Korzystając z własności pierwiastków (iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu) oraz z definicji potęgi o wykładniku ujemnym, otrzymamy:
$$\sqrt{\frac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}=\sqrt{\frac{25}{8}\cdot2}+\frac{1}{2}= \\
=\sqrt{\frac{25}{4}}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 1. Obliczenie kapitału końcowego.
Korzystamy ze wzoru na procent składany, gdzie kapitał początkowy to \(10000\), oprocentowanie to \(0,06\), a liczba lat to \(2\):
$$K_k=10000\cdot(1+0,06)^2=10000\cdot(1,06)^2=10000\cdot1,1236=11236$$

Krok 2. Obliczenie wartości doliczonych odsetek.
Odejmujemy kapitał początkowy od kapitału końcowego:
$$11236-10000=1236$$

Krok 1. Zapisanie pierwiastków w postaci potęg.
$$\sqrt{5\sqrt{5}}=(5\cdot5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}$$

Krok 2. Wykonanie działań na potęgach.
$$(5^1\cdot5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=(5^{1+\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=(5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}}=5^{\frac{3}{4}}$$

Krok 1. Zastosowanie wzoru na różnicę logarytmów.
Korzystając z własności działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$\log_{8}4-\log_{8}32=\log_{8}\left(\frac{4}{32}\right)=\log_{8}\left(\frac{1}{8}\right)$$

Krok 2. Obliczenie wartości logarytmu.
Musimy jeszcze obliczyć wartość otrzymanego logarytmu. Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy potęgi, do której należy podnieść \(8\), aby otrzymać \(\frac{1}{8}\), a skoro \(8^{-1}=\frac{1}{8}\), to w takim razie \(\log_{8}(\frac{1}{8})=-1\)

Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Korzystając z działań na potęgach, możemy rozpisać naszą liczbę w następujący sposób:
$$4^{12}\cdot5^{24}=(2^2)^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego stwierdzenia.
Liczba \(10^{24}\) to jedynka i \(24\) zera. Możemy ją zapisać jako:
$$10^{24}=100\cdot10^{22}=20\cdot5\cdot10^{22}$$

Liczba ta jest wielokrotnością \(20\), więc jest przez nią podzielna. Zdanie jest więc prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego stwierdzenia.
Liczba \(10^{24}\) składa się z cyfry jedynki oraz \(24\) zer, co łącznie daje \(25\) cyfr. Zdanie jest więc prawdą.

Oczywiście możemy podstawić \(x=\sqrt{2}-5\) bezpośrednio do naszego wyrażenia (pamiętając oczywiście o tym by później poprawnie wykonać to potęgowanie), ale obliczenia staną się znacznie prostsze, gdy dostrzeżemy, że podane wyrażenie można zwinąć za pomocą wzoru na kwadrat sumy:
$$x^2+10x+25=(x+5)^2$$

I jeśli teraz podstawimy \(x=\sqrt{2}-5\) do uproszczonego wyrażenia, to otrzymamy:
$$(\sqrt{2}-5+5)^2=(\sqrt{2})^2=2$$

Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.
Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy następującą sytuację:
$$7n^2+21n=7n(n+3)$$

Krok 2. Analiza podzielności.
Aby liczba była podzielna przez \(14\), musi być podzielna przez \(7\) oraz przez \(2\). Z postaci \(7n(n+3)\) od razu widać, że liczba ta jest wielokrotnością \(7\), więc dzieli się przez \(7\). Musimy jeszcze wykazać, że wyrażenie \(n(n+3)\) jest parzyste (podzielne przez \(2\)).

Rozpatrzmy dwa przypadki dla liczby całkowitej \(n\):
· jeśli \(n\) jest liczbą parzystą, to iloczyn \(n(n+3)\) jest parzysty, ponieważ mnożenie liczby parzystej przez dowolną liczbę całkowitą daje wynik parzysty.
· jeśli \(n\) jest liczbą nieparzystą, to liczba \((n+3)\) jest parzysta (suma dwóch liczb nieparzystych daje liczbę parzystą). Wtedy iloczyn \(n(n+3)\) również jest parzysty.

W obu przypadkach iloczyn \(n(n+3)\) jest liczbą parzystą, co oznacza, że można go zapisać jako \(2k\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą. W takim razie całe wyrażenie przyjmuje postać:
$$7\cdot2k=14k$$

To kończy dowód, ponieważ liczba zapisana w postaci \(14k\) jest podzielna przez \(14\).

Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Mamy równanie w postaci iloczynowej. Aby iloczyn był równy zero, któryś z czynników musi być równy zero:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-m=0 \quad\lor\quad 2x+4=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=m \quad\lor\quad 2x=-4 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=m \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(m\).
Z treści zadania wiemy, że suma tych rozwiązań wynosi \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$-3+m+(-2)=0 \\
m-5=0 \\
m=5$$

Krok 1. Wyznaczenie dziedziny równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik nie może być równy zero:
$$3x-1\neq0 \\
3x\neq1 \\
x\neq\frac{1}{3}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Do równania można podejść na różne sposoby, ale w tego typu przypadkach najlepiej sprawdzi się mnożenie na krzyż:
$$5(x+2)=2(3x-1) \\
5x+10=6x-2 \\
-x=-12 \\
x=12$$

Otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami, więc poszukiwanym rozwiązaniem jest \(x=12\).

Krok 1. Przekształcenie nierówności do postaci ogólnej.
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę i doprowadzamy całość do postaci ogólnej:
$$3x^2+4x-6x-8\ge0 \\
3x^2-2x-8\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-2,\;c=-8\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-8)=4+96=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-10}{2\cdot3}=\frac{2-10}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+10}{2\cdot3}=\frac{2+10}{6}=\frac{12}{6}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości większych lub równych zero, zatem zerkamy na to co znajduje się nad osią. Rozwiązaniem jest więc suma przedziałów:
$$x\in(-\infty,-\frac{4}{3}]\cup[2,\infty)$$

Krok 1. Obliczenie całkowitych wpływów ze sprzedaży biletów.
Niech \(W\) oznacza całkowite wpływy ze sprzedaży biletów. Skoro po odliczeniu \(25\%\) kosztów zostało \(4665\) \(zł\), to kwota ta stanowi \(75\%\) całkowitych wpływów:
$$0,75W=4665 \\
W=\frac{4665}{0,75}=6220$$

Całkowite wpływy wyniosły \(6220 zł\).

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Niech \(x\) oznacza liczbę biletów normalnych, a \(y\) liczbę biletów ulgowych. Wiemy, że łącznie sprzedano \(200\) biletów, zatem:
$$x+y=200$$

Równanie opisujące wpływy ze sprzedaży to:
$$35x+25y=6220$$

Te dwa równania tworzą teraz układ równań, który musimy rozwiązać:
\begin{cases}
x+y=200 \\
35x+25y=6220
\end{cases}

Metoda rozwiązywania jest dowolna, ale najłatwiej będzie chyba dostrzec, że z pierwszego równania otrzymamy \(x=200-y\) i tę wartość możemy od razu podstawić do drugiego równania:
$$35\cdot(200-y)+25y=6220 \\
7000-35y+25y=6220 \\
-10y=-780 \\
y=78$$

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka \(W=(3, -2)\), możemy zapisać wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-3)^2-2$$

Krok 2. Wykorzystanie własności funkcji \(g\) do wyznaczenia współczynnika \(a\).
Wiemy, że \(g(x)=f(x+1)\). Mówiąc bardzo obrazowo, jeżeli do wzoru funkcji \(f(x)\) podstawimy w miejsce \(x\) wyrażenie \(x+1\), to otrzymamy wzór funkcji \(g\):
$$g(x)=a(x+1-3)^2-2
g(x)=a(x-2)^2-2$$

Z treści zadania wynika, że miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Skoro tak, to oznacza, że podstawiając \(x=0\) powinniśmy otrzymać wynik równy \(0\), zatem:
$$a\cdot(0-2)^2-2=0 \\
a\cdot(-2)^2-2=0 \\
4a-2=0 \\
4a=2 \\
a=\frac{1}{2}$$

Współczynnik \(a\) funkcji \(f(x)\) będzie taki sam jak funkcji \(g(x)\), a to prowadzi nas do wniosku, że:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci ogólnej.
Na koniec musimy jeszcze zapisać wzór naszej funkcji w postaci ogólnej, zatem:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}(x^2-6x+9)-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+4\frac{1}{2}-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2\frac{1}{2}$$

Krok 1. Obliczenie wyrazów \(a_1\) oraz \(a_9\).
Podstawiając odpowiednie wartości \(n\) do wzoru ciągu, otrzymamy:
$$a_1=3\cdot1+5=3+5=8$$
$$a_9=3\cdot9+5=27+5=32$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_k\).
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$$a_{2}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając znane informacje do tej zależności, otrzymamy:
$$32^2=8\cdot a_{k} \\
1024=8\cdot a_{k} \\
a_{k}=128$$

Krok 3. Obliczenie \(k\).
Wiemy już, że nasz trzeci wyraz określony jako \(a_{k}\) jest równy \(128\). Celem zadania jest obliczenie ile wynosi to \(k\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując, musimy ustalić którym wyrazem ciągu \(a_{n}\) jest liczba \(128\). W tym celu musimy przyrównać \(128\) do wzoru \(a_{n}=3n+5\), otrzymując:
$$3n+5=128 \\
3n=123 \\
n=41$$

To oznacza, że jest to \(41.\) wyraz ciągu \(a_{n}\), czyli tym samym \(k=41\).