Do zadania można podejść na różne sposoby (można nawet zamienić pierwiastki na potęgi i wykonać działania na potęgach). Nie mniej jednak można to obliczyć znacznie szybciej - wystarczy zauważyć, że \(\sqrt[3]{64}\) to po prostu \(4\), natomiast \(\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\). Skoro tak, to:
$$\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}=8\sqrt{2}:4=2\sqrt{2}$$

Warto pamiętać, że każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi zerowej, daje wynik równy \(1\). Do samego rozwiązania można podejść na różne sposoby. Mając w liczniku i mianowniku tylko mnożenie, możemy wręcz poskracać ze sobą pewne liczby. W tym celu trzeba byłoby rozpisać, że \(2^{-3}=2^{-1}\cdot2^{-2}\) oraz że \(3^{-4}=3^{-3}\cdot3^{-1}\). Całość wyglądałaby następująco:
$$\require{cancel}\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}=$$ $$=\frac{\cancel{2^{-1}}\cdot2^{-2}\cdot\cancel{3^{-3}}\cdot1}{\cancel{2^{-1}}\cancel{\cdot3^{-3}}\cdot3^{-1}\cdot4^{-1}}=$$ $$=\frac{2^{-2}}{3^{-1}\cdot4^{-1}}=\frac{2^{-2}}{12^{-1}}=$$ $$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{12}}=\frac{1}{4}:\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\cdot12=3$$

Przy tak małych liczbach, nic też nie stoi na przeszkodzie by wręcz obliczyć wartości poszczególnych potęg:
$$\frac{2^{-3}\cdot3^{-3}\cdot4^0}{2^{-1}\cdot3^{-4}\cdot4^{-1}}=$$ $$=\frac{\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{27}\cdot1}{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{81}\cdot\frac{1}{4}}=$$ $$=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{1}{648}}=\frac{1}{216}:\frac{1}{648}=\frac{1}{216}\cdot648=3$$

Dla przypomnienia - jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy (a tak jest w naszym przypadku), to domyślnie podstawa logarytmu wynosi \(10\). Czyli przykładowo \(log3=log_{10}2\).

I sposób - zaczynając od obliczenia sumy logarytmów.
Do zadania możemy podejść na różne sposoby. Przykładowo, korzystając z działań na potęgach możemy obliczyć sumę logarytmów podanych w treści zadania:
$$log3+log2=log(3\cdot2)=log6$$

Liczba dwukrotnie większa od \(log6\) to \(2\cdot log6\). Przenosząc teraz dwójkę stojącą przed logarytmem do wykładnika potęgi liczby logarytmowanej, wyjdzie nam, że:
$$2log6=log6^2=log36$$

II sposób - zaczynając od wymnożenia logarytmów przez \(2\).
Możemy też zapisać, że liczba dwukrotnie większa od \(log3+log2\) to:
$$2\cdot(log3+log2)=2log3+2log2$$

Teraz, korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$log3^2+log2^2=log9+log4$$

Aby dodać do siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie, wystarczy wymnożyć liczby logarytmowane, stąd też:
$$log9+log4=log(9\cdot4)=log36$$

\(30\%\) liczby \(x\) to \(0,3x\). Z treści zadania wynika więc, że \(0,3x\) jest o \(2730\) mniejsze od \(x\), czyli:
$$0,3x=x-2730$$ $$-0,7x=-2730$$ $$x=3900$$

Celem zadania jest poprawne uproszczenie podanego wyrażenia. Zwróć uwagę, że mnożąc nawiasy możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$5-(4+2a)(4-2a)=5-(4^2-(2a)^2)=$$ $$=5-(16-4a^2)=5-16+4a^2=$$ $$=4a^2-11$$

