Sprowadzając potęgi do wspólnej podstawy otrzymamy:
$$a=8^{23}\cdot4^{17} \           ,\
a=(2^{3})^{23}\cdot(2^2)^{17} \           ,\
a=2^{3\cdot23}\cdot2^{2\cdot17} \           ,\
a=2^{69}\cdot2^{34} \           ,\
a=2^{69+34} \           ,\
a=2^{103}$$

Sprawdźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A. \(36^{\frac{2}{3}}=(6^2)^{\frac{2}{3}}=6^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{6^4}=\sqrt[3]{6^3\cdot6}=6\sqrt[3]{6}\)
Odp. B. \(36^{\frac{3}{2}}=(6^2)^{\frac{3}{2}}=6^3=216\)
Odp. C. \(36^{\frac{1}{4}}=(6^2)^{\frac{1}{4}}=6^{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}\)
Odp. D. \(36^{\frac{3}{4}}=(6^2)^{\frac{3}{4}}=6^{\frac{3}{2}}=\sqrt{6^3}=\sqrt{6^2\cdot6}=6\sqrt{6}\)

Liczbą wymierną jest więc liczba z drugiej odpowiedzi.

Wykonując działania na potęgach i pierwiastkach oraz korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=(\sqrt{7})^2-2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=7-2\sqrt{21}+3=10-2\sqrt{21}$$

Naszym zadaniem (patrząc po odpowiedziach) jest sprawdzenie jakie miejsca zerowe ma nasza funkcja. W tym konkretnym przypadku funkcja przyjmie wartość równą zero wtedy, kiedy wartość w nawiasie będzie równa zero. Możemy zatem zapisać, że:
$$x+6=0 \           ,\
x=-6$$

Funkcja ta ma jedno miejsce zerowe i jest nim \(x=-6\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro tangens jest równy \(\frac{3}{4}\), a przeciwprostokątna ma długość \(30\), to znaczy że zajdzie taka oto sytuacja:



Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(3x)^2+(4x)^2=30^2 \           ,\
9x^2+16x^2=900 \           ,\
25x^2=900 \           ,\
x^2=36 \           ,\
x=6 \quad\lor\quad x=-6$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=6\).

Krok 3. Obliczenie długości krótszej przyprostokątnej.
Krótsza przyprostokątna ma długość \(3x\), czyli \(3\cdot6=18\).

\(x\) - cena towaru na początku
\(0,9x\) - cena towaru po obniżce
\(1,2\cdot0,9x=1,08x\) - cena towaru po podwyżce

To oznacza, że cena towaru zwiększyła się z \(x\) do \(1,08x\), czyli zwiększyła się o \(8\%\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy naszkicować wykres paraboli. Na pewno ramiona paraboli będą skierowane do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Z rysunku wynika dość wyraźnie, że nasza funkcja będzie rosnąć od minus nieskończoności aż dotrze do wierzchołka. To właśnie w wierzchołku się potem odbije i zacznie maleć. Wniosek z tego taki, że musimy obliczyć współrzędną iksową naszego wierzchołka (potocznie zapisywaną jako \(p\)).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej iksowej wierzchołka.
Współrzędną \(p\) obliczymy ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

W naszym przypadku współczynniki wynoszą odpowiednio: \(a=-4, b=16, c=-23\), zatem:
$$p=\frac{-16}{2\cdot(-4)} \           ,\
p=\frac{-16}{-8} \           ,\
p=2$$

Krok 3. Zapisanie przedziału.
Wiemy już, że współrzędna iksowa wierzchołka jest równa \(p=2\), zatem funkcja ta rośnie w przedziale \(x\in(-\infty, 2)\).

