Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka pojawia nam się niewiadoma \(a\), więc musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość mianownika musi być różna od zera, zatem:
$$2a+1\neq0$$ $$2a\neq-1$$ $$a\neq-\frac{1}{2}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Zaczynając od wymnożenia obu stron nierówności przez \(2a+1\), możemy zapisać, że:
$$2+a=\frac{9a}{2a+1} \quad\bigg/\cdot(2a+1)$$ $$(2+a)\cdot(2a+1)=9a$$ $$4a+2+2a^2+a=9a$$ $$2a^2+5a+2=9a$$ $$2a^2-4a+2=0$$ $$a^2-2a+1=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem w ruch musi pójść obliczenie delty.

Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0$$

Delta wyszła równa \(0\), zatem to równanie będzie mieć tylko jedno rozwiązanie:
$$a=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami. W tym przypadku tak nie jest, bo wynik wyszedł inny niż \(-\frac{1}{2}\), zatem rozwiązaniem tego równania jest \(a=1\).

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz z działań na potęgach. Możemy więc zapisać, że:
$$1-(2^7-1)^2=1-(2^{14}-2\cdot2^7+1)=$$ $$=1-(2^{14}-2^8+1)=1-2^{14}+2^8-1=-2^{14}+2^8=2^8-2^{14}$$

Logarytm możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie tutaj zastosować po prostu definicję logarytmu, czyli:
$$log_{\sqrt{2}}4^8=x \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{2}^x=4^8$$

Aby rozwiązać równanie \(\sqrt{2}^x=4^8\) musimy doprowadzić lewą i prawą stronę do jednakowej podstawy potęgi. W naszym przypadku najprościej będzie sprowadzić obydwie liczby do dwójki, pamiętając o tym, że \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\) i że \(4=2^2\). W związku z tym:
$$(\sqrt{2})^x=4^8$$ $${2^{\frac{1}{2}}}^x={2^2}^8$$ $$2^{\frac{1}{2}x}=2^{16}$$

Doprowadziliśmy do jednakowych podstaw potęg, zatem możemy porównać wykładniki:
$$\frac{1}{2}x=16$$ $$x=32$$

To oznacza, że rozwiązaniem tego logarytmu jest właśnie liczba \(32\).

Błąd bezwzględny obliczymy ze wzoru: \(Δx=|x-p|\), gdzie \(x\) to wartość dokładna, a \(p\) to wartość przybliżona. Z treści zadania wynika, że \(x=1,989\cdot10^{30}kg\), natomiast przybliżenie wynosi \(p=2\cdot10^{30}kg\). To oznacza, że:

$$Δx=|1,989\cdot10^{30}kg-2\cdot10^{30}kg|$$ $$Δx=|-0,011\cdot10^{30}kg|$$ $$Δx=0,011\cdot10^{30}kg$$

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Rozwiązywanie nierówności najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez \(6\), dzięki czemu pozbędziemy się wszystkich ułamków. Musimy jednak uważanie te wyrazy wymnożyć, gdyż po lewej stronie mamy odejmowanie, a po prawej dodawanie:
$$\frac{1}{6}-x\ge\frac{2}{3}x+4 \quad\bigg/\cdot6$$ $$1-6x\ge4x+24$$ $$-10x\ge23 \quad\bigg/:(-10)$$ $$x\le-2,3$$

Krok 2. Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającą nierówność.
Musimy jeszcze ustalić, jaka jest największa liczba całkowita, która spełnia tę nierówność. Największą liczbą całkowitą, która jest mniejsza od \(-2,3\), będzie \(-3\) i taka też jest nasza odpowiedź.

Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka mamy niewiadomą \(x\) dlatego musimy zapisać odpowiednie założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x\neq0$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązanie równania możemy zacząć od wymnożenia całości przez \(x\):
$$\frac{1-x}{x}=2x \quad\bigg/\cdot x$$ $$1-x=2x^2$$ $$-2x^2-x+1=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wyliczenie delty:

Współczynniki: \(a=-2,\;b=-1,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=9$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{4}{-4}=-1$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na początek musimy sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniem, że \(x\neq0\). W tym przypadku tak nie jest, zatem żadnego rozwiązania nie wykluczamy.

