Z dzielenia z resztą: $x=20y+26$. Zatem $\dfrac{x}{y}=\dfrac{20y+26}{y}=20+\dfrac{26}{y}$.

Odpowiedź: D.

$\dfrac{\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\dfrac{50\cdot(-15)}{2\cdot 3}}=\sqrt[3]{\dfrac{-750}{6}}=\sqrt[3]{-125}=-5$.

Odpowiedź: B.

$9^{20}=3^{40}$, $27^{15}=3^{45}$, więc $\dfrac{3^{10}\cdot 3^{40}}{3^{45}}=\dfrac{3^{50}}{3^{45}}=3^{5}$.

Odpowiedź: B.

$\log_{8}\sqrt[5]{2}=\log_{8}2^{\frac{1}{5}}=\dfrac{1}{5}\log_{8}2$. Ponieważ $8=2^{3}$, to $\log_{8}2=\dfrac{1}{3}$.

Zatem $\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{15}$.

Odpowiedź: A.

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia. Niech $a=2501$, $b=2499$.

$a^{4}-b^{4}=\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)=(a-b)(a+b)\left(a^{2}+b^{2}\right)$.

$a-b=2$, $a+b=5000$, więc $a^{4}-b^{4}=2\cdot 5000\cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)=10\,000\cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)$.

Liczba $a^{2}+b^{2}$ jest całkowita, więc $2501^{4}-2499^{4}$ jest podzielna przez $10\,000$. $\square$

$\dfrac{(x+10)^{2}}{x^{3}}\cdot\dfrac{x^{2}}{x+10}=\dfrac{(x+10)^{2}\cdot x^{2}}{x^{3}\cdot(x+10)}=\dfrac{x+10}{x}$.

Odpowiedź: C.

Czynnik $x^{2}+2x+3$ ma $\Delta=4-12=-8\lt 0$ — nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Pozostaje $2x=0$ lub $x^{2}-3=0$: $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$ — trzy rozwiązania.

Odpowiedź: C.

$(x-3)(x+5)>9\Rightarrow x^{2}+2x-15>9\Rightarrow x^{2}+2x-24>0$.

$\Delta=4+96=100$, $\sqrt{\Delta}=10$, więc $x_{1}=\dfrac{-2-10}{2}=-6$, $x_{2}=\dfrac{-2+10}{2}=4$.

Ramiona paraboli w górę, nierówność $>0$ zachodzi na zewnątrz pierwiastków: $x\in(-\infty,-6)\cup(4,+\infty)$.

Z pierwszego równania: $x_{0}+y_{0}=\dfrac{1}{20}>0$. Z drugiego: $x_{0}-y_{0}=\dfrac{1}{26}$.

Stąd $x_{0}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{26}\right)>0$ oraz $y_{0}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{26}\right)>0$ (bo $\dfrac{1}{20}>\dfrac{1}{26}$).

1. Prawda ($x_{0}+y_{0}=\tfrac{1}{20}>0$). 2. Prawda (iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni).

Odpowiedź: P, P.

1. Fałsz. Funkcja jest malejąca, gdy $k+2\lt 0$, czyli $k\lt -2$. Dla $k$ z przedziału $(-2,2)$ współczynnik $k+2>0$ (funkcja rosnąca), więc stwierdzenie o całym $(-\infty,2)$ jest fałszywe.

2. Prawda. $f(0)=k-3$; dla $k=4$ mamy $f(0)=1$, więc wykres przechodzi przez $(0,1)$.

Odpowiedź: F, P.

1. Fałsz. W przedziale $\langle -4,-2\rangle$ dla $x\lt -2$ mamy $f(x)=x+5$, więc tuż przed $-2$ wartości są bliskie $3$, a $f(-2)=-2+3=1$. Wartość w prawym końcu jest mniejsza niż wcześniejsze, więc funkcja nie jest rosnąca w całym przedziale $\langle -4,-2\rangle$.

2. Prawda. $f(1)=1+3=4$, a dla $x\in(1,3\rangle$ mamy $f(x)=-2x+5\lt 3$ i ta część maleje; zatem w przedziale $\langle 1,3\rangle$ funkcja jest malejąca.

Odpowiedź: F, P.

1. Największą wartość funkcja przyjmuje w punkcie $(1,4)$ (część $x+3$): jest ona równa $4$.

2. $\sqrt{5}\approx 2,24$. Wartość $\sqrt{5}$ jest przyjmowana raz na każdej z trzech części wykresu (dla $x=\sqrt{5}-5$, $x=\sqrt{5}-3$ oraz $x=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$), więc równanie ma trzy rozwiązania.

