$\left(\sqrt{32}-\sqrt{2}\right)^{2}=32-2\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}+2=34-2\sqrt{64}=34-2\cdot 8=34-16=18$.

Odpowiedź: B.

Wyłączamy $5^{12}$: $\dfrac{5^{12}\left(1+5+5^{2}\right)}{5^{12}}=1+5+25=31$.

Odpowiedź: B.

$2\log_{3}2=\log_{3}2^{2}=\log_{3}4$, zatem $\log_{3}108-\log_{3}4=\log_{3}\dfrac{108}{4}=\log_{3}27=3$.

Odpowiedź: A.

$(3x+2)^{2}=9x^{2}+12x+4$ oraz $(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$.

Różnica: $9x^{2}+12x+4-4x^{2}+12x-9=5x^{2}+24x-5$.

Odpowiedź: C.

Niech $n$ będzie nieparzystą liczbą naturalną, czyli $n=2k+1$ dla pewnej liczby całkowitej nieujemnej $k$.

$3n^{2}+2n+7=3(2k+1)^{2}+2(2k+1)+7=3\left(4k^{2}+4k+1\right)+4k+2+7=$

$=12k^{2}+12k+3+4k+9=12k^{2}+16k+12=4\left(3k^{2}+4k+3\right)$.

Ponieważ $3k^{2}+4k+3$ jest liczbą całkowitą, więc liczba $3n^{2}+2n+7$ jest podzielna przez $4$, co należało wykazać. $\square$

$3-2(1-2x)\ge 2x-17$

$3-2+4x\ge 2x-17$

$1+4x\ge 2x-17$

$2x\ge -18$

$x\ge -9$.

Zbiorem rozwiązań jest przedział $\langle -9,\,+\infty)$ — półprosta domknięta w punkcie $-9$, skierowana w prawo.

Odpowiedź: D.

Iloczyn jest równy zero, gdy któryś z czynników jest zerem. Czynnik $x^{2}+25>0$ dla każdego $x$ (brak pierwiastków rzeczywistych).

Pozostaje $2x=0$ lub $x+3=0$, czyli $x=0$ lub $x=-3$. Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: $-3$ oraz $0$.

Odpowiedź: A.

$\dfrac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}=\dfrac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}$.

Zatem $\dfrac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}\cdot\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x+1}{x+2}$ (skracamy $x$ oraz jeden czynnik $x+2$).

Odpowiedź: C.

Niech $a$ oznacza kwotę przyznaną zespołowi A, wtedy zespołowi B przyznano $1\,200\,000-a$.

$0{,}13a+0{,}11\left(1\,200\,000-a\right)=146\,700$

$0{,}13a+132\,000-0{,}11a=146\,700$

$0{,}02a=14\,700$

$a=735\,000$.

Zespołowi A przyznano $735\,000$ zł.

$6x^{2}+3\lt 11x$

$6x^{2}-11x+3\lt 0$.

$\Delta=(-11)^{2}-4\cdot 6\cdot 3=121-72=49$, $\sqrt{\Delta}=7$.

$x_{1}=\dfrac{11-7}{12}=\dfrac{1}{3}$, $x_{2}=\dfrac{11+7}{12}=\dfrac{3}{2}$.

Ramiona paraboli skierowane w górę, więc nierówność $\lt 0$ zachodzi między pierwiastkami:

$x\in\left(\dfrac{1}{3},\,\dfrac{3}{2}\right)$.

1. Dziedzina: suma przedziałów $\langle -4,-2\rangle\cup(-2,2)\cup(2,4)=\langle -4,\,4\rangle$.

2. Zbiór wartości: na $\langle -4,-2\rangle$ funkcja $x+5$ przyjmuje wartości od $1$ do $3$; na $(-2,2)$ stale $3$; na $(2,4)$ funkcja $-3x+9$ maleje od $3$ (wyłącznie) do $-3$ (wyłącznie). Łącznie: $(-3,\,3\rangle$.

3. $f(x)>0$: na $\langle -4,-2\rangle$ i $(-2,2)$ wartości są dodatnie; na $(2,4)$: $-3x+9>0\Leftrightarrow x\lt 3$, czyli $(2,3)$. Łącznie przedział $\langle -4,\,3)$ (z pominięciem $x=2$, które nie należy do dziedziny).

4. $f(x)=3$: $x+5=3\Rightarrow x=-2$; na $(-2,2)$ zawsze $f=3$; na $(2,4)$: $-3x+9=3\Rightarrow x=2\notin(2,4)$. Zbiorem rozwiązań jest przedział $\langle -2,\,2)$.