Nasze zadanie polega na ustaleniu, ile rozwiązań całkowitych ma nasze równanie. Takie rozwiązanie jest tylko jedno, czyli \(x=-1\).

Krok 1. Ustalenie, która prosta jest prostą \(AC\), a która \(BC\).
Skąd wiemy, która prosta jest opisana równaniem \(y=\frac{2}{3}x+2\), a która \(y=-x+2\)? By to stwierdzić, nie musimy tutaj wykonywać żadnych większych obliczeń. Wystarczy zauważyć, że jedna prosta jest rosnąca (czyli jej współczynnik kierunkowy \(a\) musi być dodatni), a druga jest malejąca (czyli jej współczynnik \(a\) musi być ujemny). To prowadzi nas do wniosku, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{2}{3}x+2\), natomiast prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-x+2\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktów \(A\), \(B\) oraz \(C\).
Zacznijmy od punktu \(A\). Widzimy, że leży on na osi \(Ox\), czyli jego współrzędna \(y=0\). Skoro punkt \(A\) leży na prostej \(y=\frac{2}{3}x+2\), to podstawiając do tego równania \(y=0\), otrzymamy:
$$0=\frac{2}{3}x+2$$ $$-2=\frac{2}{3}x$$ $$x=-3$$

To oznacza, że \(A=(-3;0)\).

Analogicznie podchodzimy do punktu \(B\), bo tutaj także \(y=0\), ale tym razem równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt będzie \(y=-x+2\), tak więc:
$$0=-x+2$$ $$x=2$$

To oznacza, że \(B=(2;0)\).

Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\) jest najprostsze, ponieważ jest to punkt leżący na osi \(Oy\), a więc z pomocą przyjdzie nam współczynnik \(b\) prostej, która przez ten punkt przechodzi. Widzimy wyraźnie, że zarówno jedna, jak i druga prosta, mają współczynnik \(b=2\), tak więc \(C=(2;0)\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
Nanosząc na rysunek obliczone współrzędne, otrzymamy taką oto sytuację:


Licząc nawet po kratkach widzimy, że podstawa naszego trójkąta ma długość \(a=5\), natomiast wysokość tego trójkąta to \(h=2\). Skoro tak, to korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot2$$ $$P=5$$

Aby obliczyć wartość parametru \(m\) wystarczy do wzoru funkcji podstawić współrzędne punktu \(P\), zatem:
$$7=(2m-1)\cdot(-3)+5$$ $$7=-6m+3+5$$ $$7=-6m+8$$ $$-1=-6m$$ $$m=\frac{1}{6}$$

Z tablicy wzorów wynika, że współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli, możemy obliczyć korzystając ze wzoru:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$

Obliczmy zatem deltę, którą za chwilę podstawimy do tego wzoru:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=6,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot(-1)\cdot4=36-(-16)=52$$

Teraz możemy już przejść do obliczenia współrzędnej \(q\). Podstawiając \(Δ=52\) oraz \(a=-1\), otrzymamy:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$ $$q=\frac{-52}{4\cdot(-1)}$$ $$q=\frac{-52}{-4}$$ $$q=13$$

Dzieląc liczbę naturalną przez \(4\) możemy otrzymać resztę równą \(0\), \(1\), \(2\) lub \(3\). Przykładowo:
$$20:4=5\;r.0$$ $$21:4=5\;r.1$$ $$22:4=5\;r.2$$ $$23:4=5\;r.3$$

To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(f\) jest \(\{0,1,2,3\}\).

