W okresie ułamka znajduje się wartość \(2345\), czyli nasz ułamek będzie wyglądał w ten oto sposób:
$$0,1234523452345...$$

Teraz do zadania można podejść na wiele sposobów (tak jak jest nam wygodniej). Przykładowo możemy dostrzec, że jak wypiszemy sobie \(24\) razy okres naszego ułamka (a okres składa się z czterech cyfr), to będziemy mieć \(1+4\cdot24=97\) cyfr po przecinku. To by oznaczało, że dziewięćdziesiątą siódmą cyfrą po przecinku jest piątka, czyli dziewięćdziesiątą ósmą cyfrą będzie dwójka, dziewięćdziesiątą dziewiątą cyfrą będzie trójka, a setną cyfrą będzie czwórka.

Możemy też do zadania podejść w nieco inny sposób. Spójrzmy na to którymi cyframi po przecinku jest np. dwójka. Widzimy, że to będzie druga, szósta, dziesiąta, czternasta itd. cyfra po przecinku. Można więc powiedzieć, że począwszy od drugiej cyfry, to co czwarta cyfra po przecinku jest dwójką. Skoro co czwarta cyfra (począwszy od drugiej) jest dwójką, to i co czterdziesta będzie dwójką. To by oznaczało, że czterdziesta druga cyfra jest dwójką, tak jak i osiemdziesiąta druga także jest dwójką. Czyli osiemdziesiąta szósta, dziewięćdziesiąta, dziewięćdziesiąta czwarta i dziewięćdziesiąta ósma także są dwójkami. To prowadzi nas do wniosku, że dziewięćdziesiąta dziewiąta będzie trójka, a setna będzie czwórka.

Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Obliczmy wartość naszej liczby, wykonując działania na potęgach. Tutaj dobrze jest od razu zamienić sobie podstawy poszczególnych potęg na takie, by były one równe 2. Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(-2)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{-5}}{(\sqrt{8})^6}=\frac{(-2)^3\cdot2^5}{(\sqrt{2^3})^6}= \           ,\
=\frac{-1\cdot2^3\cdot2^5}{(2^{\frac{3}{2}})^6}=\frac{-1\cdot2^8}{2^{\frac{18}{2}}}=\frac{-1\cdot2^8}{2^9}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby przeciwnej.
Musimy jeszcze ustalić jaka jest liczba przeciwna do \(-\frac{1}{2}\). Liczba przeciwna ma jak sama nazwa wskazuje - przeciwny znak, zatem liczbą przeciwną do ułamka \(-\frac{1}{2}\) będzie \(\frac{1}{2}\) i to jest nasza odpowiedź.

Rozpiszmy to sobie po kolei:
Cena początkowa: \(x\)

Teraz cena jest podwyższona o \(20\%\), czyli nowa cena będzie stanowiła \(120\%\) ceny początkowej. Możemy zapisać, że:
Cena po podwyżce: \(1,2\cdot x=1,2x\)

Teraz cena jest obniżona o \(20\%\), czyli nowa cena będzie stanowiła \(80\%\) ceny po pierwszej podwyżce (która była równa \(1,2x\)). Możemy zapisać, że:
Cena po obniżce: \(0,8\cdot1,2x=0,96x\)

Skoro cena początkowa była równa \(x\), a po podwyżce i obniżce jest równa ostatecznie \(0,96x\), to widzimy wyraźnie, że cena spadła o \(0,04x\), czyli o \(4\%\).

To zadanie będzie najprościej rozwiązać obliczając oddzielnie wartość wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\) i oddzielnie wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}+2}\).

Krok 1. Obliczenie wartości wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\).
Zacznijmy od \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\). Musimy usunąć niewymierność z mianownika i to jest ten trudniejszy przypadek, gdzie w mianowniku nie mamy jedynie pierwiastka, a całe wyrażenie. W takiej sytuacji musimy pomnożyć licznik i mianownik przez wartość \(\sqrt{3}+2\) (uwaga na znaki!), dzięki czemu w mianowniku ułamka skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{1\cdot(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)\cdot(\sqrt{3}+2)}=\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}^2-2^2}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=\frac{\sqrt{3}+2}{-1}=-\sqrt{3}-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(\frac{1}{\sqrt{3}+2}\).
Analogicznie jak przed chwilą, tutaj także musimy usunąć niewymierność z mianownika. Różnica jest tylko taka, że tym razem licznik i mianownik musimy pomnożyć przez \(\sqrt{3}-2\), zatem całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{1\cdot(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)\cdot(\sqrt{3}-2)}=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}^2-2^2}= \           ,\
=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}=\frac{\sqrt{3}-2}{-1}=-\sqrt{3}+2$$