Aby rozwiązać taką nierówność to po lewej stronie musimy mieć iksa, a po prawej pozostałe liczby. Dlatego też kluczem do sukcesu w tym przykładzie jest wyłączenie iksa przed nawias przy wyrażeniu \(x-\sqrt{3}x\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$x-\sqrt{3}x\gt2 \           ,\
x(1-\sqrt{3})\gt2$$

Teraz podzielimy obie strony równania przez \(1-\sqrt{3}\), więc po lewej stronie zostanie nam sam \(x\), ale tutaj trzeba być bardzo ostrożnym. Wartość \(1-\sqrt{3}\) jest ujemna, a dzieląc (lub mnożąc) nierówności przez ujemne liczby musimy pamiętać o zmianie znaku. Dlatego też:
$$x(1-\sqrt{3})\gt2 \quad\bigg/:(1-\sqrt{3}) \           ,\
x\lt\frac{2}{1-\sqrt{3}} \           ,\
x\lt\frac{2\cdot(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})\cdot(1+\sqrt{3})} \           ,\
x\lt\frac{2+2\sqrt{3}}{1-3} \           ,\
x\lt\frac{2+2\sqrt{3}}{-2} \           ,\
x\lt-1-\sqrt{3}$$

Z tego też względu zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział \((-\infty,-1-\sqrt{3})\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zgodnie z informacjami z treści zadania możemy stworzyć następujący rysunek:



Skąd wiemy, że kąt \(BAO\) także ma \(48°\)? Trójkąt \(ABO\) musi być równoramienny (ramiona są długości promienia), zatem kąty przy podstawie mają jednakową miarę.

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AOB\).
W trójkącie \(ABO\) jak w każdym innym suma miar kątów musi być równa \(180°\), zatem kąt \(AOB\) ma miarę:
$$|\sphericalangle AOB|=180°-48°-48°=84°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ACB\).
Zgodnie z własnosciami kątów środkowych i wpisanych, miara kąta \(ACB\) jest dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego \(AOB\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle ACB|=84°:2=42°$$

Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie nierówności.
Naszym zadaniem jest sprawdzenie ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu, czyli kiedy \(-3n+118\) jest większe od zera.
$$-3n+118\gt0 \           ,\
-3n\gt-118 \           ,\
n\lt39\frac{1}{3}$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z nierówności wyszło nam, że dopóki \(n\) jest mniejsze od \(39\frac{1}{3}\) to wyrazy ciągu są dodatnie. Zatem przykładowo dla \(n=25\) ciąg jest dodatni, ale dla \(n=40\) ciąg będzie już ujemny.

Z własności ciągów wiemy, że \(n\) jest zawsze liczbą naturalną, większą od zera. W związku z tym naszą nierówność spełniać będą liczby \(n\in\{1,2,3,...,37,38,39\}\), czyli ten ciąg ma \(39\) dodatnich wyrazów.

Do zadania możemy podejść na wiele sposobów. Nasza funkcja przedstawiona jest w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), czyli takiej z której łatwo odczytamy współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Moglibyśmy więc odczytać, że wierzchołek ma współrzędne \(W=(4;9)\). Co nam ta wiedza daje? Same współrzędne wierzchołka wiele nam nie powiedzą, ale wiemy jeszcze dodatkowo, że współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (konkretnie to \(a=1\), bo po znaku równa się nie stoi żadna liczba), zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Wykres będzie więc wyglądał mniej więcej w ten sposób:



I z takiego rysunku możemy wywnioskować, że ta funkcja nie ma miejsc zerowych, bo parabola nigdy nie przetnie się z osią iksów.

Gdybyśmy jednak nie dostrzegli tych własności, to całkiem niezłym pomysłem byłoby też przyrównanie wzoru funkcji do zera (przyrównujemy do zera, bo szukamy miejsc zerowych, czyli miejsc dla których funkcja przyjmuje wartość równą zero) i wtedy otrzymalibyśmy:
$$(x-4)^2+9=0 \           ,\
(x-4)^2=-9$$

