrt{10}\)

\(|AD|=\frac{2}{3}|BC|=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{6}=2\sqrt{6}\)

Sprawdzenie: \(|AB|^2+|AD|^2=40+24=64\) ✓

Odpowiedź: \(|AB|=2\sqrt{10}\), \(|BC|=3\sqrt{6}\), \(|CD|=\sqrt{10}\), \(|AD|=2\sqrt{6}\)

a) Wzór funkcji \(V\) i jej dziedzina.

Niech \(a\) oznacza długość krawędzi podstawy. Punkt \(O\) jest środkiem kwadratu \(ABCD\), więc jego odległość od wierzchołka podstawy wynosi:

\(|OA|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Odcinek \(OE\) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(|OA|\) i \(h\):

\(d^2=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2+h^2=\frac{a^2}{2}+h^2\)

Stąd:

\(a^2=2\left(d^2-h^2\right)\)

Objętość graniastosłupa:

\(V=a^2\cdot h=2\left(d^2-h^2\right)h\)

\(V(h)=2d^2h-2h^3\)

Dziedzina: musi zachodzić \(h\gt 0\) oraz \(a^2\gt 0\), czyli \(d^2-h^2\gt 0\), co przy \(h\gt 0\) daje \(h\lt d\):

\(h\in(0,d)\)

b) Wysokość dająca największą objętość.

Obliczamy pochodną:

\(V'(h)=2d^2-6h^2=2\left(d^2-3h^2\right)\)

\(V'(h)=0\iff h^2=\frac{d^2}{3}\iff h=\frac{d}{\sqrt{3}}=\frac{d\sqrt{3}}{3}\) (bierzemy wartość dodatnią)

Badamy znak pochodnej w dziedzinie:

dla \(h\in\left(0,\frac{d\sqrt{3}}{3}\right)\): \(d^2-3h^2\gt 0\), więc \(V'(h)\gt 0\) — funkcja rosnąca,

dla \(h\in\left(\frac{d\sqrt{3}}{3},d\right)\): \(V'(h)\lt 0\) — funkcja malejąca.

Zatem funkcja \(V\) osiąga wartość największą dla \(h=\frac{d\sqrt{3}}{3}\).

Dla zainteresowanych: największa objętość wynosi wtedy \(V\left(\frac{d\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{9}d^3\).

Odpowiedź: a) \(V(h)=2d^2h-2h^3\) dla \(h\in(0,d)\); b) \(h=\frac{d\sqrt{3}}{3}\)