Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń
\(x\) - początkowa cena towaru
\(0,1x\) - wysokość zniżki
\(0,9x\) - cena towaru po obniżce

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że obniżka wyniosła \(2018zł\), czyli:
$$0,1x=2018zł \quad\bigg/\cdot10 \           ,\
x=20180zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny towaru po zniżce.
Zgodnie z oznaczeniami wiemy, że towar kosztował na początku \(20180zł\). Obniżka wyniosła \(2018zł\), zatem po obniżce towar kosztował:
$$20180zł-2018zł=18162zł$$

Mogliśmy też wykorzystać informację, że cena towaru po obniżce stanowi \(0,9x\), czyli:
$$0,9\cdot20180zł=18162zł$$

Korzystając z działań na pierwiastkach możemy zapisać, że:
$$\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\sqrt{2^\frac{1}{3}}=(2^\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{6}}$$

Najprościej to zadanie rozwiążemy rozpisując całą sytację w następujący sposób:
$$\frac{4,5\cdot10^{-8}}{1,5\cdot10^{2}}=\frac{4,5}{1,5}\cdot\frac{10^{-8}}{10^{2}}=3\cdot10^{-8-2}=3\cdot10^{-10}$$

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{4}96-log_{4}6=log_{4}\frac{96}{6}=log_{4}16=2$$

I sposób - podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania.
Możemy podstawiać po kolei do równania poszczególne odpowiedzi, sprawdzając kiedy lewa strona będzie równa prawej. Rozwiązując to zadanie w ten sposób otrzymamy:

Odp. A. Dla \(a=\sqrt{13}\)
$$(\sqrt{13}+2\sqrt{3})^2=13+2\cdot\sqrt{13}\cdot2\sqrt{3}+4\cdot3=13+4\sqrt{39}+12=25+4\sqrt{39}$$
W tym przypadku nie udało nam się otrzymać wyniku \(13+4\sqrt{3}\).

Odp. B. Dla \(a=1\)
$$(1+2\sqrt{3})^2=1+4\sqrt{3}+4\cdot3=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3}$$
Otrzymaliśmy dokładnie \(13+4\sqrt{3}\), zatem możemy zaznaczyć, że poszukiwaną liczba jest \(a=1\) i nie musimy już obliczać kolejnych odpowiedzi.

II sposób - przekształcając lewą i prawą stronę równania.
Jeżeli chcemy podejść do zadania nieco bardziej matematycznie, to możemy całość rozwiązać w następujący sposób:
Lewa strona równania:
$$(a+2\sqrt{3})^2=a^2+4\sqrt{3}a+12$$

Prawa strona równania:
$$13+4\sqrt{3}=1+4\sqrt{3}+12$$

Porównując teraz zapisy lewej i prawej strony widzimy wyraźnie, że aby były one sobie równe, to \(a=1\).

Z rysunku możemy odczytać, że jedna prosta jest rosnąca, a druga jest malejąca. To oznacza, że jedna z prostych musi mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga musi mieć ujemny. Ogranicza nam to wybór odpowiedzi do B oraz D. Pozostałe warianty możemy już odrzucić.

Aby ustalić który układ równań jest tym dobrym wystarczy spojrzeć np. na miejsce przecięcia się prostej malejącej z osią igreków. Prosta ta przecina oś igreków dla \(x=3,5\), czyli \(x=\frac{7}{2}\). To oznacza, że współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy właśnie \(b=\frac{7}{2}\). Taką sytuację mamy w odpowiedzi B.

Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to musimy zapisać założenia do naszego równania, tak aby mianownik tego ułamka nie był równy zero. W związku z tym:
$$3(x+2)\neq0 \           ,\
x+2\neq0 \           ,\
x\neq-2$$

W tym konkretnym zadaniu zapisanie założeń nie przyda nam się do dalszej części zadania, ale bardzo często w takich zadaniach jakieś rozwiązanie będzie się wykluczać z założeniami i pewne wyniki będziemy musieli wykluczać. Stąd też dobrze jest nabrać wprawy i zapisywać takie założenia zawsze w tego typu zadaniach.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Tego typu równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc na krzyż:
$$\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9} \           ,\
9\cdot(x-2)=3(x+2) \           ,\
9x-18=3x+6 \           ,\
6x=24 \           ,\
x=4$$

Rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, zatem \(x=4\).

Funkcja \(g(x)=f(-x)\) jest lustrzanym odbiciem funkcji \(f(x)\) względem osi igreków. Musimy więc najpierw narysować funkcję wykładniczą \(f(x)=3^x\), a potem narysować jej pożądane przekształcenie. Aby narysować wykres funkcji \(f(x)=3^x\) wystarczy obliczyć wartości dla kilku kluczowych argumentów, np.:
Dla \(x=-2\) otrzymamy \(3^{-2}=\frac{1}{9}\)
Dla \(x=-1\) otrzymamy \(3^{-1}=\frac{1}{3}\)
Dla \(x=0\) otrzymamy \(3^0=1\)
Dla \(x=1\) otrzymamy \(3^1=3\)
Dla \(x=2\) otrzymamy \(3^2=9\)

Teraz możemy narysować funkcję \(f(x)\) oraz jej odbicie względem osi igreków, czyli \(g(x)\).