Podana w treści zadania nierówność jest nierównością czwartego stopnia i to taką, której raczej nie umiemy samodzielnie rozwiązać. Zadanie polega tak naprawdę na podstawieniu po kolei każdej odpowiedzi do wyrażenia \(x^4-3x^3+3\) i sprawdzeniu, kiedy otrzymamy wynik większy od zera. Sprawdźmy zatem po kolei każdą z możliwości:

Dla \(x=1\):
\(x^4-3x^3+3=1^4-3\cdot1^3+3=1-3+3=1\)

Dla \(x=-1\):
\(x^4-3x^3+3=(-1)^4-3\cdot(-1)^3+3=1-(-3)+3=1+3+3=7\)

Dla \(x=2\):
\(x^4-3x^3+3=2^4-3\cdot2^3+3=16-24+3=-5\)

Dla \(x=-2\):
\(x^4-3x^3+3=(-2)^4-3\cdot(-2)^3+3=16-(-8)+3=16+24+3=43\)

Wynik mniejszy od zera otrzymaliśmy jedynie dla \(x=2\), stąd też to właśnie będzie jedna z liczb, która spełnia naszą nierówność.

Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej na pewno przechodzi przez wierzchołek i jest równoległa do osi \(OY\). Trzeba byłoby więc poznać pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli (zwyczajowo zapisywaną jako \(p\)). W tym celu możemy skorzystać ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Podstawiając współczynniki \(a=2\) oraz \(b=5\), otrzymamy:
$$p=\frac{-5}{2\cdot2}$$ $$p=-\frac{5}{4}$$

Tak na marginesie - współrzędną \(p\) można było też próbować odczytać z rysunku. Widzimy, że współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli przyjmuje wartość około \(p\approx-1\), a patrząc się na proponowane odpowiedzi jesteśmy w stanie wywnioskować, że \(p=-\frac{5}{4}\).

To z kolei prowadzi nas do wniosku, że poszukiwaną osią symetrii będzie prosta o równaniu \(x=-\frac{5}{4}\).

Z działu przesunięć i przekształceń wiemy, że gdy \(g(x)=f(-x)\) to funkcje są symetryczne względem osi \(Oy\) i właśnie z taką sytuacją mamy tutaj do czynienia. Co prawda nie widać tego minusa przy \(x^2\) (bo \((-x)^2\) to ciągle \(x^2\)), no ale ten minus jest już widoczny przy wyrazie \(-5x\) i to właśnie on naprowadza nas na trop prawidłowej odpowiedzi.

Nie mniej jednak samo zadanie jest dość nietypowe, więc pewnie najbezpieczniej byłoby naszkicować wykres funkcji \(g(x)\) i sprawdzić z jakim przesunięciem lub przekształceniem mamy tutaj do czynienia. Idąc tym tokiem rozwiązywania zadania, całość wyglądałaby następująco:


Widzimy wyraźnie, że wykres funkcji \(g(x)\) jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem osi \(Oy\).

Aby wyrażenie \((x^2-27)(x^2+16)\) było równe \(0\), to albo pierwszy nawias musi być równy \(0\), albo drugi. Postępujemy więc tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x^2-27=0 \quad\lor\quad x^2+16=0$$ $$x^2=27 \quad\lor\quad x^2=-16$$

Z równania \(x^2=27\) otrzymamy dwa rozwiązania:
$$x=\sqrt{27} \quad\lor\quad x=-\sqrt{27}$$

Z równania \(x^2=-16\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny.

Z tego też względu całe równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste.

Celem zadania jest obliczenie wartości \(f(2)\) oraz \(f(-2)\), a następnie obliczenie różnicy między otrzymanymi wartościami. W związku z tym:
$$f(2)=\frac{4}{2}-4$$ $$f(2)=2-4$$ $$f(2)=-2$$

$$f(-2)=\frac{4}{-2}-4$$ $$f(-2)=-2-4$$ $$f(-2)=-6$$

To oznacza, że różnica \(f(2)-f(-2)\) będzie równa:
$$f(2)-f(-2)=-2-(-6)=-2+6=4$$

Aby wyznaczyć brakujący współczynnik \(b\), wystarczy skorzystać z informacji o tym, że punkt \(M=(3,-2)\) należy do wykresu funkcji. Podstawiając współrzędne tego punktu do podanego wzoru, otrzymamy:
$$-2=5\cdot3+b-4$$ $$-2=15+b-4$$ $$-2=11+b$$ $$b=-13$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja kwadratowa zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Z takiej postaci możemy wprost odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), czyli: \(p=1\) oraz \(q=3\).

