Stosując standardowy mechanizm rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, otrzymamy następującą sytuację:
$$x-1\ge3 \quad\lor\quad x-1\le-3 \\
x\ge4 \quad\lor\quad x\le-2$$

Wyszło nam, że ta nierówność jest spełniana dla \(x\) mniejszego lub równego \(-2\), a także dla \(x\) większego lub równego \(4\), co matematycznie zapisalibyśmy jako \(x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle4;+\infty)\). Taka suma przedziałów znalazła się na drugim rysunku.

Aby uprościć ten zapis, musimy sprowadzić potęgi do jednakowej podstawy lub jednakowego wykładnika. W tym konkretnym przypadku mamy wybór, bo i jedna i druga opcja jest możliwa, ale spróbujmy może sprowadzić te liczby do jednakowej podstawy. W tym celu trzeba zauważyć, że \(\frac{1}{16}=2^{-4}\) natomiast \(8=2^3\). W takim razie, korzystając z działań na potęgach, otrzymamy:
$$\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}=\left(2^{-4}\right)^8\cdot\left(2^3\right)^{16}= \\
=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}$$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), możemy rozpisać naszą liczbę w następujący sposób:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \\
=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \\
=3n^2+6n+5$$

Teraz kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że liczbę \(5\) można rozbić na sumę \(3+2\), otrzymując:
$$3n^2+6n+3+2= \\
=3\cdot(n^2+2n+1)+2= \\
=3\cdot(n+1)^2+2$$

\((n+1)^2\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą. Otrzymany wynik oznacza więc, że liczba jest podzielna przez \(3\), a stojące na końcu \(+2\) pokazuje nam, że reszta z tego dzielenia będzie równa właśnie \(2\), co należało udowodnić.

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:

$$log_{\sqrt{3}}9=x \quad\Longleftrightarrow\quad (\sqrt{3})^x=9$$

Wiedząc, że \(\sqrt{3}=3^\frac{1}{2}\) oraz \(9=3^2\), otrzymamy:
$$\left(3^\frac{1}{2}\right)^x=3^2 \\
3^{\frac{1}{2}x}=3^2 \\
\frac{1}{2}x=2 \\
x=4$$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2a+b)^2-(2a-b)^2=4a^2+4ab+b^2-(4a^2-4ab+b^2)= \\
=4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2=8ab$$

Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanej nierówności. Rozwiązać to możemy na różne sposoby, ale najprościej będzie zacząć od pozbycia się ułamków. Dobrym pomysłem byłoby wymnożenie obydwu stron przez \(6\) (bo taka jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach), otrzymując taką oto sytuację:
$$1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x \quad\bigg/\cdot6 \\
6-9x\lt4-6x \\
-3x\lt-2 \quad\bigg/:(-3) \\
x\gt\frac{2}{3}$$

Zwróć uwagę, że przy dzieleniu obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. Wyszło nam więc, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\).

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), dlatego też wartość mianownika musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$(x+2)(x-3)\neq0 \\
x+2\neq0 \quad\land\quad x-3\neq0 \\
x\neq-2 \quad\land\quad x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz przystępujemy do rozwiązania naszego równania, a zaczynamy od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). W związku z tym:
$$\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0 \quad\bigg/\cdot(x+2)(x-3) \\
x+1=0 \\
x=-1$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W tym przypadku rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim liczba \(-1\).

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Mnożąc przez siebie wielomiany \(F(x)\) oraz \(G(x)\), otrzymamy:
$$3x\cdot(x^2+2x+3)=3x^3+6x^2+9x$$

Otrzymaliśmy więc w ten sposób wielomian \(W(x)\), zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Aby się dowiedzieć, czy \(-1\) jest rozwiązaniem tego równania, trzeba sprawdzić, czy po podstawieniu \(x=-1\) do wyrażenia \(3x^3+6x^2+9x\), otrzymamy wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$3\cdot(-1)^3+6\cdot(-1)^2+9\cdot(-1)= \\
=3\cdot(-1)+6\cdot1+(-9)= \\
=-3+6-9=-6$$

To oznacza, że zdanie jest fałszem.

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x^3-2x^2-3x+6=0 \\
x^2(x-2)-3(x-2)=0 \\
(x^2-3)(x-2)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-3=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x^2=3 \quad\lor\quad x=2 \\
x=\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-\sqrt{3} \quad\lor\quad x=2$$

Pierwsze równanie jest dość oczywiste i powtarza się w każdej proponowanej odpowiedzi, a będzie to \(x+y=1960\). Trudność tego zadania opiera się zatem na poprawnym zapisaniu drugiego równania.

