Wszystkie występujące w wyrażeniu logarytmy mają jednakową podstawę. Możemy więc skorzystać z własności działań na logarytmach i zapisać, że całość będzie równa:
$$log_{4}2+log_{4}8+log_{4}16=log_{4}(2\cdot8\cdot16)=log_{4}256$$

Jeśli jesteśmy w stanie obliczyć ten logarytm w pamięci, to od ręki możemy zapisać, że \(log_{4}256=4\). Jeśli jednak chcielibyśmy to rozpisać do postaci potęgi, to całość wyglądałaby następująco:
$$log_{4}256=x \quad\Longleftrightarrow\quad 4^x=256$$

Musimy teraz rozwiązać równanie \(4^x=256\). Wiedząc, że \(256=4^4\), możemy rozpisać, że:
$$4^x=256 \           ,\
4^x=4^4 \           ,\
x=4$$

Wartość tego wyrażenia jest więc równa \(4\).

Najlepszym sposobem na rozwiązanie tego zadania będzie przejście z postaci pierwiastków na potęgi, korzystając z zależności \(\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}\). Z tej zależności wynika, że przykładowo \(\sqrt[3]{2}=2^\frac{1}{3}\), więc całość moglibyśmy rozpisać jako:
$$\sqrt[2]{2\cdot\sqrt[3]{2}}=\sqrt[2]{2\cdot2^\frac{1}{3}}=\sqrt[2]{2^1\cdot2^\frac{1}{3}}= \           ,\
=\sqrt[2]{2^\frac{4}{3}}=\left(2^\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}}=2^{\frac{2}{3}}$$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia, czyli \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Nasze wyrażenie z treści zadania możemy więc rozpisać w następujący sposób:
$$(2a-3b)^2-(3a+2b)^2=4a^2-12ab+9b^2-(9a^2+12ab+4b^2)= \           ,\
=4a^2-12ab+9b^2-9a^2-12ab-4b^2=-5a^2-24ab+5b^2$$

Ustalmy jakie cyfry mogą się pojawić w naszej poszukiwanej liczbie dwucyfrowej. Chcemy, by ta liczba była większa od \(20\) i by wszystkie cyfry były parzyste, zatem:
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć cyfry \(2, 4, 6, 8\), czyli mamy \(4\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.
· w rzędzie jedności możemy mieć cyfry \(0, 2, 4, 6, 8\), czyli mamy \(5\) możliwości uzupełnienia tej cyfry.

Jest jednak mały problem, ponieważ w ten sposób uwzględnilibyśmy liczbę \(20\) jako pasującą do naszego zdarzenia, a chcemy by ta liczba była większa od \(20\). Najlepiej będzie więc zastosować tradycyjnie regułę mnożenia, a na koniec odejmiemy tą jedną, niepasującą liczbę. W takim razie, zgodnie z regułą mnożenia takich liczb mielibyśmy:
$$5\cdot4=20$$

I od tego odejmujemy jedną liczbę (czyli dwudziestkę), która nam nie pasuje do rozwiązania, stąd też wszystkich interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$20-1=19$$

Krok 1. Wybór pierwszej poprawnej odpowiedzi.
Celem zadania jest tak naprawdę ustalenie jakimi równaniami są opisane nasze proste. Najprościej będzie zacząć od ustalenia jaka jest postać kierunkowa tych prostych, czyli najpierw warto zerknąć na proponowane odpowiedzi D, E oraz F (bo właśnie tam wszystkie równania są zapisane w tej postaci, więc jest spore prawdopodobieństwo, że znajdziemy tam pierwszą poprawną odpowiedź). Możemy oczywiście wyznaczać takie równania w standardowy sposób, ale spróbujmy podejść do tego zadania nieco bardziej analitycznie, analizując podane odpowiedzi.

Widzimy, że jedna prosta przecina oś \(Ox\) dla \(y=-4\), a druga dla \(y=3\frac{1}{2}\), więc współczynniki \(b\) tych prostych powinny być równe odpowiednio \(b=-4\) oraz \(b=3\frac{1}{2}\). Tak się składa, że w każdej parze mamy takie współczynniki, więc analizujemy dalej. Widzimy, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca, czyli jedna powinna mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga ujemny. W ten sposób spośród odpowiedzi D, E, F możemy już odrzucić odpowiedź D. Zostały nam już odpowiedzi E oraz F, które różnią się tylko pierwszym równaniem, które opisuje prostą rosnącą. Sprawdźmy zatem jaką wartość przyjmuje każde z równań dla \(x=2\). Prosta \(y=x-4\) przyjmuje wartość \(y=2-4=-2\), natomiast prosta \(y=2x-4\) przyjmie wartość \(y=2\cdot2-4=0\). Na wykresie widać, że ta wartość powinna być równa \(0\), bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\), stąd też po tej prostej analizie możemy stwierdzić, że pierwszą poprawną odpowiedzią będzie F.

Dla upewnienia się, możemy oczywiście analogicznie sprawdzić to drugie równanie \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\), podstawiając np. \(x=7\). Wyjdzie nam, że \(y=-\frac{1}{2}\cdot7+3\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=0\) i to się zgadza, bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((7;0)\).