Krok 2. Wyznaczenie przedziału w którym funkcja jest rosnąca.
Współczynnik \(a\) tej funkcji jest ujemny, więc ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Sytuacja z treści zadania wygląda więc następująco:


Funkcja kwadratowa zawsze jest rosnąca od wierzchołka lub do wierzchołka (w zależności od ułożenia ramion paraboli). Z rysunku jasno wynika, że w takim razie funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\infty,1\rangle\).

Zapis \(f(x)=-1\) oznacza, że szukamy argumentów \(x\) dla których funkcja przyjmuje wartość \(-1\). Zerkamy więc na wykres funkcji (biorąc pod uwagę wskazany przedział) i szukamy miejsc, w których funkcja przyjmuje wartość \(-1\). Widzimy, że takie miejsca są dwa: pierwsze jest dla \(x\approx-3,5\), a drugie dla \(x=4,5\). Równanie \(f(x)=-1\) ma więc dwa rozwiązania.

Aby wyznaczyć wartość piątego wyrazu ciągu, wystarczy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=\frac{5-2}{2\cdot5^2}$$ $$a_{5}=\frac{3}{2\cdot25}$$ $$a_{5}=\frac{3}{50}$$

Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że:
$$a_{8}=a_{4}+4r$$

Wartość \(a_{8}=48\) podana jest w treści zadania, podobnie jak różnica \(r=2\), zatem:
$$48=a_{4}+4\cdot2$$ $$48=a_{4}+8$$ $$a_{4}=40$$

Ze wzorów redukcyjnych zapisanych w tablicach wiemy, że \(cos(90°-\alpha)=sin\alpha\). To prowadzi nas do wniosku, że wyrażenie z treści zadania, czyli \(cos^2(90°-\alpha)\) to po prostu \(sin^2\alpha\).

Skoro wartość \(sin\alpha=\frac{2}{3}\), to \(sin^2\alpha=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(AOC\).
Kąt \(AOC\) jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt \(ABC\). Skoro tak, to jego miara będzie dwa razy większa od kąta \(ABC\), czyli:
$$|\sphericalangle AOC|=2\cdot65°=130°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(ACO\).
Spójrzmy na trójkąt \(AOC\). Jest to trójkąt równoramienny (ramiona o długości promienia okręgu), zatem kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro kąt między ramionami ma miarę \(130°\), to na dwa pozostałe kąty w tym trójkącie zostaje nam \(180°-130°=50°\). To oznacza, że nasz poszukiwany kąt \(ACO\) ma miarę:
$$|\sphericalangle ACO|=50°:2=25°$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiemy, że trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, więc jeśli jeden z kątów ostrych (np. przy wierzchołku \(B\)) oznaczymy jako \(\alpha\), to drugi kąt ostry (przy wierzchołku \(C\)) będzie miał miarę \(\beta\), która będzie tak naprawdę równa \(90°-\alpha\). Po dorysowaniu wysokości \(AD\) powstanie nam m.in. trójkąt \(ABD\) w którym znane będą dwa kąty - kąt prosty oraz \(\alpha\), więc sytuacja będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy dostrzec, że powstały nam na rysunku trójkąty podobne \(ABD\) oraz \(ADC\). Musimy tylko dobrze ustalić odpowiadające sobie boki, tak aby za chwilę zapisać poprawną proporcję. Rozdzielając te trójkąty, wyglądałoby to w następujący sposób:


Teraz patrząc się na pary boków odpowiadających i korzystając z własności trójkątów, możemy stwierdzić, że \(\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\).

