$\sqrt[3]{-27}=-3$ (bo $(-3)^{3}=-27$) oraz $\sqrt[5]{-1}=-1$ (bo $(-1)^{5}=-1$).

Suma: $-3+(-1)=-4$.

Odpowiedź: A.

$4^{0,5}=\sqrt{4}=2$, więc licznik to $3^{-1}\cdot 2$, a mianownik $3^{-2}\cdot 2^{-1}$.

$\dfrac{3^{-1}\cdot 2}{3^{-2}\cdot 2^{-1}}=3^{-1-(-2)}\cdot 2^{1-(-1)}=3^{1}\cdot 2^{2}=3\cdot 4=12$.

Odpowiedź: B.

$\log_{8}4+\log_{8}32-\log_{8}2=\log_{8}\dfrac{4\cdot 32}{2}=\log_{8}64=2$ (bo $8^{2}=64$).

Odpowiedź: B.

Korzystamy ze wzoru $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$:

$(\pi+1)^{2}-(\pi-1)^{2}=\big[(\pi+1)-(\pi-1)\big]\big[(\pi+1)+(\pi-1)\big]=2\cdot 2\pi=4\pi$.

Odpowiedź: C.

Niech $n=2k+1$ dla pewnej liczby całkowitej $k$.

$3n^{2}+6n+15=3(2k+1)^{2}+6(2k+1)+15=3\left(4k^{2}+4k+1\right)+12k+6+15=$

$=12k^{2}+12k+3+12k+21=12k^{2}+24k+24=12\left(k^{2}+2k+2\right)$.

Ponieważ $k^{2}+2k+2$ jest liczbą całkowitą, liczba $3n^{2}+6n+15$ jest podzielna przez $12$. $\square$

Mnożymy obie strony przez $15$: $3(7+2x)\ge 4$, czyli $21+6x\ge 4$.

$6x\ge -17\Rightarrow x\ge -\dfrac{17}{6}\approx -2{,}83$.

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą warunek $x\ge -2{,}83$ jest $-2$.

Odpowiedź: C.

$x^{2}-4=0\Rightarrow x=\pm 2$, $x^{2}-9=0\Rightarrow x=\pm 3$.

Rozwiązania: $-3,\,-2,\,2,\,3$. Ich suma: $-3-2+2+3=0$.

Odpowiedź: B.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:

$\dfrac{4}{x(x+2)}\cdot\dfrac{4-x^{2}}{5x}=\dfrac{4}{x(x+2)}\cdot\dfrac{(2-x)(2+x)}{5x}$.

Skracamy czynnik $(x+2)=(2+x)$: $=\dfrac{4(2-x)}{5x^{2}}=\dfrac{8-4x}{5x^{2}}$.

Odpowiedź: A.

$3x^{2}-2x\lt 1\Rightarrow 3x^{2}-2x-1\lt 0$.

$\Delta=(-2)^{2}-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16$, $\sqrt{\Delta}=4$.

$x_{1}=\dfrac{2-4}{6}=-\dfrac{1}{3}$, $x_{2}=\dfrac{2+4}{6}=1$.

Ramiona paraboli w górę, więc $\lt 0$ między pierwiastkami: $x\in\left(-\dfrac{1}{3},\,1\right)$.

Układamy układ równań: $\begin{cases}8x+4y=82\\ 3x+9y=60\end{cases}$.

Drugie równanie dzielimy przez $3$: $x+3y=20$, stąd $x=20-3y$.

Podstawiamy do pierwszego: $8(20-3y)+4y=82\Rightarrow 160-24y+4y=82\Rightarrow -20y=-78\Rightarrow y=3{,}9$.

$x=20-3\cdot 3{,}9=20-11{,}7=8{,}3$.

Cena czekolady $\mathcal{C}$ to $8{,}30$ zł.

1. Zbiór wartości: na $(-5,-3\rangle$ funkcja jest stała i równa $1$; na $(-3,1\rangle$ funkcja $-x-2$ maleje od $1$ (wyłącznie) do $-3$ (włącznie); na $(1,5)$ funkcja $x-4$ rośnie od $-3$ do $1$ (końce wyłączone). Łącznie: $\langle -3,\,1\rangle$.

2. $f(x)\lt 0$: na $(-3,1\rangle$: $-x-2\lt 0\Leftrightarrow x>-2$, czyli $(-2,1\rangle$; na $(1,5)$: $x-4\lt 0\Leftrightarrow x\lt 4$, czyli $(1,4)$. Łącznie przedział $(-2,\,4)$.