Z rysunku możemy odczytać, że te dwie funkcje mają jeden punkt wspólny i ma on współrzędne \((0;1)\).

Aby poznać współczynnik \(b\) wystarczy podstawić współrzędne znanego nam punktu do wzoru funkcji. Podstawiając \(x=1\) oraz \(y=\sqrt{3}\) otrzymamy:
$$y=2\sqrt{3}x+b \           ,\
\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot1+b \           ,\
\sqrt{3}=2\sqrt{3}+b \quad\bigg/-2\sqrt{3} \           ,\
b=-\sqrt{3}$$

Współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy wyznaczyć korzystając ze wzorów:
$$p=\frac{-b}{2a} \           ,\
q=\frac{-Δ}{4a}$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\).
Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że współczynnik \(a=1\), natomiast \(b=-2\). W związku z tym:
$$p=\frac{-b}{2a} \           ,\
p=\frac{-(-2)}{2\cdot1} \           ,\
p=\frac{2}{2} \           ,\
p=1$$

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(q\).
Chcąc skorzystać ze wzoru na współrzędną \(q\) musimy najpierw policzyć deltę:
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-11)=4-(-44)=4+44=48$$

W związku z tym:
$$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\
q=\frac{-48}{4\cdot1} \           ,\
q=-12$$

Mogliśmy też wyznaczyć współrzędną \(q\) nieco szybciej. Skoro znamy już współrzędną \(p=1\), to wystarczy podstawić do wzoru funkcji pod iksa jedynkę i zobaczyć jaką wartość przyjmuje ta funkcja właśnie dla jedynki. Otrzymamy wtedy:
$$q=1^2-2\cdot1-11 \           ,\
q=1-2-11 \           ,\
q=-12$$

To oznacza, że wierzchołek na współrzędne \(W=(1;-12)\).

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Musimy na początek wyznaczyć miejsca zerowe naszej funkcji. Funkcja przedstawiona jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi być równy zero. W związku z tym:
$$-3(x-2)(x-9)=0 \           ,\
x-2=0 \quad\lor\quad x-9=0 \           ,\
x=2 \quad\lor\quad x=9$$

Krok 2. Obliczenie sumy miejsc zerowych.
Obliczyliśmy przed chwilą, że funkcja ma dwa miejsca zerowe \(x=2 \lor x=9\). Z odpowiedzi wynika, że te dwa wyniki musimy zsumować, zatem:
$$x_{1}+x_{2}=2+9=11$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Funkcja dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku (o ile ten wierzchołek mieści się w tym przedziale). Z tego też względu na początku musimy ustalić współrzędne wierzchołka tej paraboli.

Funkcja jest podana w postaci kanonicznej, czyli takiej z której współrzędne wierzchołka są proste do odczytania. Dla wierzchołka o współrzędnych \(W=(p;q)\) funkcja przyjmuje postać:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

Przyrównując to do wzoru podanego w treści zadania widzimy, że w tym przypadku \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2;4)\). To z kolei oznacza, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\), czyli w ogóle nie będziemy go rozpatrywać.

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\).
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku - największa wartość funkcji w danym przedziale musi być osiągnięta na krańcach tego przedziału, czyli albo dla \(x=3\) albo dla \(x=5\). Zatem podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy:
$$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3 \           ,\
f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$

To oznacza, że największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).

Korzystając ze własności ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{4}-r \           ,\
a_{5}=a_{4}+r$$

W związku z tym:
$$a_{3}+a_{4}+a_{5}=15 \           ,\
a_{4}-r+a_{4}+a_{4}+r=15 \           ,\
3a_{4}=15 \           ,\
a_{4}=5$$

Krok 1. Zapisanie równania.
Między trzema sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając poszczególne wyrazy do tego wzoru otrzymamy:
$$(x+4)^2=x\cdot16 \           ,\
x^2+8x+16=16x \           ,\
x^2-8x+16=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Jeżeli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to możemy zauważyć że \(x^2-8x+16\) jest równe tak naprawdę \((x-4)^2\). Otrzymanie takiej postaci pozwoliłoby nam bardzo szybko obliczyć rozwiązanie równania, bo otrzymalibyśmy wtedy:
$$(x-4)^2=0 \           ,\
x-4=0 \           ,\
x=4$$

Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tutaj wzoru skróconego mnożenia, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczenie delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0$$

Delta wyszła równa zero, zatem otrzymamy tylko jedno rozwiązanie:
$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(sinα\).
Funkcją trygonometyczną opisującą stosunek między długością przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta do długości przeciwprostokątnej jest sinus. W związku z tym:
$$sinα=\frac{\sqrt{3}}{3} \           ,\
sinα\approx\frac{1,73}{3} \           ,\
sinα\approx0,58$$

Krok 2. Odczytanie z tablic miary kąta \(α\).
Musimy teraz spojrzeć na tablice matematyczne i odczytać dla jakiej wartości kąta sinus przyjmuje wartość w przybliżeniu \(0,58\). W tablicach możemy odczytać, że dla kąta \(36°\) sinus przyjmuje wartość \(0,5878\) i to jest najlepsze przybliżenie jakie możemy znaleźć. Stąd też wiemy, że \(α\in(30°, 40°)\).