Krok 1. Ustalenie znaku współczynnika \(a\).
Zaczynamy od tego, co jest najprostsze, czyli od ustalenia znaku współczynnika \(a\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu, co sugeruje nam, że współczynnik \(a\) musi być ujemny, więc \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie znaku współczynnika \(b\).
Co do zasady, to ze współczynnikiem \(b\) w funkcji kwadratowej nie są związane jakieś szczególne własności (nie mylmy tego ze współczynnikiem \(b\) w funkcji liniowej, który mówi nam o miejscu przecięcia się wykresu z osią \(OY\)).

Mimo tego znak tego współczynnika możemy poznać, dzięki informacji o wierzchołku paraboli. Widzimy, że współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli jest na pewno dodatnia. Z pomocą przyjdzie nam wzór \(p=\frac{-b}{2a}\). Wiemy już, że \(a\) jest ujemne, więc wartość mianownika także jest ujemna. Co się zatem musi stać, aby \(p\) było dodatnie? Musimy mieć także ujemny licznik. W liczniku mamy wartość \(-b\), zatem samo \(b\) będzie dodatnie.

To prowadzi nas do wniosku, że \(a\lt0\) oraz \(b\gt0\).

Dwie proste są względem siebie prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=m-2\), natomiast druga ma \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym musimy rozwiązać następujące równanie:

$$(m-2)\cdot\frac{3}{4}=-1$$ $$\frac{3}{4}m-\frac{3}{2}=-1$$ $$\frac{3}{4}m=\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3}$$ $$m=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że \(a_{2}=a_{4}-2r\) oraz że \(a_{6}=a_{4}+2r\). Skoro tak, to sumę \(a_{2}+a_{6}\) możemy rozpisać jako:
$$a_{2}+a_{6}=a_{4}-2r+a_{4}+2r=2a_{4}$$

Z treści zadania wiemy, że \(a_{4}=2020\), zatem:
$$2a_{4}=2\cdot2020=4040$$

I sposób - obliczając wartość iloczynu ciągu geometrycznego.
Krok 1. Obliczenie wartości iloczynu \(q\).
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że \(a_{5}=a_{2}\cdot q^3\). Znamy wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{5}\), więc możemy bez problemu obliczyć wartość \(q\):
$$a_{5}=a_{2}\cdot q^3$$ $$-48=6\cdot q^3$$ $$q^3=-8$$ $$q=-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\).
Patrząc się na odpowiedzi, potrzebujemy poznać wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\), zatem:
$$a_{6}=a_{2}\cdot q^4$$ $$a_{6}=6\cdot(-2)^4$$ $$a_{6}=6\cdot16$$ $$a_{6}=96$$

$$a_{7}=a_{2}\cdot q^5$$ $$a_{7}=6\cdot(-2)^5$$ $$a_{7}=6\cdot(-32)$$ $$a_{7}=-192$$

$$a_{8}=a_{2}\cdot q^6$$ $$a_{8}=6\cdot2^6$$ $$a_{8}=6\cdot64$$ $$a_{8}=384$$

Krok 3. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Spoglądając na proponowane odpowiedzi widzimy, że prawdziwą nierównością jest jedynie \(a_{7}\lt0\), ponieważ \(a_{7}=-192\).

II sposób - metodą dedukcji.
Powinniśmy dostrzec, wartość \(a_{2}\) jest dodatnia, a wartość \(a_{5}\) jest ujemna, co prowadzi nas do wniosku, że ten ciąg musi być niemonotoniczny. To oznacza, że wyrazy w tym ciągu muszą być naprzemiennie dodatnie i ujemne:
\(a_{2}\) jest dodatnie
\(a_{3}\) jest ujemne
\(a_{4}\) jest dodatnie
\(a_{5}\) jest ujemne
\(a_{6}\) jest dodatnie
\(a_{7}\) jest ujemne
\(a_{8}\) jest dodatnie

Teraz analizując podane odpowiedzi możemy stwierdzić, że prawdą na temat tego ciągu jest to, że \(a_{7}\lt0\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:


Kluczem do sukcesu jest pamiętanie o tym, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest jednocześnie średnicą okręgu, który jest opisany na tym trójkącie. To oznacza, że środek okręgu będzie jednocześnie środkiem odcinka \(AB\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnych środka okręgu.
Środek okręgu będzie środkiem odcinka \(AB\), zatem korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{80+(-6)}{2};\frac{-1+(-19)}{2}\right)$$ $$S=\left(\frac{74}{2};\frac{-20}{2}\right)$$ $$S=(37;-10)$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek odpowiednie długości boków, otrzymamy następującą sytuację:


Widzimy, że powstał nam kluczowy trójkąt prostokątny i to właśnie z jego pomocą obliczymy poszukiwany tangens kąta ostrego \(ABC\).