Krok 3. Obliczenie wartości całej liczby.
Korzystając z obliczeń dokonanych w pierwszym i drugim kroku możemy zapisać, że:
$$\frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{1}{\sqrt{3}+2}=-\sqrt{3}-2-(-\sqrt{3}+2)=-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}-2=-4$$

Krok 1. Obliczenie kwoty lokaty (bez uwzględniania podatku od odsetek).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Problemem w tym zadaniu jest fakt, że ten wzór nie uwzględnia opodatkowania lokat. Spróbujmy zatem na razie pominąć ten aspekt podatku i wrócimy do niego na sam koniec obliczeń. Wypiszmy zatem najpierw to, co podstawimy do naszego wzoru na kapitalizację. Z treści zadania wynika, że:
\(K=5000\)
\(p=0,03\)
\(n=2\)

Dlaczego \(p=0,03\)?
Kapitalizacja odbywa się raz w roku, a oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(3\%\), stąd też właśnie \(p=0,03:1=0,03\). Tak na marginesie - gdyby kapitalizacja była półroczna, to odsetki kapitalizowane byłaby \(2\) razy w roku i wtedy oprocentowanie lokaty w okresie pojedynczej kapitalizacji wyniosłoby \(p=0,03:2=0,015\).

Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są co rok. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru, otrzymując:
$$K_{2}=5000\cdot(1+0,03)^{2} zł$$

Krok 2. Obliczenie kwoty lokaty (z uwzględnieniem podatku od odsetek).
W tym zadaniu musimy jeszcze uwzględnić fakt występowania podatku od odsetek. Zapisany przed chwilą wzór musimy więc udoskonalić. Wiemy, że podatek wynosi \(19\%\), czyli tak obrazowo rzecz ujmując - nasze realne oprocentowanie lokaty będzie przez ten podatek o prawie \(\frac{1}{5}\) mniejsze. Po odjęciu tego podatku zostanie nam \(81\%\) odsetek, czyli realne oprocentowanie wyniesie \(p=0,81\cdot0,03\) i stąd też poprawnym zapisem będzie \(5000\cdot(1+0,81\cdot0,03)^2 zł\).

Zwróć też uwagę na to, że zapis podany w drugiej odpowiedzi jest na pewno błędny, bowiem tutaj naliczono podatek od całej kwoty lokaty, a nie jedynie od odsetek.

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Mamy klasyczną nierówność kwadratową, zatem rozwiązywanie zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych. Musimy więc sprawdzić kiedy \(2x\cdot(x+3)\) jest równe \(0\). Możemy oczywiście wymnożyć \(2x\) przez \(x+3\), otrzymując w ten sposób postać ogólną z której potem obliczymy deltę, ale to zadanie da się rozwiązać nieco szybciej, identycznie jak postać iloczynową. Aby wyrażenie \(2x\cdot(x+3)\) było równe \(0\), to albo \(2x\) musi być równe \(0\), albo \(x+3\) musi być równe \(0\), zatem:
$$2x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \           ,\
x=0 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Musimy teraz określić kierunek ułożenia ramion paraboli. Gdybyśmy wymnożyli przez siebie wszystkie wartości po lewej stronie to otrzymalibyśmy wyrażenie \(2x^2+6x\), czyli współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy więc wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe \(x=0\) oraz \(x=-3\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi do góry.


Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych lub równych zero, czyli interesuje nas to co znalazło się pod osią i na osi. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział $$x\in\langle-3,0\rangle$$

Aby dowiedzieć się dla jakiego parametru \(a\) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, musimy doprowadzić do sytuacji w której pierwsze i drugie równanie będą miały identyczną postać. W tym celu musimy np. pierwsze równanie pomnożyć obustronnie przez \(-3\). Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases}
2x-3y=-1 \quad\bigg/\cdot(-3)\           ,\
-6x+ay=3
\end{cases}

\begin{cases}
-6x+9y=3 \           ,\
-6x+ay=3
\end{cases}

Teraz jak porównamy sobie obydwa te równania (zwłaszcza to, co znalazło się przed igrekiem) to zauważymy, że układ równań będzie tożsamościowy dla \(a=9\).