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Romb ma cztery boki o jednakowej długości, zatem skoro jego obwód jest równy \(20\), to:
$$a=20:4$$ $$a=5$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(sin120°\).
W zadaniu będziemy chcieli skorzystać ze wzoru:
$$P=a^2\cdot sin\alpha$$

Po podstawieniu znanych danych wyjdzie nam, że:
$$P=5^2\cdot sin120°$$

Musimy więc ustalić jaką wartość przyjmuje \(sin120°\), a tej niestety nie ma w tablicach trygonometrycznych. Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Wynika z nich, że:
$$sin(90°+α)=cosα$$

Jeśli podstawimy \(α=30°\), to otrzymamy:
$$sin(90°+30°)=cos30°$$ $$sin120°=cos30°$$

Wyszło nam więc, że \(sin120°\) jest równy tyle samo co \(cos30°\). Z tablic odczytujemy, że \(cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), zatem \(sin120°=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Krok 3. Obliczenie pola rombu.
Wracając do obliczenia pola powierzchni rombu, możemy zapisać, że:
$$P=5^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$P=25\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$$

Krok 1. Obliczenie miary \(\alpha\).
Suma wszystkich kątów w trójkącie wynosi \(180°\), zatem:
$$\alpha+4\alpha+\alpha+30°=180°$$ $$6\alpha=150°$$ $$\alpha=25°$$

Krok 2. Obliczenie miar kątów w trójkącie.
Wiemy już, że \(\alpha=25°\) i zgodnie z oznaczeniami jest to pierwszy z kątów w tym trójkącie. Musimy jeszcze obliczyć miarę pozostałych kątów, zatem:
$$4\alpha=4\cdot25°=100°$$
$$\alpha+30°=25°+30°=55°$$

Szukamy miary największego kąta, zatem widzimy, że będzie ona równa \(100°\).

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(DCE\).
Kąt \(DCE\) będzie sumą kąta prostego \(DCB\) oraz kąta \(BCE\) o mierze \(60°\) (wiemy, że ten kąt ma miarę \(60°\), bo trójkąt \(BEC\) jest równoboczny). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle DCE|=90°+60°=150°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(DEC\).
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro więc kąt między ramionami ma \(150°\), to na kąty przy podstawie zostaje nam łącznie \(180°-150°=30°\). To oznacza, że kąt \(DEC\) ma miarę:
$$|\sphericalangle DCE|=30°:2°=15°$$

Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{5}{4}\) natomiast druga prosta ma \(a=\frac{4}{2m-1}\). To oznacza, że:
$$-\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{2m-1}=-1$$ $$-\frac{5}{2m-1}=-1$$ $$-5=-1\cdot(2m-1)$$ $$-5=-2m+1$$ $$-6=-2m$$ $$m=3$$

Aby wyznaczyć współrzędne miejsca przecięcia się dwóch prostych, wystarczy rozwiązać układ równań składający się z równań tych prostych. W związku z tym:
\begin{cases} y=-3x+\frac{1}{3} \\ y=\frac{1}{3}x-3 \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania możemy zapisać, że:
$$-3x+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x-3$$ $$-3\frac{1}{3}x=-3\frac{1}{3}$$ $$x=1$$

Znamy już pierwszą współrzędną, czyli \(x=1\). Aby wyznaczyć drugą, wystarczy do dowolnego z równań (np. pierwszego) podstawić wyznaczona przed chwilą wartość \(x=1\), zatem:
$$y=-3\cdot1+\frac{1}{3}$$ $$y=-3+\frac{1}{3}$$ $$y=-2\frac{2}{3}$$

To oznacza, że \(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\).