Postać kanoniczna: $f(x)=a(x-3)^{2}+6$.

Parabola przechodzi przez $(0,3)$: $3=a(0-3)^{2}+6=9a+6$, stąd $9a=-3$, czyli $a=-\dfrac{1}{3}$.

$f(x)=-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}+6$.

Osią symetrii paraboli jest prosta pionowa przechodząca przez wierzchołek $(3,6)$, czyli $x=3$.

Odpowiedź: A.

$g(x)=0\Leftrightarrow f(x)=3$, czyli $-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}+6=3$.

$-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}=-3\Rightarrow (x-3)^{2}=9\Rightarrow x-3=\pm 3$, więc $x_{1}=0$, $x_{2}=6$.

Suma $x_{1}+x_{2}=0+6=6$ (można też skorzystać z symetrii względem $x=3$: suma pierwiastków $=2\cdot 3=6$).

Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego wtedy, gdy jest funkcją stałą różną od zera, czyli gdy współczynnik kierunkowy jest równy $0$: $3-m=0\Rightarrow m=3$.

Wtedy $f(x)=-4\ne 0$ — brak miejsca zerowego.

Odpowiedź: C.

$a_{2}=2a_{1}+1=2\cdot 2+1=5$, $a_{3}=2a_{2}+1=2\cdot 5+1=11$.

Odpowiedź: D.

Kolejne wyrazy: $a_{1}=2$, $a_{2}=5$, $a_{3}=11$.

Różnice: $a_{2}-a_{1}=3$, $a_{3}-a_{2}=6$ — nierówne, więc ciąg nie jest arytmetyczny (F).

Ilorazy: $\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{5}{2}$, $\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\dfrac{11}{5}$ — nierówne, więc ciąg nie jest geometryczny (F).

Odpowiedź: F, F.

Warunek ciągu arytmetycznego: $2\left(m^{2}+3\right)=(2m+11)+(5-m)$.

$2m^{2}+6=m+16$

$2m^{2}-m-10=0$.

$\Delta=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-10)=1+80=81$, $\sqrt{\Delta}=9$.

$m=\dfrac{1-9}{4}=-2$ lub $m=\dfrac{1+9}{4}=\dfrac{5}{2}$.

Sprawdzamy monotoniczność (ciąg ma być malejący):

• dla $m=-2$: wyrazy $7,\,7,\,7$ — ciąg stały (odrzucamy),

• dla $m=\dfrac{5}{2}$: wyrazy $16,\ 9{,}25,\ 2{,}5$ — ciąg malejący. ✓

Odpowiedź: $m=\dfrac{5}{2}$.

Iloraz $q=\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$.

$a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}=27\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}=27\cdot\dfrac{1}{27}=1$.

Odpowiedź: B.

$\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha$. Ponieważ $\alpha$ jest ostry, $\sin\alpha\ne 0$ — dzielimy obie strony przez $\sin\alpha$:

$\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Odpowiedź: C.

$D$ jest środkiem boku $AB$, więc $AD=\dfrac{6}{2}=3$. Trójkąt $ACD$ ma kąt prosty przy $A$, przeciwprostokątną $CD=5$ i przyprostokątną $AD=3$.

$AC=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4$.

$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{4}{3}$.

Odpowiedź: D.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy $A$): $AB=6$, $AC=4$.

$BC=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

$\sin\beta=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{2\sqrt{13}}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$.

Odpowiedź: A.

Kąt środkowy $AOB$ i kąt wpisany $ACB$ oparte są na tym samym łuku $AB$, więc $\angle AOB=2\cdot 50^{\circ}=100^{\circ}$.

Trójkąt $AOB$ jest równoramienny ($OA=OB=r$), zatem kąty przy podstawie są równe:

$\angle ABO=\dfrac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=40^{\circ}$.

Odpowiedź: C.

Z podobieństwa $\triangle ABC\sim\triangle BDA$ odpowiadające sobie boki są proporcjonalne: $\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{CA}{AB}$.

$\dfrac{3}{BD}=\dfrac{4}{3}$, stąd $BD=\dfrac{3\cdot 3}{4}=\dfrac{9}{4}=2{,}25$.

Odpowiedź: B.

Trzeci bok z twierdzenia cosinusów: $|AC|^{2}=11^{2}+12^{2}-2\cdot 11\cdot 12\cdot\cos 60^{\circ}=121+144-264\cdot\dfrac{1}{2}=133$, więc $|AC|=\sqrt{133}$.