3. Największa wartość: największą wartością funkcji jest $1$. Przyjmuje ją na całym przedziale $(-5,-3\rangle$ (na pozostałych częściach wartość $1$ nie jest osiągana, bo końce są wyłączone). Odpowiedź: przedział $(-5,\,-3\rangle$.

Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie o rzędnej $f(0)$: $f(0)=m^{2}+6m$.

$m^{2}+6m=-9\Rightarrow m^{2}+6m+9=0\Rightarrow (m+3)^{2}=0\Rightarrow m=-3$.

Postać kanoniczna $f(x)=2(x-2)^{2}+4$ ma wierzchołek $(2,4)$ i ramiona skierowane w górę, więc najmniejsza wartość funkcji to $4>0$ — brak miejsc zerowych (F).

Osią symetrii jest prosta pionowa przez wierzchołek: $x=2$ — prawda (P).

$f(x)=2(x-2)^{2}+4=2\left(x^{2}-4x+4\right)+4=2x^{2}-8x+8+4=2x^{2}-8x+12$.

Odpowiedź: D.

$a_{3}=32\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3-5}=32\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=32\cdot 4=128$.

Odpowiedź: C.

Wzór $a_{n}=32\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-5}$ opisuje ciąg geometryczny o ilorazie $q=\dfrac{1}{2}$.

Wszystkie wyrazy są dodatnie, a $0\lt q\lt 1$, więc ciąg jest malejący.

Odpowiedź: D.

Z sumy: $S_{10}=\dfrac{2a_{1}+9r}{2}\cdot 10=5(2a_{1}+9r)=90$, stąd $2a_{1}+9r=18$.

Ze średniej: $a_{1}+a_{7}+a_{8}=30$, czyli $a_{1}+(a_{1}+6r)+(a_{1}+7r)=3a_{1}+13r=30$.

Z pierwszego równania $a_{1}=9-4{,}5r$. Podstawiamy: $3(9-4{,}5r)+13r=30\Rightarrow 27-13{,}5r+13r=30\Rightarrow -0{,}5r=3\Rightarrow r=-6$.

$a_{1}=9-4{,}5\cdot(-6)=9+27=36$.

Odpowiedź: $a_{1}=36$, $r=-6$.

Warunek ciągu geometrycznego: $(x+4)^{2}=x(2x+8)$.

$x^{2}+8x+16=2x^{2}+8x\Rightarrow x^{2}=16\Rightarrow x=4$ (wyrazy dodatnie).

Ciąg: $4,\ 8,\ 16$, iloraz $q=\dfrac{8}{4}=2$.

Odpowiedź: C.

Ponieważ $\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha$, prawa strona: $\cos\alpha-(1-\sin^{2}\alpha)+1=\cos\alpha+\sin^{2}\alpha$.

Zatem $\sin\alpha+\sin^{2}\alpha=\cos\alpha+\sin^{2}\alpha\Rightarrow \sin\alpha=\cos\alpha\Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=1$.

Odpowiedź: C.

Kąt wpisany $\beta=\angle DBC$ jest oparty na łuku $DC$, a kąt wpisany $\gamma=\angle ACD$ — na łuku $AD$.

Suma tych kątów wpisanych jest połową sumy łuków, na których są oparte: $\beta+\gamma=\dfrac{1}{2}(\smile DC+\smile AD)=\dfrac{1}{2}\smile ADC$.

Ponieważ $AC$ jest średnicą, łuk $ADC$ (od $A$ do $C$ przez $D$) ma miarę $180^{\circ}$.

Zatem $\beta+\gamma=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{\circ}=90^{\circ}$.

Odpowiedź: B.

Z jedynki trygonometrycznej: $\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{25}{169}}=\dfrac{5}{13}$.

Niech $D$ rzutuje się prostopadle na podstawę $AB$ w punkcie $P$. Wysokość trapezu: $h=DP=BD\sin\alpha=39\cdot\dfrac{5}{13}=15$.

Rzut przekątnej na podstawę: $BP=BD\cos\alpha=39\cdot\dfrac{12}{13}=36$.

W trapezie równoramiennym rzut ramienia na dłuższą podstawę wynosi $\dfrac{AB-CD}{2}=\dfrac{40}{2}=20$, więc $AP=20$.

(Sprawdzenie: $AB=AP+PB=20+36=56$, $CD=56-40=16$.)

Ramię $AD$ z trójkąta prostokątnego $APD$: $AD=\sqrt{AP^{2}+DP^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$.

Odpowiedź: $AD=25$.

W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna $=a\sqrt{2}$, gdzie $a$ to przyprostokątna. Stąd $a\sqrt{2}=8$, czyli $a=\dfrac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$.

Obwód: $2a+8=2\cdot 4\sqrt{2}+8=8\sqrt{2}+8=8\left(\sqrt{2}+1\right)$.

