$$\require{cancel}
\frac{7^6\cdot6^7} {42^6}=\frac{7^6\cdot6^7}{(7\cdot6)^6}=\frac{\cancel{7^6}\cdot6^7}{\cancel{7^6}\cdot6^6}= \           ,\
=6^7:6^6=6^{7-6}=6^1=6$$

Krok 1. Obliczenie ceny towaru po pierwszej podwyżce.
Jeżeli za \(x\) przyjmiemy początkową cenę towaru, to po podwyżce o \(20\%\) otrzymamy nową cenę równą \(120\%\cdot x=1,2x\).

Krok 2. Obliczenie ceny towaru po drugiej podwyżce.
Cena towaru ponownie ulega podwyżce, ale tym razem punktem wyjściowym jest już nasze \(1,2x\). Nowa cena jest więc równa: $$130\%\cdot1,2x=1,3\cdot1,2x=1,56x$$

Krok 3. Obliczenie całkowitego wzrostu cen.
Cena towaru wzrosła o \((1,56x-x)\cdot100\%=56\%\), więc chcąc zastąpić te dwie podwyżki jedną równoważną należy podwyższyć cenę towaru o \(56\%\).

Aby obliczyć ten przykład to najprościej jest zamienić wszystkie pierwiastki na odpowiednie potęgi. Pamiętaj, że np. \(\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\), a \(3=3^1\). Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$\sqrt[3]{3\sqrt{3}}=\sqrt[3]{3^{1}\cdot3^{\frac{1}{2}}}=\left(3^{1}\cdot3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}= \           ,\
=3^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b) \           ,\
50001^2-49999^2=(50001+49999)\cdot(50001-49999) \           ,\
50001^2-49999^2=100\;000\cdot2 \           ,\
50001^2-49999^2=200\;000$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$

Powyższe wyrażenie będzie więc tym mniejsze im \(x\) będzie mniejszy oraz tym mniejsze im \(y\) będzie większy. Zatem pod iksa musimy podstawić jak najmniejszą wartość, czyli \(x=2\), natomiast pod igreka jak najwyższą, czyli \(y=4\). Wartość tego wyrażenia będzie zatem równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$

$$\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{2}{9}=\log_{3}\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{9}=\log_{3}\frac{1}{3}=-1$$

Krok 1. Wskazanie rozwiązań równania.
Równanie mamy podane w postaci iloczynowej, więc aby jego wartość była równa zero, to któraś z wartości w nawiasach musi być równa zero, zatem:
$$(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0 \           ,\
x-8=0 \quad\lor\quad x^2-4=0 \quad\lor\quad x^2+16=0 \           ,\
x=8 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-16$$

Równanie \(x^2=-16\) nie ma rozwiązań, bo nie istnieje żadna taka liczba rzeczywista, która mogłaby je spełniać.

Krok 2. Obliczenie pożądanej sumy dwóch liczb.
Najmniejszą liczbą będącą rozwiązaniem tego równania jest \(-2\), największą jest \(8\), zatem suma tych dwóch liczb jest równa: \(-2+8=6\).

$$\frac{x-7}{x}=5 \           ,\
x-7=5x \           ,\
-7=4x \           ,\
x=-\frac{7}{4} \           ,\
x=-1\frac{3}{4}$$

Otrzymany wynik mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi.

Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem:
$$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1} \           ,\
f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1} \           ,\
f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1} \           ,\
f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych funkcji.
Z postaci iloczynowej w bardzo łatwy sposób jesteśmy w stanie określić miejsca zerowe tej funkcji, przyrównując \(-2(x+5)(x-11)\) do zera:
$$-2(x+5)(x-11)=0 \           ,\
x+5=0 \quad\lor\quad x-11=0 \           ,\
x_{1}=-5 \quad\lor\quad x_{2}=11$$

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.



Nasza funkcja zapisana w postaci ogólnej miałaby ujemny współczynnik \(a=-2\) stąd też jej ramiona będą skierowane do dołu. Aby określić przedział w którym funkcja będzie rosnąca potrzebujemy znać jeszcze współrzędną \(x\) wierzchołka tej paraboli. Obliczymy ją w następujący sposób:
$$x_{W}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-5+11}{2}=\frac{6}{2}=3$$

To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale \((-\infty;3\rangle\).

Ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym. Aby obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów będziemy potrzebować wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{10}\):
$$a_{1}=6\cdot(1-16)=6\cdot(-15)=-90 \           ,\
a_{10}=6\cdot(10-16)=6\cdot(-6)=-36$$

Sumę dziesięciu pierwszych wyrazów obliczymy za pomocą wzoru:
$$S_{10}=\frac{a_{1}+a_{10}}{2}\cdot10 \           ,\
S_{10}=\frac{-90+(-36)}{2}\cdot10 \           ,\
S_{10}=(-126)\cdot5 \           ,\
S_{10}=-630$$

Aby obliczyć iloraz \(q\) posłużymy się wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$

Skoro znamy wartość pierwszego i czwartego wyrazu, to podstawmy te informacje do powyższego wzoru, wyznaczając w ten sposób iloraz \(q\).
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^{4-1} \           ,\
9=72\cdot q^3 \           ,\
q^3=\frac{9}{72} \           ,\
q^3=\frac{1}{8} \           ,\
q=\frac{1}{2}$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CAB\).
Z trójkąta \(ABC\) jesteśmy wyznaczyć miarę kąta \(CAB\):
$$|\sphericalangle CAB|=180°-90°-50°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kątów \(ACD\) oraz \(DAC\).
Musimy zauważyć, że kąty \(ACD\) i \(DAC\) będą miały równą miarę. Skąd to wiemy? Wynika to z tego, że \(|AD|=|DC|\), co sugeruje nam że trójkąt \(ACD\) jest równoramienny, a w takim trójkącie kąty przy podstawie są równej miary.

Z własności kątów naprzemianległych wiemy, że kąty \(CAB\) oraz \(ACD\) mają równą miarę. W związku z tym:
$$|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DAC|=40°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ADC\) (czyli \(β\)).
Znając kąty \(ACD\) i \(DAC\) bez problemu wyliczymy miarę naszego kąta \(β\):
$$β=180°-40°-40°=100°$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(α\).
Przyglądając się rysunkowi musimy zauważyć, że nasz kąt \(α\) (który jest kątem środkowym) oraz kąt \(DAC\) (który jest kątem wpisanym) są oparte na tym samym łuku. To oznacza, że miara kąta \(α\) będzie dwa razy większa od miary kąta \(DAC\), czyli:
$$α=36°\cdot2=72°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(β\).
Zanim obliczymy miarę kąta \(β\), to przyda nam się jeszcze znajomość kąta \(ADC\). Jego miara jest równa:
$$|\sphericalangle ADC|=180°-36°-36°=108°$$

Skoro nasz czworokąt jest wpisany w okrąg to suma kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa \(180°\). Naprzeciw naszego kąta \(β\) leży obliczony przed chwilą kąt \(ADC\), tak więc miara kąta \(β\) jest równa:
$$β=180°-108°=72°$$

Tak na marginesie, to w zasadzie można byłoby rozwiązać to zadanie bez umiejętności obliczania miary kąta \(β\). Wystarczy przyjrzeć się odpowiedziom i dostrzec, że tylko w tej ostatniej mamy kąt o mierze \(α=72°\).

Krok 1. Sprowadzenie mas do wspólnej jednostki.
Obie masy musimy sprowadzić do wspólnej jednostki. Aby się nie pomylić to chyba najbezpieczniej będzie sprowadzić je do kilogramów.
$$5t=5000kg=5\cdot10^3kg \           ,\
0,5g=0,0005kg=5\cdot10^{-4}kg$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu wagi słonia i mrówki.
Teraz musimy podzielić przez siebie te dwie masy:
$$\require{cancel}
\frac{\cancel{5}\cdot10^3\cancel{kg}}{\cancel{5}\cdot10^{-4}\cancel{kg}}=10^3:10^{-4}=10^{3-(-4)}=10^{7}$$

Do obliczenia pola tego trójkąta wykorzystamy następujący wzór z tablic matematycznych:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sinα \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot sin150° \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot20\cdot sin150° \           ,\
P=200\cdot\frac{1}{2} \           ,\
P=100$$

Pewną trudnością w tym zadaniu może być określenie wartości \(sin150°\). Skąd wiemy, że \(sin150°\) jest równy \(\frac{1}{2}\)? Ze wzorów redukcyjnych możemy odczytać, że:
$$sin(180°-α)=sinα \           ,\
sin(180°-150°)=sin150° \           ,\
sin30°=sin150°$$

Wartość \(sin30°\) możemy już odczytać z tablic i wynosi ona \(\frac{1}{2}\).