1. Dziedzina: $\langle -4,-2)\cup\langle -2,1\rangle\cup(1,3\rangle=\langle -4,\,3\rangle$.

2. $f(x)\lt 1$: na $\langle -4,-2)$ i $\langle -2,1\rangle$ wartości są $\ge 1$; na $(1,3\rangle$: $-2x+5\lt 1\Leftrightarrow x>2$, czyli $(2,3\rangle$. Odpowiedź: przedział $(2,\,3\rangle$.

Miejsca zerowe: $\Delta=40^{2}+4\cdot 16\cdot 11=1600+704=2304$, $\sqrt{\Delta}=48$.

$x_{1}=\dfrac{-40-48}{-32}=\dfrac{11}{4}$, $x_{2}=\dfrac{-40+48}{-32}=-\dfrac{1}{4}$, więc $|AB|=\dfrac{11}{4}+\dfrac{1}{4}=3$.

Druga współrzędna wierzchołka: $y_{C}=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{2304}{4\cdot(-16)}=36$, więc wysokość trójkąta (odległość $C$ od osi $Ox$) wynosi $36$.

Pole: $P=\dfrac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|y_{C}|=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 36=54$.

Dla wielkości odwrotnie proporcjonalnych iloczyn $x\cdot y$ jest stały: $18\cdot 9=162$.

$24\cdot a=162\Rightarrow a=\dfrac{162}{24}=6,75$.

Odpowiedź: B.

$a_{5}=\dfrac{3\cdot 5+9}{5+1}=\dfrac{24}{6}=4$.

Warunek ciągu arytmetycznego: $2\cdot 2x^{2}=a_{5}+\left(3x^{2}+5\right)$, czyli $4x^{2}=4+3x^{2}+5$.

$x^{2}=9\Rightarrow x=3$ lub $x=-3$.

To ciąg arytmetyczny o $a_{1}=5$ i różnicy $r=2$.

$S_{100}=\dfrac{2a_{1}+99r}{2}\cdot 100=\dfrac{10+198}{2}\cdot 100=104\cdot 100=10\,400$.

Odpowiedź: C.

$a_{8}=a_{6}\cdot q^{2}$, więc $a_{6}=25\cdot a_{6}\cdot q^{2}$, stąd $q^{2}=\dfrac{1}{25}$, czyli $q=\dfrac{1}{5}$ lub $q=-\dfrac{1}{5}$.

Dla $q=-\dfrac{1}{5}$ wyrazy zmieniają znak (ciąg nie jest monotoniczny), więc ciąg malejący daje $q=\dfrac{1}{5}$.

Odpowiedź: A.

$\dfrac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}=\dfrac{3\sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=3\cos\alpha$.

$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ (kąt rozwarty — cosinus ujemny).

$3\cos\alpha=3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)=-\sqrt{6}$.

Kąt prosty jest przy wierzchołku $A$. Dla kąta $BCA$: przyprostokątna przyległa to $AC=6$, a przeciwległa to $AB$.

$\operatorname{tg}(\angle BCA)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AB}{6}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow AB=9$.

Odpowiedź: C.

Środek okręgu wpisanego jest jednakowo oddalony od wszystkich boków, a zbiorem punktów równoodległych od ramion kąta jest dwusieczna. Zatem środek leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów.

Odpowiedź: A.

Kąt $COB$ jest środkowy i prosty, więc łuk $BC=90^{\circ}$.

Kąt $AKD$ jest kątem między cięciwami $AC$ i $BD$: $\angle AKD=\dfrac{1}{2}(\smile AD+\smile BC)$, stąd $78^{\circ}=\dfrac{1}{2}(\smile AD+90^{\circ})$, więc $\smile AD=66^{\circ}$.

Ponieważ $BD$ jest średnicą, łuk $BAD$ (od $B$ przez $A$ do $D$) ma $180^{\circ}$, więc $\smile AB=180^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ}$.

Kąt wpisany $BDA$ oparty na łuku $AB$: $\angle BDA=\dfrac{1}{2}\cdot 114^{\circ}=57^{\circ}$.

Odpowiedź: C.

Oznaczmy $\angle DAB=\alpha$. Ponieważ $AC$ jest dwusieczną, to $\angle DAC=\angle CAB=\dfrac{\alpha}{2}$.

Z równoległości podstaw ($DC\parallel AB$) kąty naprzemianległe są równe: $\angle DCA=\angle CAB=\dfrac{\alpha}{2}$.

W trójkącie $ACD$ mamy $\angle DAC=\angle DCA=\dfrac{\alpha}{2}$, więc jest on równoramienny i $|CD|=|AD|$ (ramię trapezu). W trapezie równoramiennym $|AD|=|BC|$, zatem $|CD|=|AD|=|BC|$.