Krok 2. Obliczenie tangensa kąta \(ABC\).
Tangens opisuje zależność między dwoma przyprostokątnymi, zatem:
$$tg\alpha=\frac{4}{3}$$

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy bez problemu obliczyć długość przekątnej \(AC\):
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(0-1)^2+(5-(-2))^2}$$ $$|AC|=\sqrt{(-1)^2+7^2}$$ $$|AC|=\sqrt{1+49}$$ $$|AC|=\sqrt{50}$$ $$|AC|=\sqrt{25\cdot2}$$ $$|AC|=5\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$a\sqrt{2}=5\sqrt{2}$$ $$a=5$$

Krok 3. Obliczenie obwodu kwadratu.
Znając długość boku kwadratu, obliczenie jego obwodu jest już tylko formalnością:
$$Obw=4a$$ $$Obw=4\cdot5$$ $$Obw=20$$

W tym zadaniu musimy skorzystać z tak zwanego "wzoru na pole trójkąta z sinusem", czyli:
$$P=\frac{1}{2}\cdot sin\alpha\cdot a\cdot b$$

Skoro jest to trójkąt równoramienny, to \(a=b\). Kąt między tymi ramionami ma miarę \(45°\), a pole trójkąta jest równe \(25\sqrt{2}\), zatem:
$$25\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot sin45°\cdot a\cdot a$$ $$25\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a^2$$ $$25\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot a^2$$ $$100\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot a^2$$ $$a^2=100$$ $$a=10 \quad\lor\quad a=-10$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=10\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie ten trójkąt, tak aby zgadzały nam się wszystkie oznaczenia przyprostokątnych. Pewną trudnością może być poprawne podpisanie wierzchołków. Aby boki \(BC\) oraz \(AC\) były przyprostokątnymi, to nazewnictwo wierzchołków musi być takie, by wierzchołek \(C\) był tam, gdzie jest kąt prosty:


Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(\beta\).
Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tg\beta=\frac{91}{250}$$ $$tg\beta\approx0,364$$

Krok 3. Odczytanie miary kąta \(\beta\).
Spoglądamy teraz do tablic trygonometrycznych i w kolumnie z tangensem szukamy wartości jak najbliższej tej, którą przed chwilą otrzymaliśmy. Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że tangens przyjmuje przybliżoną wartość \(0,364\) dla kąta o mierze \(20°\), zatem \(19°\lt\beta\lt21°\).

Sporą pułapką w tym zadaniu jest fakt, że kąty dla tangensów odczytujemy z kolumny \(\alpha\), mimo iż nasz kąt jako taki nazywa się \(\beta\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że mamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie długości promienia podstawy.
Pole powierzchni bocznej możemy wyliczyć ze wzoru \(P_{b}=\pi rl\). Pole podstawy wyliczamy ze wzoru \(P=\pi r^2\). Wiemy, że pole powierzchni bocznej jest o \(2\pi\) większe od pola podstawy, zatem:
$$P_{b}=P_{p}+2\pi$$ $$\pi rl=\pi r^2+2\pi \quad\bigg/:\pi$$ $$rl=r^2+2$$

Wiemy, że \(l=r+2\), zatem:
$$r\cdot(r+2)=r^2+2$$ $$r^2+2r=r^2+2$$ $$2r=2$$ $$r=1$$

