📄 Treść zadania
Przyjmijmy, że \(log3=a\). Wtedy:
A
\(log\frac{100}{27}=\frac{2}{a^3}\)
B
\(log\frac{100}{27}=\frac{2}{3a}\)
C
\(log\frac{100}{27}=3a-2\)
D
\(log\frac{100}{27}=2-3a\)
Kiedy logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\). Możemy więc sobie dla lepszego zobrazowania zapisać, że \(log3=a\) to jest dokładnie to samo, co \(log_{10}3=a\). Oczywiście podstawy logarytmu równej \(10\) nie musimy zapisywać, ale chyba dzięki temu łatwiej będzie zrozumieć sposób rozwiązywania zadania. Z tego też względu w dalszych obliczeniach będziemy właśnie dopisywać sobie tę dziesiątkę. Jeżeli jednak czujesz się dość pewnie w logarytmach, to tę dziesiątkę możesz pominąć.
Wracając do naszego zadania, to patrząc się na odpowiedzi widzimy, że musimy obliczyć wartość \(log\frac{100}{27}\) (czyli \(log_{10}\frac{100}{27}\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru na różnicę logarytmów:
$$log_{a}\left(\frac{b}{c}\right)=log_{a}b-log_{a}c$$
W naszym przypadku otrzymalibyśmy:
$$log_{10}\left(\frac{100}{27}\right)=log_{10}100-log_{10}27$$
Wartość \(log_{10}100\) jest równa \(2\), ponieważ \(10^2=100\).
Wartość \(log_{10}27\) musimy rozpisać jako \(log_{10}3^3\), co zgodnie z działaniami na logarytmach (po przesunięciu wykładnika potęgi na początek zapisu) będzie równe \(3log_{10}3\). Wiemy, że \(log_{10}3\) jest równe \(a\), czyli \(3log_{10}3\) to po prostu \(3a\).
Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$log_{10}100-log_{10}27=2-log_{10}3^3=2-3log_{10}3=2-3a$$