Krok 2. Wybór drugiej poprawnej odpowiedzi.
Druga odpowiedź będzie znajdować się wśród proponowanych A, B oraz C. Mówiąc bardzo obrazowo, musimy sprawdzić które równania da się przekształcić do postaci tych z odpowiedzi F. Tu warto zauważyć, że każdy układ ma różne drugie równania, więc możemy skupić się tylko na nich. Przekształćmy zatem te równania do postaci kierunkowej:

Odp. A. (drugie równanie)
$$-4y-7(x-7)=0 \           ,\
-4y-7x+49=0 \           ,\
-4y=7x-49 \           ,\
y=-\frac{7}{4}x+12\frac{1}{4}$$

To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).

Odp. B. (drugie równanie)
$$4y+2(x-7)=0 \           ,\
4y+2x-14=0 \           ,\
4y=-2x+14=0 \           ,\
y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}$$

To równanie jest poprawne, bo otrzymaliśmy dokładnie to samo co w odpowiedzi F.

Odp. C. (drugie równanie)
$$4y-2(x-7)=0 \           ,\
4y-2x+14=0 \           ,\
4y=2x-14 \           ,\
y=\frac{1}{2}x-3\frac{1}{2}$$

To równanie jest więc na pewno błędne, bo nie otrzymaliśmy postaci \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\).

I w ten oto sposób udało nam się ustalić, że poprawną odpowiedzią będzie także odpowiedź B.

Pierwiastkami wielomianu nazywamy wszystkie te zmienne \(x\), dla których wielomian przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc wprost, musimy rozwiązać następujące równanie:
$$2(x-1)(x+3)(x^2+4)=0$$

Jest to równanie w postaci iloczynowej, więc wystarczy przyrównać wszystkie wartości do zera, zatem:
$$x-1=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x^2=-4$$

Z ostatniego równania \(x^2=-4\) nie otrzymamy rozwiązań, ponieważ nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby ujemny wynik. Stąd też jedynymi pierwiastkami tego wielomianu będą \(x=1\) oraz \(x=-3\).

Celem zadania jest podanie iloczynu wszystkich rzeczywistych pierwiastków, zatem:
$$1\cdot(-3)=-3$$

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zera, to mianownik naszego ułamka musi być różny od zera. W związku z tym, moglibyśmy zapisać, że:
$$(1-x)(2-x)\neq0$$

Mamy postać iloczynową, zatem:
$$1-x\neq0 \quad\lor\quad 2-x\neq0 \           ,\
x\neq1 \quad\lor\quad x\neq2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przejść do rozwiązywania równania. Najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia całości przez to, co jest w mianowniku ułamka, dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0 \quad\bigg/\cdot(1-x)(2-x) \           ,\
(2x-4)(2x-6)^2=0$$

Otrzymaliśmy równanie w postaci iloczynowej, zatem chcąc je rozwiązać, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$2x-4=0 \quad\lor\quad 2x-6=0 \           ,\
2x=4 \quad\lor\quad 2x=6 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=3$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować ze względu na zapisane wcześniej założenia. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=2\) musimy odrzucić, ponieważ dla tej liczby wartość mianownika wychodziła równa \(0\). Stąd też to równanie będzie mieć jedynie jedno rozwiązanie i będzie nim \(x=3\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(m\).
Skoro jednym z rozwiązań tego równania jest \(x=5\), to możemy podstawić to rozwiązanie do naszego równania, co pozwoli nam dowiedzieć się jaka jest wartość \(m\), zatem:
$$|5-3|=m \           ,\
|2|=m \           ,\
m=2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Skoro \(m=2\), to istota zadania opiera się tak naprawdę na tym, by rozwiązać równanie z wartością bezwzględną \(|x-3|=2\). Wartość bezwzględna z \(x-3\) będzie równa \(2\) wtedy, gdy \(x-3\) będzie równe \(2\), lub też gdy \(x-3\) będzie równe \(-2\). W związku z tym możemy zapisać, że:
$$x-3=2 \quad\lor\quad x-3=-2 \           ,\
x=5 \quad\lor\quad x=1$$

Widzimy więc, że drugim rozwiązaniem tego równania będzie \(x=1\).

Krok 1. Rozpisanie liczby \(x\).
Całe zadanie będzie nieco prostsze w momencie, gdy trochę przekształcimy podaną liczbę \(x\). Usuwając niewymierność z mianownika, otrzymamy taką oto sytuację:
$$x=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5}-2)\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}= \           ,\
=\frac{5-2\sqrt{5}}{5}=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Podstawiając teraz wyznaczoną przed chwilą wartość \(x\) do naszego wyrażenia, otrzymamy takie oto działanie:
$$\frac{-2}{x-1}=\frac{-2}{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}-1}=\frac{-2}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}= \           ,\
=\frac{2}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=2:\frac{2\sqrt{5}}{5}=2\cdot\frac{5}{2\sqrt{5}}= \           ,\
=\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}= \           ,\
=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$$

Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, możemy naszą liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$8^n-2^n=2^{n}\cdot(4^{n}-1)$$

Teraz powinniśmy dostrzec, że wyrażenie w nawiasie da się rozpisać wykorzystując wzór skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Dzięki temu otrzymamy taką oto sytuację:
$$2^{n}\cdot(2^{n}-1)\cdot(2^{n}+1)$$

Jeśli się dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że liczby \(2^{n}-1\), \(2^{n}\) oraz \(2^{n}+1\) to po prostu trzy kolejne liczby naturalne. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że jedna z tych liczb jest podzielna przez \(3\).