Jeżeli wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, to możemy zapisać, że \(H=2a\). Podstawiając te dane do wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$ $$144=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a\cdot2a$$ $$144=\frac{2}{3}\cdot a^3 \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2}$$ $$a^3=216$$ $$a=6$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątna podstawy, wysokość graniastosłupa oraz przekątna bryły tworzą taki oto trójkąt prostokątny:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku długości \(2\). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) będzie miał przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$d=2\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spoglądamy na zaznaczony na rysunku trójkąt prostokątny. Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{2\sqrt{2}}$$ $$\sqrt{3}=\frac{H}{2\sqrt{2}}$$ $$H=\sqrt{3}\cdot2\sqrt{2}$$ $$H=2\sqrt{6}$$

Cyfrą tysięcy może być \(5,6,7,8\) lub \(9\), zatem mamy pięć możliwości.
Cyfrą setek może być \(5,6,7,8\) lub \(9\), zatem mamy pięć możliwości.
Cyfrą dziesiątek może być \(1,2,3,4,5\) lub \(0\), zatem mamy sześć możliwości.
Cyfrą jedności może być \(1,2,3,4,5\) lub \(0\), zatem mamy sześć możliwości.

To oznacza, że wszystkich interesujących nas liczb czterocyfrowych będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$5\cdot5\cdot6\cdot6$$

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na wariancję:
$$σ^2=\frac{{x_{1}}^2+{x_{2}}^2+...+{x_{n}}^2}{n}-(\bar{a})^2$$

Występujące we wzorze \(\bar{a}\) to średnia arytmetyczna, którą musimy teraz policzyć:
$$\bar{a}=\frac{1+3+5+3}{4}$$ $$\bar{a}=\frac{12}{4}$$ $$\bar{a}=3$$

Krok 2. Obliczenie wariancji.
Podstawiając dane do wzoru na wariancję, otrzymamy:
$$σ^2=\frac{1^2+3^2+5^2+3^2}{4}-3^2$$ $$σ^2=\frac{1+9+25+9}{4}-9$$ $$σ^2=\frac{44}{4}-9$$ $$σ^2=11-9$$ $$σ^2=2$$

Wariancja to jest właśnie \(σ^2\) (nie musimy więc wyciągać pierwiastka), zatem wariancja jest równa \(2\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Mamy \(9\) kul i losujemy tylko jedną z nich, zatem wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=9\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowana kula nie jest zielona lub biała. Mówiąc wprost - zdarzeniem sprzyjającym jest po prostu wylosowanie kuli czerwonej. Kul czerwonych mamy \(4\), więc \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{9}$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wielomian jest podany w bardzo wygodnej postaci iloczynowej, zatem aby poznać jego miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartości z nawiasów do zera:
$$2x+5=0 \quad\lor\quad 3x-1=0$$ $$2x=-5 \quad\lor\quad 3x=1$$ $$x=-2\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=\frac{1}{3}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Standardowo zaznaczamy na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\). Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo przed nawiasami nie mamy żadnego minusa, a i same niewiadome \(x\) są dodatnie:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesują nas wartości większe lub równe zero, zatem \(x\in(-\infty;-2\frac{1}{2}\rangle\cup\langle\frac{1}{3};+\infty)\).

Dane są liczby \(a=3log_{2}12-log_{2}27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Obliczmy każdą z liczb po kolei, zaczynając od liczby \(a\). Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść trójkę znajdującą się z przodu w miejsce wykładnika potęgi logarytmowanej. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$a=3log_{2}12-log_{2}27=log_{2}12^3-log_{2}27=$$ $$=log_{2}1728-log_{2}27=log_{2}\left(\frac{1728}{27}\right)=log_{2}64=6$$

Jeżeli nie widzimy tego, że \(log_{2}64=6\) to zawsze możemy skorzystać z definicji logarytmów i ułożyć odpowiednie równanie:
$$log_{2}64=x \quad\Leftrightarrow\quad 2^x=64$$

Aby rozwiązać równanie \(2^x=64\) musimy sprowadzić obydwie strony równania do jednakowej podstawy potęgi, a następnie będziemy mogli porównać wykładniki. Wiedząc, że \(64\) to \(2^6\), otrzymamy:
$$2^x=64$$ $$2^x=2^6$$ $$x=6$$

Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
Wymnażając przez siebie liczby w nawiasach, otrzymamy:
$$b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})=$$ $$=3\cdot6+3\sqrt{42}-3\sqrt{42}-3\cdot7=18-21=-3$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(a-b\).
Znając wartości liczb \(a\) oraz \(b\), zostało nam już tylko dopełnienie formalności i obliczenie wartości podanego wyrażenia:
$$a-b=6-(-3)=6+3=9$$

Krok 1. Rozpisanie podanej nierówności.
Pierwszą rzeczą, która nasuwa się przy nierówności \(ab+16\gt4a+4b\), jest przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę. Tak też właśnie zróbmy, dzięki czemu otrzymamy:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$

Powinniśmy teraz zauważyć, że wartość po lewej stronie nierówności da się rozpisać, wyłączając wspólne czynniki przed nawias:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$ $$a(b-4)-4(b-4)\gt0$$ $$(a-4)(b-4)\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt4\), czyli \(a-4\lt0\). Analogicznie \(b\lt4\), czyli \(b-4\lt0\). Skoro tak, to iloczyn \((a-4)(b-4)\) musi być dodatni, bowiem pomnożenie liczby ujemnej przez ujemną daje wynik większy od zera. To oznacza, że nierówność \((a-4)(b-4)\gt0\) jest jak najbardziej poprawna, co też należało udowodnić.

Krok 1. Dostrzeżenie kluczowych własności trójkątów \(ABC\) oraz \(ASD\).
Aby poradzić sobie z tym zadaniem, musimy dostrzec kilka ważnych informacji, które wynikają z własności trójkątów i okręgów. Pierwszą ważną obserwacją jest to, iż trójkąt \(ABC\) jest na pewno trójkątem prostokątnym (wynika to wprost z własności okręgów opartych na trójkącie, gdyż przeciwprostokątna \(AB\) jest jednocześnie średnicą okręgu). Drugą obserwacją jest to, iż trójkąt \(ASD\) jest równoramienny, gdyż odcinki \(AS\) oraz \(SD\) są jednakowej długości, która jest równa promieniu okręgu.

Jakby tego było mało, to powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(ABC\) jest trójkątem podobnym do trójkąta prostokątnego, który ma podstawę opisaną jako \(SB\). Skąd wiemy, że te trójkąty są podobne? Mają one jednakowy kąt przy wierzchołku \(B\), a także obydwa mają kąt o mierze \(90°\), stąd też na pewno będą to trójkąty podobne.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek pomocniczy uzyskane przed chwilą informacje, otrzymamy taką sytuację:


Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ASD\).
Kąty \(ASD\) oraz \(DSB\) to kąty przyległe, zatem suma ich miar będzie równa \(180°\). Skoro tak, to miara kąta \(ASD\) będzie równa:
$$|\sphericalangle ASD|=180°-(90°-\alpha)=180°-90°+\alpha=90°+\alpha$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(DAS\).
Trójkąt \(ASD\) jest równoramienny, a obliczony przed chwilą kąt \(ASD=90°+\alpha\) jest kątem między ramionami. Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro tak, to kąt \(DAS\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle DAS|=\frac{180°-(90°+\alpha)}{2}=\frac{180°-90°-\alpha}{2}=\frac{90°-\alpha}{2}$$

Miara kąta \(DAS\) jest równa połowie miary kąta \(CAB\), a to oznacza, że faktycznie odcinek \(AD\) jest symetralną kąta, co należało udowodnić.