Krok 1. Wyznaczenie figury, która znajduje się w podstawie graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie mieć \(3n\) krawędzi. Skoro nasz graniastosłup ma \(42\) krawędzie, to:
$$3n=42$$ $$n=14$$

To oznacza, że w podstawie graniastosłupa jest czternastokąt.

Krok 2. Obliczenie liczby wszystkich wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w podstawie będzie mieć \(2n\) wierzchołków. Skoro \(n=14\), to liczba wierzchołków będzie równa:
$$2\cdot14=28$$

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. Każda ściana tej bryły będzie więc mieć pole powierzchni równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P=\frac{64\sqrt{3}}{4}$$ $$P=16\sqrt{3}$$

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma cztery ściany (podstawa plus trzy ściany boczne), zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=4\cdot16\sqrt{3}$$ $$P_{c}=64\sqrt{3}$$

Zastanówmy się, jakie cyfry muszą się pojawić w naszej liczbie, aby suma cyfr była równa \(3\). Mogą to być:
· trzy jedynki oraz zero
· dwójka, jedynka oraz dwa zera
· trójka oraz trzy zera

Wypiszmy zatem pasujące kombinacje:
· trzy jedynki oraz zero
$$1110; 1101; 1011$$

· dwójka, jedynka oraz dwa zera
$$1200; 1020; 1002$$ $$2100; 2010; 2001$$

· trójka oraz trzy zera
$$3000$$

Łącznie jest to \(10\) liczb.

Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba kul zielonych
\(3x\) - liczba kul czarnych
\(2\cdot3x=6x\) - liczba kul białych

To oznacza, że wszystkich kul mamy:
$$x+3x+6x=10x$$

Skoro kul białych jest \(6x\), a wszystkich kul mamy \(10x\), to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:
$$p=\frac{6x}{10x}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

Krok 1. Obliczenie liczby uczniów.
Z tabeli wynika, że wszystkich uczniów biorących udział w ankiecie, było:
$$9+5+3+4+1+3=25$$

Krok 2. Obliczenie mediany.
Liczba uczniów jest równa \(25\), czyli jest ona nieparzysta. To oznacza, że gdy uporządkujemy wyniki ankiety w porządku niemalejącym (od najmniejszej do największej) to medianą będzie środkowy wyraz, czyli w tym przypadku trzynasty.

Analizując tabelkę widzimy, że gdybyśmy po kolei wypisali wyniki ankiety, to trzynastym wynikiem byłoby \(1\), zatem mediana będzie równa \(1\).

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Zanim przystąpimy do wykonywania obliczeń musimy przenieść \(10x\) na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
$$-3x^2+8\ge10x$$ $$-3x^2-10x+8\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej zaczynamy od obliczenia miejsc zerowych, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-10,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot(-3)\cdot8=100-(-96)=196$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)-14}{2\cdot(-3)}=\frac{10-14}{-6}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)+14}{2\cdot(-3)}=\frac{10+14}{-6}=\frac{24}{-6}=-4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i mamy taką oto sytuację:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero, a więc rozwiązaniem nierówności będzie przedział:
$$x\in\langle-4;\frac{2}{3}\rangle$$

Przekształcając podaną nierówność, otrzymamy taką oto sytuację:
$$\frac{1}{25}x^2+2\cdot\frac{1}{5}x\cdot\frac{4}{5}y+\frac{16}{25}y^2\lt \frac{x^2+4y^2}{5} \quad\bigg/\cdot25$$ $$x^2+8xy+16y^2\lt5x^2+20y^2$$ $$-4x^2+8xy-4y^2\lt0$$ $$-4(x^2-2xy+y^2)\lt0 \quad\bigg/:(-4)$$ $$x^2-2xy+y^2\gt0$$ $$(x-y)^2\gt0$$

