LekcjeRazem

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka \(W=(3, -2)\), możemy zapisać wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-3)^2-2$$

Krok 2. Wykorzystanie własności funkcji \(g\) do wyznaczenia współczynnika \(a\).
Wiemy, że \(g(x)=f(x+1)\). Mówiąc bardzo obrazowo, jeżeli do wzoru funkcji \(f(x)\) podstawimy w miejsce \(x\) wyrażenie \(x+1\), to otrzymamy wzór funkcji \(g\):
$$g(x)=a(x+1-3)^2-2
g(x)=a(x-2)^2-2$$

Z treści zadania wynika, że miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Skoro tak, to oznacza, że podstawiając \(x=0\) powinniśmy otrzymać wynik równy \(0\), zatem:
$$a\cdot(0-2)^2-2=0 \\
a\cdot(-2)^2-2=0 \\
4a-2=0 \\
4a=2 \\
a=\frac{1}{2}$$

Współczynnik \(a\) funkcji \(f(x)\) będzie taki sam jak funkcji \(g(x)\), a to prowadzi nas do wniosku, że:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji \(f\) w postaci ogólnej.
Na koniec musimy jeszcze zapisać wzór naszej funkcji w postaci ogólnej, zatem:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-3)^2-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}(x^2-6x+9)-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+4\frac{1}{2}-2 \\
f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+2\frac{1}{2}$$