Musimy poprawnie rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną:
$$x+4\lt5 \quad\land\quad x+4\gt-5 \           ,\
x\lt1 \quad\land\quad x\gt-9 \           ,\
x\in(-9;1)$$

Prawidłowy jest więc zbiór przedstawiony w pierwszej odpowiedzi.

Musimy matematycznie zapisać relację między liczbami \(a\) i \(b\), a następnie wyznaczyć z danego równania wartość \(a\):
$$0,12a=0,15b \           ,\
a=\frac{0,15}{0,12}b \           ,\
a=\frac{5}{4}b \           ,\
a=\frac{125}{100}b \           ,\
a=1,25b$$

\(a\) jest więc równe \(125\%\) liczby \(b\).

Rozpatrzmy sobie oddzielnie poszczególne logarytmy, które wchodzą w skład różnicy z treści zadania:
a) \(log100\) - jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie w podstawie mamy liczbę \(10\). To oznacza, że tak naprawdę \(log100=\log_{10}100\). Musimy sobie teraz odpowiedzieć na pytanie: do której potęgi trzeba podnieść \(10\), aby otrzymać \(100\)? Oczywiście do drugiej, bo \(10^2=100\). W związku z tym \(log100=2\).

b) \(\log_{2}8\) - do której potęgi należy podnieść \(2\), aby otrzymać \(8\)? Oczywiście do potęgi trzeciej, bo \(2^3=8\). W związku z tym \(\log_{2}8=3\).

Rozwiązaniem naszego działania wygląda więc następująco:
$$log100-\log_{2}8=2-3=-1$$

Układ ten można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba skorzystać z metody przeciwnych współczynników:
\begin{cases}
5x+3y=3 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
8x-6y=48
\end{cases}\begin{cases}
10x+6y=6 \           ,\
8x-6y=48
\end{cases}

Po dodaniu obu stron równania otrzymamy:
$$18x=54 \           ,\
x=3$$

W zasadzie w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, to \(x=3\) występuje tylko w jednej odpowiedzi. Nie mniej wyznaczmy jeszcze wartość \(y\).

Wartość \(y\) policzymy z dowolnie wybranego równania, podstawiając tam wyliczone przed chwilą \(x=3\), np.:
$$5x+3y=3 \           ,\
5\cdot3+3y=3 \           ,\
15+3y=3 \           ,\
3y=-12 \           ,\
y=-4$$

Skoro wykres funkcji przechodzi przez punkt \(A=(0;1)\) to po podstawieniu \(x=0\) wartość tej funkcji musi być równa \(1\). Stąd też:
$$(m-2)\cdot0+m-3=1 \           ,\
0+m-3=1 \           ,\
m=4$$

Funkcja przyjmuje postać kanoniczną \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro znamy wzór naszej funkcji i jest ona przedstawiona dokładnie w takiej postaci jakiej potrzebujemy, to bez problemu odczytamy z niej współrzędne wierzchołka paraboli: \(W=(2;4)\).

Uwaga: Niektórzy błędnie podają pierwszą współrzędną, twierdząc że jest to \(-2\), a nie \(2\). To najczęściej pojawiający się błąd w tym zadaniu. Bądź ostrożny, bo we wzorze przed wartością \(p\) jest już znak "minus".

Musimy sprawdzić które z wyrażeń przedstawionych w odpowiedziach \(ABCD\) da nam tą samą wartość co wyrażenie z treści zadania. Jeśli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to z pewnością zauważymy że \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\), więc od razu można byłoby zaznaczyć trzecią odpowiedź. Jeśli jednak nie dostrzegamy tej zależności lub jeśli nie pamiętamy o tych wzorach, to najprościej będzie wymnożyć poszczególne wyrażenia:

A. \((4x+3)(x+3)=4x^2+12x+3x+9=4x^2+15x+9\)
B. \((2x-3)(2x+3)=4x^2+6x-6x-9=4x^2-9\)
C. \((2x-3)(2x-3)=4x^2-6x-6x+9=4x^2-12x+9\)
D. \((x-3)(4x-3)=4x^2-3x-12x+9=4x^2-15x+9\)

Pasującą odpowiedzią jest więc tylko trzecia.

Krok 1. Określenie tego, kiedy dwie proste są względem siebie prostopadłe.
Aby dwie proste określone wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że:
$$\frac{2}{m}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$

Krok 2. Rozwiązanie otrzymanego równania.
$$\frac{2}{m}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1 \           ,\
-\frac{6}{2m}=-1 \           ,\
-6=-2m \           ,\
2m=6 \           ,\
m=3$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika \(a\).
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja jest malejąca, a to oznacza, że \(a\lt0\).