Z racji tego iż nie istnieje liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje ujemny wynik, to znaczy że ta funkcja nigdy nie przybiera wartości równej \(0\), czyli nie ma miejsc zerowych.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wykres funkcji \(f(x)=2^x+3\) jest tak naprawdę przesunięciem wykresu funkcji wykładniczej \(2^x\) o trzy jednostki w górę. Jeżeli nie pamiętamy jak rysuje się funkcje wykładnicze, to zawsze możemy podstawić sobie do wzoru kilka iksów i sprawdzić jaką wartość przyjmie funkcja dla tych konkretnych argumentów. Przykładowo:
Dla \(x=0\) funkcja \(f(x)=2^x\) przyjmuje wartość \(y=2^0=1\)
Dla \(x=1\) funkcja \(y=2^x\) przyjmuje wartość \(y=2^1=2\)
Dla \(x=2\) funkcja \(y=2^x\) przyjmuje wartość \(y=2^2=4\)
Dla \(x=-1\) funkcja \(y=2^x\) przyjmuje wartość \(y=2^{-1}=\frac{1}{2}\)

Funkcja \(f(x)=2^x+3\) będzie przyjmować zawsze wartości o \(3\) większe od funkcji \(f(x)=2^x\). Spróbujmy zatem narysować ten wykres:



Krok 2. Odczytanie zbioru wartości funkcji.
Szukamy zbioru wartości, czyli patrzymy na oś igreków. Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości większe od \(3\) i idzie aż do nieskończoności, zatem zbiorem wartości funkcji jest \((3,+\infty)\).

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu możemy bez problemu obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego:
$$a_{2}=a_{1}+r \           ,\
-2=1+r \           ,\
r=-3$$

Krok 2. Obliczenie wartości dziewiątego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu arytmetycznego możemy obliczyć wartość dowolnego wyrazu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \           ,\
a_{9}=a_{1}+(9-1)r \           ,\
a_{9}=a_{1}+8r \           ,\
a_{9}=1+8\cdot(-3) \           ,\
a_{9}=1-24 \           ,\
a_{9}=-23$$

Krok 1. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią iksów.
Z osią iksów prosta przetnie się wtedy, kiedy jej wartość będzie równa \(y=0\), zatem:
$$4x+1=0 \           ,\
4x=-1 \           ,\
x=-\frac{1}{4}$$

To oznacza, że prosta przetnie się z osią iksów w punkcie \(\left(-\frac{1}{4},0\right)\).

Krok 2. Wyznaczenie miejsca przecięcia się z osią igreków.
Z osią igreków prosta przetnie się wtedy, kiedy jej argument będzie równy \(x=0\), zatem:
$$y=4\cdot0+1 \           ,\
y=1$$

To oznacza, że prosta przetnie się z osią igreków w punkcie \((0,1)\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację. Wykresem funkcji będzie parabola (bo jest to funkcja kwadratowa), której ramiona są skierowane do góry (bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni).



Prosta \(y=m\) jest prostą która przyjmuje jednakową wartość dla wszystkich argumentów (np. dla \(m=3\) mielibyśmy prostą \(y=3\)). Skoro prosta \(y=m\) ma nie mieć z naszą parabolą punktów wspólnych, to znaczy że musi znaleźć się pod parabolą (czyli w tej zielonej części na rysunku). Jaki z tego płynie wniosek? Wystarczy, że poznamy współrzędną igrekową wierzchołka naszej paraboli i będziemy wiedzieć od jakiej wartości musi być mniejszy nasz parametr \(m\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli.
Szukamy współrzędnej \(q\) wierzchołka (czyli współrzędnej igrekowej). Możemy to zrobić za pomocą wzoru:
$$q=-\frac{Δ}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=10\)
$$q=-\frac{4^2-4\cdot1\cdot10}{4\cdot1} \           ,\
q=-\frac{16-40}{4} \           ,\
q=-\frac{-24}{4} \           ,\
q=-(-6) \           ,\
q=6$$

Krok 3. Ustalenie zbioru do którego należy liczba \(m\).
Nasza liczba \(m\) musi być mniejsza od \(6\) (bo dla \(m=6\) prosta \(y=m\) przecięłaby parabolę dokładnie w wierzchołku), zatem interesuje nas zbiór \((-\infty,6)\).