Krok 1. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając do tego równania dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(4x+2)^2=(x+2)\cdot(x+11)$$ $$16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22$$ $$16x^2+16x+4=x^2+13x+22$$ $$15x^2+3x-18=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=15,\;b=3,\;c=-18\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot15\cdot(-18)=9-(-1080)=1089$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{1089}=33$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-33}{2\cdot15}=\frac{-36}{30}=-1,2$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+33}{2\cdot15}=\frac{30}{30}=1$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Dobrą praktyką jest sprawdzenie jakie ciągi powstaną nam dla każdego z otrzymanych wyników. Mogłoby się zdarzyć, że jakiś wynik trzeba będzie odrzucić (choć tutaj prawdę mówiąc nic tego nie zapowiada, bo nie mamy informacji o tym, że ciąg jest np. rosnący). Nie mniej jednak sprawdźmy, jak wyglądają nasze ciągi:

Gdy \(x=-1,2\), to:
$$a_{1}=x+2=-1,2+2=0,8$$ $$a_{2}=4x+2=4\cdot(-1,2)+2=-4,8+2=-2,8$$ $$a_{3}=x+11=-1,2+11=9,8$$

Choć na pierwszy rzut oka tego nie widać, to ten ciąg jest jak najbardziej geometryczny, a jego iloczyn jest równy \(q=-3,5\). Możemy to bardzo łatwo sprawdzić na kalkulatorze, dzieląc wartość drugiego wyrazu przez wartość pierwszego wyrazu lub wartość trzeciego wyrazu przez wartość wyrazu drugiego.

Gdy \(x=1\), to:
$$a_{1}=x+2=1+2=3$$ $$a_{2}=4x+2=4\cdot1+2=4+2=6$$ $$a_{3}=x+11=1+11=12$$

Tu sytuacja jest oczywista, widzimy że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=2\).

To oznacza, że dany ciąg jest geometryczny zarówno dla \(x=-1,2\) jak i dla \(x=1\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująca:


Kluczem do sukcesu jest pamiętanie o tym, że w tej konkretnej sytuacji (gdy jedno ramię kąta pokrywa się z osią \(OX\), a wierzchołek jest w punkcie będącym początkiem układu współrzędnych), możemy skorzystać ze wzorów na sinusa, cosinusa oraz tangensa w układzie współrzędnych (które znajdują się w tablicach). Nas interesuje cosinus, zatem interesuje nas wzór \(cos=\frac{x}{r}\), gdzie \(x\) jest współrzędną \(x\) dowolnego punktu na górnym ramieniu kąta, a \(r\) to odległość od wierzchołka do tego punktu (patrz rysunek).

Możemy więc wywnioskować, że skoro \(cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\), to \(x=\sqrt{3}\) oraz \(r=3\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(y\) punktu \(P\).
Aby obliczyć współczynnik kierunkowy prostej \(k\), musimy jeszcze poznać współrzędną \(y\) punktu \(P\). W tym celu możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:


$$(\sqrt{3})^2+y^2=3^2$$ $$3+y^2=9$$ $$y^2=6$$ $$y=\sqrt{6}$$

To oznacza, że \(P=(\sqrt{3};\sqrt{6})\).

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Do wyznaczenia współczynnika kierunkowego \(a\) potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów, które należą do danej prostej. U nas takimi punktami będą wierzchołek znajdujący się w punkcie \(A=(0;0)\) oraz obliczony punkt \(P=(\sqrt{3};\sqrt{6})\). W związku z tym:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$ $$a=\frac{\sqrt{6}-0}{\sqrt{3}-0}$$ $$a=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$$ $$a=\sqrt{2}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych poszczególne punkty z treści zadania:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Znając współrzędne dwóch punktów możemy bez problemu wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. W tym celu możemy skorzystać z długiego i skomplikowanego wzoru z tablic lub też z metody układu równań - i to właśnie z tego drugiego sposobu skorzystamy.