Jeśli uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie, to zostało tam \(0,95x\) drzew. W drugim sadzie uschło \(10\%\), zatem zostało tam \(0,9y\). Z treści zadania wynika także, że liczba drzew z drugiego sadu stanowi \(60\%\) tych z sadu pierwszego, czyli możemy zapisać, że \(0,6\cdot0,95x=0,9y\). To oznacza, że poprawny jest pierwszy układ równań.

Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, a więc muszą mieć ujemny współczynnik kierunkowy \(a\). Już sama ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że pasuje nam tylko układ równań z pierwszej odpowiedzi. Warto też zauważyć, że te dwie proste są równoległe, czyli ten współczynnik \(a\) muszą mieć taki sam.

Funkcja jest malejąca, gdy jej współczynnik \(a\) jest ujemny. W związku z tym musimy sprawdzić, kiedy \(-2k+3\) jest mniejsze od zera, zatem:
$$-2k+3\lt0 \\
-2k\lt-3 \quad\bigg/:(-2) \\
k\gt\frac{3}{2}$$

Zwróć uwagę, że podczas dzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. To oznacza, że funkcja jest malejąca dla \(k\) z przedziału \((\frac{3}{2},+\infty)\).

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(f\).
Miejsce zerowe to argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Musimy więc sprawdzić, kiedy \(3x+6\) jest równe \(0\), zatem:
$$3x+6=0 \\
3x=-6 \\
x=-2$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\) funkcji \(g\).
Skoro funkcja \(g\) ma to samo miejsce zerowe co funkcja \(f\), to możemy stwierdzić, że dla argumentu \(x=-2\) funkcja \(g\) przyjmie wartość równą \(0\), zatem:
$$a\cdot(-2)+7=0 \\
-2a=-7 \\
a=\frac{7}{2}$$

Rozwiązanie 1.
Zapis \(f(x)\ge0\) oznacza, że szukamy takich argumentów \(x\), dla których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe \(0\). Z rysunku wynika, że w takim razie zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle-2;4\rangle\).

Rozwiązanie 2.
Z odpowiedzi wynika, że poszukujemy wzoru funkcji w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Widzimy, że nasza parabola ma wierzchołek w punkcie \(W=(1;9)\), zatem naszą funkcję możemy zapisać jako \(f(x)=a(x-1)^2+9\).

Teoretycznie do policzenia zostałby nam jeszcze współczynnik \(a\) (na pewno będzie ujemny, bo parabola ma ramiona skierowane do dołu), ale zerkając na odpowiedzi widzimy, że nie ma takiej potrzeby, bo wszędzie \(a=-1\). W związku z tym poszukiwanym wzorem jest \(f(x)=-(x-1)^2+9\).

Rozwiązanie 3.
Zadanie polega tak naprawdę na ustaleniu, dla jakiego argumentu nasza funkcja przyjmuje tą samą wartość co dla \(x=-4\). Z rysunku wynika, że stanie się tak dla argumentu \(x=6\), stąd też \(f(-4)=f(6)\).

Rozwiązanie 4.
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Zapis \(g(x)=f(x+3)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(3\) jednostki w lewo. Taka sytuacja jest na rysunku A.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zapis \(h(x)=f(-x)\) oznacza, że funkcja \(h(x)\) powstała w wyniku przekształcenia funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\) (takie odbicie lustrzane). Taka sytuacja jest na rysunku E.

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obliczmy wartość pierwszego i trzeciego wyrazu, podstawiając do wzoru ciągu odpowiednio \(n=1\) oraz \(n=3\):
$$a_{1}=(-1)^1\cdot(1-5)=(-1)\cdot(-4)=4 \\
a_{3}=(-1)^3\cdot(3-5)=(-1)\cdot(-2)=2$$

Pierwszy wyraz jest więc dwa razy większy od wyrazu trzeciego, zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tu prosta obserwacja pozwala stwierdzić, że na pewno nie wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Przykładowo drugi wyraz tego ciągu będzie ujemny, ponieważ:
$$a_{2}=(-1)^2\cdot(2-5)=1\cdot(-3)=-3$$

Zdanie jest więc fałszem.