Boki $11$, $12$, $\sqrt{133}\approx 11{,}53$ są parami różne — trójkąt nie jest równoramienny (F).

Pole: $P=\dfrac{1}{2}\cdot 11\cdot 12\cdot\sin 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\cdot 132\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=33\sqrt{3}$ — prawda (P).

Odpowiedź: F, P.

Punkt $S$ jest środkiem przekątnej, więc $|AS|$ to połowa przekątnej.

$|AS|=\sqrt{(4-1)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Długość przekątnej $=2\cdot 5=10$.

Odpowiedź: C.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: $m-2=-4$, stąd $m=-2$.

Sprawdzenie, że proste się nie pokrywają: wyrazy wolne $5$ oraz $m+3=1$ — różne, więc proste są równoległe (rozłączne).

Odpowiedź: B.

Promień: $r=|SP|=\sqrt{(2-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$, więc $r^{2}=20$.

Równanie okręgu o środku $(2,4)$: $(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20$.

Odpowiedź: B.

Kąt rozwarcia to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym; połowa tego kąta wynosi $60^{\circ}$.

Promień podstawy: $r=l\cdot\sin 60^{\circ}=8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$.

Wysokość: $h=l\cdot\cos 60^{\circ}=8\cdot\dfrac{1}{2}=4$.

Objętość: $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi\cdot\left(4\sqrt{3}\right)^{2}\cdot 4=\dfrac{1}{3}\pi\cdot 48\cdot 4=64\pi$.

Krawędź: $a=\sqrt[3]{729}=9$.

Przekątna sześcianu: $d=a\sqrt{3}=9\sqrt{3}$.

Odpowiedź: A.

Liczba trzycyfrowa $\overline{abc}$: cyfra setek $a\ne 0$, a cyfra jedności $c$ jest nieparzysta ($c\in\{1,3,5,7,9\}$), więc $c\ne 0$.

Skoro $a\ne 0$ i $c\ne 0$, jedyna cyfra $0$ może wystąpić na miejscu dziesiątek, czyli $b=0$ (i to daje dokładnie jedno zero).

Liczba możliwości: $a$ — $9$ sposobów, $c$ — $5$ sposobów. Razem $9\cdot 5=45$.

Odpowiedź: A.

Wszystkich wyników jest $6\cdot 6=36$. Sumę $11$ dają pary $(5,6)$ oraz $(6,5)$ — $2$ zdarzenia sprzyjające.

$P(A)=\dfrac{2}{36}$.

Odpowiedź: D.

Suma wszystkich siedmiu liczb: $7\cdot 3=21$.

$1+2+3+4+5+x+y=21\Rightarrow 15+x+y=21\Rightarrow x+y=6$.

Odpowiedź: C.

Liczby uczniów według ocen: $1\to 1$, $2\to 3$, $3\to 4$, $4\to 4$, $5\to 5$, $6\to 7$ (razem $24$).

Mediana: dla $24$ uczniów to średnia $12.$ i $13.$ wyniku w kolejności rosnącej. Skumulowane liczności: do oceny $3$ — $8$ uczniów, do oceny $4$ — $12$ uczniów, do oceny $5$ — $17$. Zatem $12.$ wynik to ocena $4$, a $13.$ wynik to ocena $5$: mediana $=\dfrac{4+5}{2}=4{,}5$.

Dominanta: najczęściej występująca ocena to $6$ (aż $7$ uczniów), więc dominanta $=6$.

Z wierzchołka $B$ wychodzą trzy krawędzie: $AB=x$, $BC=4$ oraz krawędź boczna (wysokość) $h$. Ich suma: $x+4+h=15$, stąd $h=11-x$.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $x$, $4$, $(11-x)$:

$P(x)=2\big(x\cdot 4+4\cdot(11-x)+x\cdot(11-x)\big)=2\big(4x+44-4x+11x-x^{2}\big)=2\big(44+11x-x^{2}\big)$,

$P(x)=-2x^{2}+22x+88$.

Dziedzina: $x>0$ oraz $h=11-x>0$, czyli $x\in(0,\,11)$.

Funkcja $P$ jest kwadratowa o ramionach skierowanych w dół, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku:

$x=\dfrac{-22}{2\cdot(-2)}=\dfrac{22}{4}=\dfrac{11}{2}=5{,}5$ (należy do dziedziny).

Pole powierzchni całkowitej jest największe dla $x=\dfrac{11}{2}$.