Odpowiedź: C.

Obwód trójkąta $ABC$: $6+9+12=27$. Skala podobieństwa: $k=\dfrac{36}{27}=\dfrac{4}{3}$.

Najkrótszy bok $ABC$ ma długość $6$, więc odpowiadający bok trójkąta $KLM$: $6\cdot\dfrac{4}{3}=8$.

Odpowiedź: C.

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $a=\dfrac{2-(-6)}{4-0}=\dfrac{8}{4}=2$.

Prosta przechodzi przez $A=(0,-6)$, więc wyraz wolny $b=-6$: $y=2x-6$.

Odpowiedź: D.

Boki: $AC$ jest pionowy, $|AC|=|4-(-6)|=10$. $|AB|=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$, $|BC|=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Sprawdzamy kąt prosty: $\vec{BA}\cdot\vec{BC}=(-4)\cdot(-4)+(-8)\cdot 2=16-16=0$ — kąt prosty jest przy wierzchołku $B$.

Zatem w kącie $CAB$: przyprostokątna przyległa to $AB$, a przeciwległa to $BC$: $\operatorname{tg}(\angle CAB)=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}$.

Odpowiedź: A.

Środek $S$ jest środkiem średnicy $AB$, więc $y_{S}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}$.

$-6=\dfrac{-15+y_{B}}{2}\Rightarrow -12=-15+y_{B}\Rightarrow y_{B}=3$.

Odpowiedź: A.

Promień to odległość środka od punktu $A$: $r=|SA|=\sqrt{(4-(-8))^{2}+(-15-(-6))^{2}}=\sqrt{12^{2}+(-9)^{2}}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$.

Równanie okręgu o środku $(-8,-6)$: $(x+8)^{2}+(y+6)^{2}=225$.

Odpowiedź: A.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: $m-3=-5\Rightarrow m=-2$.

Sprawdzenie, że się nie pokrywają: wyraz wolny $m+4=2\ne 1$ — proste są równoległe rozłączne.

Odpowiedź: C.

Podstawą jest sześciokąt foremny o boku $3$; jego pole: $P_{p}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 9=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$.

Wysokość graniastosłupa (krawędź boczna) $=3$.

$V=P_{p}\cdot H=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}\cdot 3=\dfrac{81\sqrt{3}}{2}$.

Odpowiedź: D.

Wysokość ostrosłupa i rzut krawędzi bocznej na podstawę tworzą trójkąt prostokątny, w którym krawędź boczna $=12$ jest przeciwprostokątną, a kąt nachylenia to $60^{\circ}$.

$H=12\cdot\sin 60^{\circ}=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$.

Odpowiedź: D.

Ostrosłup o podstawie będącej $n$-kątem ma $n+1$ wierzchołków oraz $2n$ krawędzi.

Warunek: $2n=(n+1)+9\Rightarrow 2n=n+10\Rightarrow n=10$.

Podstawą jest dziesięciokąt.

Odpowiedź: D.

Wszystkich wyników jest $36$. Suma większa od $10$ to suma $11$ lub $12$: pary $(5,6),(6,5)$ oraz $(6,6)$ — razem $3$ zdarzenia sprzyjające.

$P(A)=\dfrac{3}{36}$.

Odpowiedź: C.

Liczności skumulowane: do $4$ — $6$, do $5$ — $10$, do $6$ — $24$, do $7$ — $60$, do $8$ — $98$, do $9$ — $108$, do $10$ — $120$.

1. Mediana: dla $120$ osób to średnia $60.$ i $61.$ wartości. $60.$ wartość to $7$ godzin, a $61.$ — $8$ godzin, więc mediana $=\dfrac{7+8}{2}=7{,}5$.

2. Dominanta: najliczniejsza odpowiedź to $8$ godzin ($38$ osób), więc dominanta $=8$.

3. Prawdopodobieństwo: $P=\dfrac{12}{120}=\dfrac{1}{10}$.

Suma średnicy i wysokości: $2r+h=10$, stąd $h=10-2r$.

Pole powierzchni bocznej walca: $P(r)=2\pi r\cdot h=2\pi r(10-2r)=20\pi r-4\pi r^{2}$.

Dziedzina: $r>0$ oraz $h=10-2r>0\Rightarrow r\lt 5$, czyli $r\in(0,\,5)$.

Funkcja $P$ jest kwadratowa o ramionach w dół, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

$r=\dfrac{-20\pi}{2\cdot(-4\pi)}=\dfrac{20\pi}{8\pi}=\dfrac{5}{2}=2{,}5$ (należy do dziedziny).

Pole powierzchni bocznej jest największe dla $r=\dfrac{5}{2}$.