W tym celu musimy podstawić do równania prostej \(y=ax+b\) najpierw współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(C\), zatem:
\begin{cases} -1=a\cdot1+b \\ 5=a\cdot7+b \end{cases}
\begin{cases} -1=a+b \\ 5=7a+b \end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-6a$$ $$a=1$$

Wartość brakującego współczynnika \(b\) wyznaczymy podstawiając \(a=1\) do wybranego równania z układu równań (np. z pierwszego), zatem:
$$-1=a+b$$ $$-1=1+b$$ $$b=-2$$

To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=1x-2\), czyli po prostu \(y=x-2\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Równanie prostej \(BD\) wyznaczymy identycznie jak prostej \(AC\), zatem:
\begin{cases} 1=a\cdot6+b \\ 4=a\cdot2+b \end{cases}
\begin{cases} 1=6a+b \\ 4=2a+b \end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-3=4a$$ $$a=-\frac{3}{4}$$

Brakujący współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając teraz \(a=-\frac{3}{4}\) do wybranego równania z układu równań (np. do pierwszego), zatem:
$$1=6a+b$$ $$1=6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b$$ $$1=-\frac{18}{4}+b$$ $$1=-4\frac{1}{2}+b$$ $$b=5\frac{1}{2}$$

To oznacza, że prosta \(BD\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych przecięcia się przekątnych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych jest miejsce ich przecięcia się, czyli dokładnie to, co nas interesuje. W związku z tym:
\begin{cases} y=x-2 \\ y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2} \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy
$$x-2=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}$$ $$\frac{7}{4}x=7\frac{1}{2}$$ $$\frac{7}{4}x=\frac{15}{2} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{7}$$ $$x=\frac{60}{14}=4\frac{4}{14}=4\frac{2}{7}$$

Znając współrzędną \(x=4\frac{2}{7}\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współrzędnej \(y\). Podstawiając obliczony \(x\) np. do pierwszego równania, otrzymamy:
$$y=x-2$$ $$y=4\frac{2}{7}-2$$ $$y=2\frac{2}{7}$$

To oznacza, że przekątne przecinają się w punkcie \(S=\left(4\frac{2}{7};2\frac{2}{7}\right)\).

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Rzucamy cztery razy monetą, a w każdym rzucie możemy uzyskać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich możliwości rzutu będziemy mieć \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której mamy wynik inny niż dwa orły oraz dwie reszki. Wypisanie wszystkich tych przypadków może być nieco problematyczne, za to znacznie łatwiej powinno pójść wypisanie zdarzeń, które NIE są sprzyjające. Będą to:
$$(RROO); (RORO); (ROOR);$$ $$(ORRO); (OROR); (OORR)$$

Zdarzeń niesprzyjających mamy \(6\), zatem zdarzeń sprzyjających będziemy mieć \(|A|=16-6=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy znany nam kąt o mierze \(60°\) oraz kąt, którego cosinus musimy policzyć:


Z własności sześciokątów wiemy, że przekątne dzielą nam taki sześciokąt na sześć jednakowych trójkątów równobocznych, a każdy z nich ma bok o długości \(a=8\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(x\).
Na naszym rysunku odcinek \(x\) jest wysokością trójkąta równobocznego, której potrzebujemy do dalszych obliczeń. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkątów równobocznych możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$ $$h=\frac{8\sqrt{3}}{2}$$ $$h=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na niebieski trójkąt prostokątny. Znamy długość dolnej przyprostokątnej oraz kąt przy niej leżący. Korzystając z tangensa możemy zatem zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{4\sqrt{3}}$$ $$\sqrt{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}}$$ $$H=\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}$$ $$H=4\cdot3$$ $$H=12$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa.
Tym razem spoglądamy na zielony trójkąt prostokątny. Znamy długości dwóch przyprostokątnych tego trójkąta, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$8^2+12^2=c^2$$ $$64+144=c^2$$ $$c^2=208$$ $$c=\sqrt{208} \quad\lor\quad c=-\sqrt{208}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(c=\sqrt{208}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(c=\sqrt{16\cdot13}=4\sqrt{13}\).

Krok 5. Obliczenie cosinusa kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.
Ponownie spoglądamy na nasz zielony trójkąt, bowiem to tu musimy wyznaczyć poszukiwany cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{8}{4\sqrt{13}}$$ $$cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}}$$ $$cos\alpha=\frac{2\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}$$ $$cos\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$