Z treści zadania wynika, że \(x\neq y\), a to oznacza, że różnica \(x-y\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też \((x-y)^2\) jest na pewno większe od zera, co należało udowodnić.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli funkcja kwadratowa ma tylko jedno miejsce zerowe równe \(2\), a w dodatku \(f(0)=8\), to wykres funkcji musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Z analizy rysunku wynika, że współrzędne wierzchołka paraboli to \(p=2\) oraz \(q=0\). Znając współrzędne wierzchołka, możemy przystąpić do wyznaczenia wzoru funkcji w postaci kanonicznej, zatem:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$ $$f(x)=a(x-2)^2+0$$ $$f(x)=a(x-2)^2$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) i zapisanie wzoru funkcji.
Do pełnego wzoru brakuje nam tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Aby poznać jego wartość, wystarczy do wyznaczonego wzoru \(f(x)=a(x-2)^2\) podstawić współrzędne jednego z punktów, który należy do wykresu - w naszym przypadku będzie to punkt o współrzędnych \((0;8)\), zatem:
$$8=a(0-2)^2$$ $$8=a\cdot(-2)^2$$ $$8=4a$$ $$a=2$$

To oznacza, że wzorem tej funkcji będzie \(f(x)=2\cdot(x-2)^2\) i taka też jest odpowiedź do tego zadania.

Tak na marginesie - nie jest to konieczne, ale możemy też zapisać sobie ten wzór w postaci ogólnej (treść zadania nie precyzuje tego w jakiej postaci ma być podany wzór). W tym celu należy wykonać potęgowanie nawiasu (pamiętając przy okazji o wzorach skróconego mnożenia). Wyglądałoby to w następujący sposób:
$$f(x)=2\cdot(x-2)^2$$ $$f(x)=2\cdot(x^2-4x+4)$$ $$f(x)=2x^2-8x+8$$

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następujące równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając do tej zależności dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x+2)^2=x\cdot(9x+16)$$ $$9x^2+12x+4=9x^2+16x$$ $$12x+4=16x$$ $$4=4x$$ $$x=1$$

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków. To oznacza, że brakującą długość \(AC\) obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2$$ $$a^2+24^2=26^2$$ $$a^2+576=676$$ $$a^2=100$$ $$a=10 \quad\lor\quad a=-10$$

Ujemną długość odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem \(|AC|=10\).

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(ABC\) jest podobny do trójkąta \(ACD\). Skąd to wiemy? Spójrzmy na trójkąt \(ABC\) - jeżeli kąt \(ABC\) oznaczymy jako \(\alpha\), to kąt \(CAB\) ma miarę \(90°-\alpha\). Skoro tak, to kąt \(DAC\) musi mieć miarę \(\alpha\), a tym samym kąt \(ACD\) ma miarę \(90°-\alpha\). W ten oto sposób wykazaliśmy, że obydwa trójkąty mają jednakowe miary, zatem są to trójkąty podobne (cecha kąt-kąt-kąt).


Krok 3. Obliczenie długości ramienia \(AD\).
W trójkątach podobnych stosunek długości boków sobie odpowiadających musi być jednakowy. Mówiąc obrazowo - jeżeli przeciwprostokątna trójkąta \(ABC\) jest \(2,6\) razy większa od przeciwprostokątnej \(ACD\) (bo \(26:10=2,6\)), to analogicznie długość dłuższej przyprostokątnej tego trójkąta jest \(2,6\) razy większa od naszego boku \(AD\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$|AD|=24:2,6$$ $$|AD|=\frac{240}{26}=\frac{120}{13}=9\frac{3}{13}$$

Do tego samego wyniku dojdziemy układając proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów:
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BC|}{|AD|}$$ $$\frac{26}{10}=\frac{24}{|AD|}$$

Mnożąc teraz na krzyż, otrzymamy:
$$26\cdot|AD|=10\cdot24$$ $$26|AD|=240$$ $$|AD|=\frac{240}{26}=\frac{120}{13}=9\frac{3}{13}$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zdarzeniami elementarnymi są liczby dwucyfrowe większe od \(53\), czyli \(54,55,...,99\). I tu mamy największą trudność tego zadania, czyli musimy ustalić ile jest tych liczb, bo wcale nie jest ich \(99-54=45\). Takich liczb jest dokładnie \(46\). Dobrze to widać na poniższej rozpisce:
\(54,55,56,57,58,59\) to \(6\) liczb
\(60-69\) to \(10\) liczb
\(70-79\) to \(10\) liczb
\(80-89\) to \(10\) liczb
\(90-99\) to \(10\) liczb

Łącznie jest to \(|Ω|=46\) liczb.

