📄 Treść zadania
Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) oraz \(a_{2}=6\) i \(a_{5}=-48\). Wynika stąd, że:
A
\(a_{7}\gt0\)
B
\(a_{7}\lt0\)
C
\(a_{7}\gt a_{6}\)
D
\(a_{7}\gt a_{8}\)
I sposób - obliczając wartość iloczynu ciągu geometrycznego.
Krok 1. Obliczenie wartości iloczynu \(q\).
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że \(a_{5}=a_{2}\cdot q^3\). Znamy wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{5}\), więc możemy bez problemu obliczyć wartość \(q\):
$$a_{5}=a_{2}\cdot q^3 \ ,\
-48=6\cdot q^3 \ ,\
q^3=-8 \ ,\
q=-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\).
Patrząc się na odpowiedzi, potrzebujemy poznać wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\), zatem:
$$a_{6}=a_{2}\cdot q^4 \ ,\
a_{6}=6\cdot(-2)^4 \ ,\
a_{6}=6\cdot16 \ ,\
a_{6}=96$$
$$a_{7}=a_{2}\cdot q^5 \ ,\
a_{7}=6\cdot(-2)^5 \ ,\
a_{7}=6\cdot(-32) \ ,\
a_{7}=-192$$
$$a_{8}=a_{2}\cdot q^6 \ ,\
a_{8}=6\cdot2^6 \ ,\
a_{8}=6\cdot64 \ ,\
a_{8}=384$$
Krok 3. Weryfikacja poprawności odpowiedzi.
Spoglądając na proponowane odpowiedzi widzimy, że prawdziwą nierównością jest jedynie \(a_{7}\lt0\), ponieważ \(a_{7}=-192\).
II sposób - metodą dedukcji.
Powinniśmy dostrzec, wartość \(a_{2}\) jest dodatnia, a wartość \(a_{5}\) jest ujemna, co prowadzi nas do wniosku, że ten ciąg musi być niemonotoniczny. To oznacza, że wyrazy w tym ciągu muszą być naprzemiennie dodatnie i ujemne:
\(a_{2}\) jest dodatnie
\(a_{3}\) jest ujemne
\(a_{4}\) jest dodatnie
\(a_{5}\) jest ujemne
\(a_{6}\) jest dodatnie
\(a_{7}\) jest ujemne
\(a_{8}\) jest dodatnie
Teraz analizując podane odpowiedzi możemy stwierdzić, że prawdą na temat tego ciągu jest to, że \(a_{7}\lt0\).