Niech $|CD|=a$; wtedy $|AB|=2a$ oraz ramię $|AD|=a$. Rzut ramienia $AD$ na podstawę $AB$ wynosi $\dfrac{|AB|-|CD|}{2}=\dfrac{2a-a}{2}=\dfrac{a}{2}$.

Zatem $\cos\alpha=\dfrac{a/2}{a}=\dfrac{1}{2}$, skąd $\alpha=60^{\circ}$. $\square$

Bok sześciokąta foremnego wpisanego w koło jest równy promieniowi: $a=1$. Pole sześciokąta: $6\cdot\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

Pole koła: $\pi\cdot 1^{2}=\pi$. Pole zacieniowane: $\pi-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

Odpowiedź: B.

Współczynniki kierunkowe: $k$ ma $a_{k}=-\dfrac{m-1}{3}$, $l$ ma $a_{l}=-6$. Równoległość: $-\dfrac{m-1}{3}=-6$, stąd $m-1=18$, czyli $m=19$.

Odpowiedź: D.

Środek okręgu opisanego na kwadracie to środek przekątnej $AC$: $S=\left(\dfrac{-3+5}{2},\dfrac{0+6}{2}\right)=(1,3)$.

Promień to połowa przekątnej: $r=\dfrac{1}{2}|AC|=\dfrac{1}{2}\sqrt{(5+3)^{2}+(6-0)^{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{64+36}=\dfrac{1}{2}\cdot 10=5$.

W symetrii względem osi $Oy$ środek $(1,3)$ przechodzi na $(-1,3)$, a promień się nie zmienia.

Równanie okręgu opisanego na $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$: $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=25$.

Trójkąt $ACH$ jest równoboczny — jego bokami są przekątne ścian sześcianu o długości $a\sqrt{2}$ (gdzie $a$ to krawędź).

Pole trójkąta równobocznego o boku $a\sqrt{2}$: $\dfrac{\left(a\sqrt{2}\right)^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2a^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$.

$\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\Rightarrow a^{2}=8\Rightarrow a=2\sqrt{2}$.

Odpowiedź: B.

Apotema podstawy to $\dfrac{12}{2}=6$. Wysokość ostrosłupa: $H=6\cdot\operatorname{tg}30^{\circ}=6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

$V=\dfrac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H=\dfrac{1}{3}\cdot 12^{2}\cdot 2\sqrt{3}=\dfrac{1}{3}\cdot 144\cdot 2\sqrt{3}=96\sqrt{3}$.

Pole powierzchni skaluje się w skali $k^{2}=4$: $12\pi\cdot 4=48\pi$ — 1. Prawda.

Objętość skaluje się w skali $k^{3}=8$: $4\pi\cdot 8=32\pi$ — 2. Prawda.

Odpowiedź: P, P.

Kolejne obszary sąsiadują ze sobą łańcuchowo (każdy graniczy z dokładnie jednym już pokolorowanym): pierwszy obszar można pomalować na $7$ sposobów, a każdy następny — tak, aby różnił się od sąsiada — na $6$ sposobów.

Łącznie: $7\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=7\cdot 6^{5}$.

Odpowiedź: A.

Liczb dwucyfrowych jest $90$ (od $10$ do $99$). Wielokrotności $34$ w tym zakresie to $34$ i $68$ — $2$ liczby.

$P(A)=\dfrac{2}{90}$.

Odpowiedź: D.

Suma iloczynów ocen i wag: $2\cdot(4+4+3)+3\cdot(2+5)+4\cdot(5+4)=2\cdot 11+3\cdot 7+4\cdot 9=22+21+36=79$.

Suma wag: $2\cdot 3+3\cdot 2+4\cdot 2=6+6+8=20$.

Średnia ważona: $\dfrac{79}{20}=3,95$.

Odpowiedź: C.

Liczby meczów: $0\to 4$, $1\to 21$, $2\to 16$, $3\to 6$, $4\to 3$ (razem $50$).

Mediana to średnia $25.$ i $26.$ wartości. Skumulowane: do $1$ gola — $25$ meczów, do $2$ goli — $41$. Zatem $25.$ wartość to $1$, a $26.$ to $2$: mediana $=\dfrac{1+2}{2}=1,5$.

Odpowiedź: B.

Wierzchołek paraboli ma odciętą $x=\pi\approx 3,14$, a ramiona są skierowane w dół. Ponieważ $\pi\in\langle 0,6\rangle$, największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku, czyli dla $x=\pi$.

Odpowiedź: C.

Dla paraboli o ramionach w dół wartość najmniejsza na przedziale jest w tym końcu, który leży dalej od wierzchołka $x=\pi\approx 3,14$.

Odległości: $|0-\pi|\approx 3,14$, $|6-\pi|\approx 2,86$. Dalej jest $x=0$, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla $x=0$.

Odpowiedź: A.