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) wskazuje nam w którym miejscu wykres funkcji \(y=ax+b\) przecina się z osią \(Oy\). Przykładowo gdy \(b=-2\), to wykres przecina oś w miejscu \(A=(0,-2)\). Widzimy wyraźnie, że nasza funkcja przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\), a więc, a więc \(b\lt0\).

Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
$$\frac{x}{2}\le\frac{2x}{3}+\frac{1}{4} \quad\bigg/\cdot12 \           ,\
6x\le8x+3 \           ,\
-2x\le3 \quad\bigg/:(-2) \           ,\
x\ge-\frac{3}{2}$$

Pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu przez \(-2\).

Krok 2. Interpretacja wyniku.
Szukamy najmniejszej liczby całkowitej, która spełnia naszą nierówność. Taką liczbą jest \(-1\) i to jest nasza poszukiwana odpowiedź.

Wykres funkcji z drugiego rysunku jest przesunięty o dwie jednostki w prawo względem wykresu funkcji z rysunku pierwszego.
To oznacza, że prawidłowym wzorem wykresu drugiej funkcji będzie ten w którym wartość argumentu \(x\) jest pomniejszona o \(2\), czyli \(y=f(x-2)\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(q\).
Znamy wartość pierwszego i drugiego wyrazu, więc możemy wykorzystać tę informację do obliczenia wartości \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$$

Krok 2. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Wartość trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego obliczymy mnożąc wartość drugiego wyrazu przez obliczony przed chwilą iloraz \(q\):
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \           ,\
a_{3}=18\cdot\frac{2}{3} \           ,\
a_{3}=12$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(x\).
Skoro trzeci wyraz jest opisany wyrażeniem \(x+5\), a my wiemy, że jest on równy \(12\), to wystarczy utworzyć i rozwiązać proste równanie:
$$x+5=12 \           ,\
x=7$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(r\).
Różnicę ciągu arytmetycznego \(r\) obliczymy odejmując od wartości czwartego wyrazu wartość wyrazu trzeciego:
$$r=a_{4}-a_{3} \           ,\
r=14-10 \           ,\
r=4$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Mamy w nim zawartą wartość \(a_{1}\) i jest to nasza jedyna niewiadoma w tym wzorze. Znamy wartość trzeciego wyrazu (oraz czwartego), więc podstawiając do tego wzoru \(n=3\) (lub \(n=4\)) oraz obliczone przed chwilą \(r=4\) otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}+(3-1)r \           ,\
10=a_{1}+2\cdot4 \           ,\
10=a_{1}+8 \           ,\
a_{1}=2$$

Skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej": \(sin^2α+cos^2α=1\).

Krok 1. Obliczenie wartości \(cos^2α\).
Znamy wartości sinusa, więc z jedynki trygonometrycznej wyliczymy wartość \(cos^2α\):
$$cos^2α=1-sin^2α \           ,\
cos^2α=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \           ,\
cos^2α=1-\left(\frac{3}{4}\right) \           ,\
cos^2α=\frac{1}{4}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(cos^2α-2\).
$$cos^2α-2=\frac{1}{4}-2=\frac{1}{4}-\frac{8}{4}=-\frac{7}{4}$$

W tym zadaniu musimy zauważyć, że kąt wpisany \(DMB\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(DSB\). Gdybyśmy więc znali miarę kąta \(DSB\) to moglibyśmy stwierdzić, że kąt \(α\) jest od niego dwa razy mniejszy.

Kąt \(DSB\) jest kątem wierzchołkowym względem kąta \(ASC\) który ma \(50°\), a to oznacza, że \(|\sphericalangle DSB|=50°\). Po tym ustaleniu już wiemy, że kąt \(α\) będzie miał dwa razy miejszą miarę, czyli \(α=25°\).

Aby to równanie dało wynik równy \(0\), to wartość w którymś z nawiasów musi być równa \(0\). To oznacza, że każdy nawias musimy przyrównać do zera i sprawdzić tym samym dla jakich argumentów \(x\) równanie przyjmie wynik równy \(0\).
$$x+1=0 \quad\lor\quad x+2=0 \quad\lor\quad x^2+3=0 \           ,\
x=-1 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-3$$

Z racji tego, że nie istnieje żadna liczba, która podniesiona do kwadratu dałaby wartość ujemną, to zostają nam tylko dwie możliwości. Liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunki równania są więc dwie liczby: \(x=-1\) oraz \(x=-2\).