Dodatkowo z treści zadania wiemy, że \(n\ge2\), a to by oznaczało, że liczba \(2^n\) jest na pewno liczbą parzystą i to taką, która jest podzielna przez \(4\).

To oznacza, że nasza liczba jest podzielna przez \(3\) i przez \(4\) jednocześnie, więc jest tym samym podzielna przez \(12\), co należało udowodnić.

Zadanie 1.
Oś symetrii przechodzi zawsze przez wierzchołek paraboli. Współrzędna \(x\) wierzchołka paraboli jest równa \(1\), stąd też możemy być pewni, że równaniem osi symetrii wykresu funkcji \(f\) jest \(x=1\).

Zadanie 2.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli, najprościej będzie skorzystać z postaci kanonicznej, czyli \(f(x)=a(x-p)^2+q\). Skoro współrzędne wierzchołka są równe \((1;4)\), to \(p=1\) oraz \(q=4\), zatem:
$$f(x)=a(x-1)^2+4$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy podstawić do wyznaczonego przed chwilą równania współrzędne jednego z punktów, przez który przechodzi wykres. Możemy tutaj skorzystać z punktu podanego w treści zadania, czyli \((0;2)\). W związku z tym:
$$2=a\cdot(0-1)^2+4 \           ,\
2=a\cdot(-1)^2+4 \           ,\
2=a\cdot1+4 \           ,\
2=a+4 \           ,\
a=-2$$

To oznacza, że wzorem tej funkcji jest \(f(x)=-2(x-1)^2+4\).

Zadanie 3.
Ze wzoru \(g(x)=f(x)+m\) wynika, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(m\) jednostek w górę lub w dół. Aby funkcja \(g(x)\) miała miejsce zerowe równe \(0\), to funkcja \(f(x)\) musiałaby być przesunięta o \(2\) jednostki w dół, czyli mielibyśmy wtedy wzór \(g(x)=f(x)-2\). To prowadzi nas do wniosku, że \(m=-2\).

Zadanie 1.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z wykresu funkcji odczytujemy, że \(f(0)=1\) (czyli, że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość równą \(1\)) oraz że \(f(3)=5\). To oznacza, że \(f(0)-f(3)=1-5=-4\), czyli zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z wykresu odczytujemy, że \(f(2)\) jest równe \(3\). W takim razie \(log_{3}f(2)\) to nic innego jak \(log_{3}3\), a ten jest rzeczywiście równy \(1\). Zdanie jest więc prawdą.

Zadanie 2.
Wiemy, że funkcja \(f(x)=a^x\) przechodzi przez punkt \(A=(2;3)\), zatem podstawiając współrzędne tego punktu do wzoru, otrzymamy:
$$3=a^2 \           ,\
a=\sqrt{3} \quad\lor\quad a=-\sqrt{3}$$

Ujemną wartość \(a\) odrzucamy, ponieważ nasza funkcja wykładnicza jest rosnąca, a więc tutaj \(a\gt1\). To oznacza, że zostaje nam tylko \(a=\sqrt{3}\).

Zadanie 3.
Zapis \(g(x)=f(x-3)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstaje w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(3\) miejsca w prawo. Taką sytuację mamy na rysunku z pierwszej odpowiedzi.

Dwie proste są względem siebie prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Prosta \(k\) ma ten współczynnik równy \(\frac{1}{3}\), natomiast prosta \(l\) ma ten współczynnik równy \(2m-1\). Skoro ich iloczyn ma być równy \(-1\), to:
$$\frac{1}{3}\cdot(2m+1)=-1 \           ,\
\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}=-1 \           ,\
\frac{2}{3}m=-\frac{4}{3} \quad\bigg/\cdot\frac{3}{2} \           ,\
m=-\frac{4}{2} \           ,\
m=-2$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - liczba sprzedanych obiadów w październiku (po cenie \(20zł\))
\(y\) - liczba sprzedanych obiadów w listopadzie (po cenie \(24zł\))

To z kolei oznacza, że na obiadach w październiku zarobiono \(20x\), a w listopadzie \(24y\).

Krok 2. Ustalenie spadku liczby sprzedanych obiadów.
Z treści zadania wynika, że jak wpływy z października powiększymy o \(8\%\), to otrzymamy wpływy z listopada, czyli możemy ułożyć następujące równanie:
$$20x\cdot1,08=24y \           ,\
21,6x=24y \quad\bigg/\:24 \           ,\
y=0,9x$$

Otrzymany zapis oznacza, że liczba sprzedanych obiadów w listopadzie stanowi \(90\%\) tych, które były sprzedane w październiku, czyli tym samym sprzedaż spadła o \(10\%\).