Choć nie jest to klasyczne równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, to możemy je rozwiązać właśnie tak jak postać iloczynową, czyli przyrównując wartości w nawiasach do zera. Otrzymamy wtedy:
$$x^2-1=0 \quad\lor\quad x^2+5x=0 \           ,\
x^2=1 \quad\lor\quad x(x+5)=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x+5=0 \           ,\
x=1 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x=-5$$

To oznacza, że nasze równanie ma cztery rozwiązania, a ich suma jest równa:
$$1+(-1)+0+(-5)=-5$$

Krok 1. Zapisanie danych z treści zadania.
Błąd bezwzględny obliczamy korzystając ze wzoru \(Δx=|x-p|\), gdzie:
\(Δx\) - błąd bezwzględny
\(x\) - dokładna wartość
\(p\) - przybliżona wartość

W naszym przypadku:
\(Δx=0,004\)
\(p=2,2\)

Krok 2. Obliczenie błędu bezwzględnego.
Korzystając z powyższych informacji błąd bezwzględny obliczymy w następujący sposób:
$$Δx=|x-p| \           ,\
0,004=|2,2-x|$$

Teraz najtrudniejsza część zadania, czyli rozwiązanie równania z wartością bezwzględną. Wartość bezwzględna z \(2,2-x\) będzie równa \(0,004\) wtedy, gdy \(2,2-x\) będzie równe \(0,004\) lub też gdy będzie równe \(-0,004\) (bo przecież \(|-0,004|\) także jest równe \(0,004\)). Możemy wiec zapisać, że:
$$2,2-x=0,004 \quad\lor\quad 2,2-x=-0,004 \           ,\
-x=-2,204 \quad\lor\quad -x=-2,196 \           ,\
x=2,204 \quad\lor\quad x=2,196$$

Wyszło nam, że błąd bezwzględny będzie równy \(0,004\) wtedy, gdy \(x=2,204\) lub też gdy \(x=2,196\). To jednak nie kończy naszego zadania, bowiem w treści zadania mamy jednak podaną jeszcze jedną kluczową informację z której musimy skorzystać. Wiemy, że przybliżenie \(2,2\) jest przybliżeniem z nadmiarem (czyli wartość przybliżenia musi być większa niż wartość liczby \(x\)). To oznacza, że poszukiwaną przez nas liczbą będzie \(x=2,196\).

Kiedy logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\). Możemy więc sobie dla lepszego zobrazowania zapisać, że \(log3=a\) to jest dokładnie to samo, co \(log_{10}3=a\). Oczywiście podstawy logarytmu równej \(10\) nie musimy zapisywać, ale chyba dzięki temu łatwiej będzie zrozumieć sposób rozwiązywania zadania. Z tego też względu w dalszych obliczeniach będziemy właśnie dopisywać sobie tę dziesiątkę. Jeżeli jednak czujesz się dość pewnie w logarytmach, to tę dziesiątkę możesz pominąć.

Wracając do naszego zadania, to patrząc się na odpowiedzi widzimy, że musimy obliczyć wartość \(log\frac{100}{27}\) (czyli \(log_{10}\frac{100}{27}\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru na różnicę logarytmów:
$$log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)=log_{a}b-log_{a}c$$

W naszym przypadku otrzymalibyśmy:
$$log_{10}\left(\frac{100}{27}\right)=log_{10}100-log_{10}27$$

Wartość \(log_{10}100\) jest równa \(2\), ponieważ \(10^2=100\).
Wartość \(log_{10}27\) musimy rozpisać jako \(log_{10}3^3\), co zgodnie z działaniami na logarytmach (po przesunięciu wykładnika potęgi na początek zapisu) będzie równe \(3log_{10}3\). Wiemy, że \(log_{10}3\) jest równe \(a\), czyli \(3log_{10}3\) to po prostu \(3a\).

Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$log_{10}100-log_{10}27=2-log_{10}3^3=2-3log_{10}3=2-3a$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z informacji o tym, że funkcja osiąga wartości dodatnie tylko wtedy, gdy \(x\) jest większy od \(-2\) wynika, że nasza funkcja musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


To oznacza, że miejscem zerowym (czyli miejscem przecięcia się funkcji z osią iksów) jest punkt o współrzędnych \(A=(-2;0)\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(b\).
We wzorze naszej funkcji \(f(x)=2x+b\) brakuje nam współczynnika \(b\). Chcemy poznać wartość tego współczynnika, bowiem jedną z jego własności jest właśnie informowanie nas o miejscu przecięcia się funkcji z osią \(OY\). Aby poznać wartość tego współczynnika, musimy do wzoru funkcji podstawić współrzędne znanego nam punktu - w naszym przypadku będą to współrzędne miejsca zerowego. Podstawiając więc współrzędne \(A=(-2;0)\) otrzymamy:
$$0=2\cdot(-2)+b \           ,\
0=-4+b \           ,\
b=4$$

To oznacza, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie \(f(x)=2x+4\).

Krok 3. Wyznaczenie punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(OY\).
Z własności współczynnika \(b\) wynika, że skoro \(b=4\), to funkcja przetnie oś \(OY\) dla igreka równego \(4\), czyli w punkcie o współrzędnych \((0;4)\).

Do tej samej informacji dojdziemy, gdy do wzoru podstawimy wartość \(x=0\):
$$f(0)=2\cdot0+4 \           ,\
f(0)=0+4 \           ,\
f(0)=4$$

Skoro dla \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość równą \(y=4\), to znaczy, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((0;4)\) i to jest właśnie miejsce przecięcia się z osią \(OY\).

Aby poznać wzór funkcji przekształconej względem osi \(OY\) wystarczy we wzorze zmienić znak stojący przed iksem. W tym przypadku dodatkowo będziemy musieli jeszcze uprościć cały zapis, a całość będzie wyglądać następująco:
$$y=-\frac{1}{3}(-x+1)+\frac{4}{3} \           ,\
y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{4}{3} \           ,\
y=\frac{1}{3}x+1$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Najlepiej będzie jak omawianie zaczniemy od narysowania przykładowej paraboli, której zbiór wartości jest taki jak podany w treści zadania:


Krok 2. Ustalenie wzoru funkcji kwadratowej.
Zastanówmy się teraz (bazując na rysunku), co się musi stać, aby funkcja przyjmowała wartości w przedziale \((-\infty,-2\rangle\). Widzimy wyraźnie, że nasza funkcja musi mieć ramiona skierowane do dołu i to jest pierwsza kluczowa informacja. To z kolei oznacza, że współczynnik \(a\) musi być ujemny, zatem z podanych w odpowiedziach funkcjach interesują nas już tylko funkcje B oraz C.

Widzimy też, że funkcja musi przyjmować w wierzchołku wartość równą \(-2\), czyli \(q=-2\). Wszystkie nasze funkcje zapisane są w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\), zatem szukamy funkcji, która na samym końcu ma wartość \(-2\). Z racji tego, iż ograniczamy się już jedynie do wzoru z odpowiedzi B oraz C, to możemy być już pewni, że interesującą nas funkcją będzie ta z odpowiedzi B, czyli \(f(x)=-3(x-2)^2-2\), bo to ona jako jedyna ma ujemną wartość współczynnika \(a\) oraz \(q=-2\).

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Skoro przeciwprostokątna jest trzy razy dłuższa od przyprostokątnej, to jedna przyprostokątna będzie mieć długość \(x\), a przeciwprostokątna będzie mieć długość \(3x\).

Aby za chwilę poprawnie umiejscowić nasz najmniejszy kąt ostry, to obliczmy jeszcze długość drugiej przyprostokątnej (która zresztą zaraz się przyda do wyznaczania wartości cosinusa). W tym celu skorzystamy oczywiście z Twierdzenia Pitagorasa, zatem:
$$x^2+b^2=(3x)^2 \           ,\
x^2+b^2=9x^2 \           ,\
b^2=8x^2 \           ,\
b=\sqrt{8}x \quad\lor\quad b=-\sqrt{8}x$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(b=\sqrt{8}x\), co możemy jeszcze rozpisać jako $$b=\sqrt{4\cdot2}x=2\sqrt{2}x$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Korzystając z informacji zawartych w pierwszym kroku, sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Szukamy wartości cosinusa mniejszego kąta ostrego i zwróć uwagę na to, że ten kąt musi znajdować się przy dłuższej przyprostokątnej.

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa mniejszego kąta ostrego.
Cosinus to stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się przy interesującym nas kącie względem przeciwprostokątnej, zatem:
$$cosα=\frac{2\sqrt{2}x}{3x} \           ,\
cosα=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$