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są liczby dwucyfrowe, większe od \(53\), które są podzielne przez \(7\). Takimi liczbami są:
$$56,63,70,77,84,91,98$$

Łącznie jest to \(|A|=7\) liczb.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{46}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, bo boki \(AC\) oraz \(BC\) mają jednakową długość. Nanosząc dane z treści zadania otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(B\).
Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne punktu \(A=(1,-3)\) oraz środek odcinka \(AB\), czyli \(S=(5,-1)\). W związku z tym bez problemy możemy obliczyć współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$$ $$5=\frac{1+x_{B}}{2}$$ $$10=1+x_{B}$$ $$x_{B}=9$$ $$\quad$$ $$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$ $$-1=\frac{-3+y_{B}}{2}$$ $$-2=-3+y_{B}$$ $$y_{B}=1$$

To oznacza, że \(B=(9;1)\).

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Chcemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(AB\), aby za chwilę móc wyznaczyć równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(S\). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), więc możemy nawet wyznaczyć równanie prostej \(AB\) (korzystając albo z długiego wzoru z tablic, albo z metody układu równań). Skoro jednak nam potrzebny jest tylko współczynnik kierunkowy \(a\), to możemy posłużyć się sprytnym wzorem:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$

Podstawiając współrzędne punktów \(A=(1,-3)\) oraz \(B=(9;1)\), otrzymamy:
$$a=\frac{1-(-3)}{9-1}$$ $$a=\frac{4}{8}$$ $$a=\frac{1}{2}$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(SC\).
Z rysunku wynika, że chcąc wyznaczyć współrzędne punktu \(C\), musimy najpierw wyznaczyć prostą prostopadłą do prostej \(AB\), która przechodzi przez punkt \(S=(5,-1)\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W poprzednim kroku ustaliliśmy już, że prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), więc prosta prostopadła będzie mieć współczynnik \(a=-2\), bo \(\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\). To oznacza, że prostą prostopadłą możemy zapisać jako \(y=-2x+b\).

Do pełnego równania prostej prostopadłej brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Chcemy, by prosta prostopadła przechodziła przez punkt \(S=(5,-1)\), zatem podstawiając \(x=5\) oraz \(y=-1\) do równania \(y=-2x+b\), otrzymamy:
$$-1=-2\cdot5+b$$ $$-1=-10+b$$ $$b=9$$

To oznacza, że interesująca nas prosta prostopadła (pokrywająca się z wysokością trójkąta \(ABC\)) wyraża się równaniem \(y=-2x+9\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostych prostopadłych określonych równaniami \(y=x+10\) oraz \(y=-2x+9\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że współrzędne tego punktu wyznaczymy rozwiązując następujący układ równań:
\begin{cases} y=x+10 \\ y=-2x+9 \end{cases}

Korzystając z metody podstawiania wyjdzie nam, że:
$$x+10=-2x+9$$ $$3x=-1$$ $$x=-\frac{1}{3}$$

Pierwszą współrzędną punktu \(C\) już więc znamy. Współrzędną \(y\) obliczymy podstawiając \(x=-\frac{1}{3}\) do jednego z równań z układu, np. do pierwszego \(y=x+10\), czyli:
$$y=-\frac{1}{3}+10$$ $$y=9\frac{2}{3}$$

To oznacza, że \(C=\left(-\frac{1}{3};9\frac{2}{3}\right)\).