LekcjeRazem

Krok 1. Obliczenie wyrazów \(a_1\) oraz \(a_9\).
Podstawiając odpowiednie wartości \(n\) do wzoru ciągu, otrzymamy:
$$a_1=3\cdot1+5=3+5=8$$
$$a_9=3\cdot9+5=27+5=32$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(a_k\).
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$$a_{2}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając znane informacje do tej zależności, otrzymamy:
$$32^2=8\cdot a_{k} \\
1024=8\cdot a_{k} \\
a_{k}=128$$

Krok 3. Obliczenie \(k\).
Wiemy już, że nasz trzeci wyraz określony jako \(a_{k}\) jest równy \(128\). Celem zadania jest obliczenie ile wynosi to \(k\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując, musimy ustalić którym wyrazem ciągu \(a_{n}\) jest liczba \(128\). W tym celu musimy przyrównać \(128\) do wzoru \(a_{n}=3n+5\), otrzymując:
$$3n+5=128 \\
3n=123 \\
n=41$$

To oznacza, że jest to \(41.\) wyraz ciągu \(a_{n}\), czyli tym samym \(k=41\).