Nasze wyrażenie jest tak naprawdę sześciokrotnym dodaniem tej samej wartości, czyli \(6^{100}\). Korzystając z działań na potęgach, całość możemy zapisać jako:
$$6\cdot6^{100}=6^1\cdot6^{100}=6^{1+100}=6^{101}$$

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{7}98-log_{7}2=log_{7}\left(\frac{98}{2}\right)=log_{7}49=2$$

Do zadania możemy podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie wykorzystać tutaj regułę mnożenia. Rozpiszmy zatem jakie cyfry pasują nam do rzędu setek, dziesiątek oraz jedności:
· W rzędzie setek może znaleźć się dowolna liczba od \(1\) do \(9\), ale oprócz \(2\). To oznacza, że pasuje nam tutaj \(8\) różnych możliwości.
· W rzędzie dziesiątek może znaleźć się dowolna liczba od \(0\) do \(9\), ale oprócz \(2\). To oznacza, że pasuje nam tutaj \(9\) różnych możliwości.
· W rzędzie jedności może znaleźć się dowolna liczba od \(0\) do \(9\), ale oprócz \(2\). To oznacza, że pasuje nam tutaj \(9\) różnych możliwości.

Korzystając zatem z reguły mnożenia możemy zapisać, że interesujących nas liczb będzie:
$$8\cdot9\cdot9=648$$

W tym zadaniu musimy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) oraz \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Po poprawnym wykonaniu potęgowania, cały zapis będziemy musieli jeszcze uporządkować:
$$(3+4a)^2-(3-4a)^2=$$ $$=9+24a+16a^2-(9-24a+16a^2)=$$ $$=9+24a+16a^2-9+24a-16a^2=48a$$

Równania pojawiające się w układach opisują różne zależności, dlatego przeanalizujmy osobno poprawność poszczególnych odpowiedzi.

Odp. A. - tutaj pierwsze równanie jest nieprawidłowe, bo suma tych kątów powinna być równa \(180°\).
Odp. B. - ten układ równań jest prawidłowy. W pierwszym równaniu mamy sumę kątów przyległych równą \(180°\), a w drugim mamy informację o tym, że kąty wierzchołkowe mają jednakową miarę.
Odp. C. - tutaj drugie równanie jest nieprawidłowe, te dwa kąty nie mają jednakowej miary.
Odp. D. - tutaj nieprawidłowe jest i pierwsze i drugie równanie.
Odp. E. - ten układ jest prawidłowy. W pierwszym równaniu mamy wykorzystają własność kątów wierzchołkowych, a w drugim kątów przyległych.
Odp. F. - ten układ jest nieprawidłowy, ponieważ drugie równanie jest błędne.

Prawidłowe układy równań znalazły się więc w odpowiedzi B oraz E.

Jeżeli liczba \(-2\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, to znaczy, że podstawiając \(x=-2\), wartość tego wielomianu powinna wyjść równa \(0\). Skoro tak, to:
$$3\cdot(-2)^3+k\cdot(-2)^2-12\cdot(-2)-7k+12=0$$ $$3\cdot(-8)+k\cdot4-(-24)-7k+12=0$$ $$-24+4k+24-7k+12=0$$ $$-3k+12=0$$ $$-3k=-12$$ $$k=4$$

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do równania. Na matematyce dzielenie przez zero nie istnieje, więc i wartość mianownika musi być różna od zera. W mianowniku mamy równanie zapisane w postaci iloczynowej, zatem wystarczy przyrównać każdy z czynników do zera, czyli:
$$2x\neq0 \quad\land\quad x-1,5\neq0 \quad\land\quad x+6\neq0$$ $$x\neq0 \quad\land\quad x\neq1,5 \quad\land\quad x\neq-6$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku, otrzymamy:
$$\frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1,5)(x+6)}=0 \quad\bigg/\cdot 2x(x-1,5)(x+6)$$ $$(4x-6)(x-2)^2=0$$ $$4x-6=0 \quad\lor\quad x-2=0$$ $$4x=6 \quad\lor\quad x=2$$ $$x=1,5 \quad\lor\quad x=2$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z naszymi założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=1,5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości otrzymamy zero w mianowniku. To oznacza, że jedynym rozwiązaniem będzie \(x=2\).

Aby rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną, musimy ułożyć dwie nierówności liniowe bez tej wartości, z czego druga nierówność będzie mieć zmieniony znak nierówności i liczbę stojącą po prawej stronie na przeciwną:
$$x+1\le2 \quad\quad\quad\quad x+1\ge-2$$ $$x\le1 \quad\quad\quad\quad x\ge-3$$

Wyszło nam więc, że \(x\) jest większy lub równy \(-3\) oraz mniejszy lub równy \(1\), czyli \(x\in\langle-3;1\rangle\), a taka sytuacja została przedstawiona na pierwszym rysunku.

Jeżeli przyjmiemy, że \(k\) jest liczbą całkowitą, to liczbę nieparzystą możemy zapisać jako \(2k+1\). Podstawiając teraz tę wartość pod \(n\), otrzymamy:
$$(2k+1)^2+2023=$$ $$=4k^2+4k+1+2023=$$ $$=4k^2+4k+2024=$$ $$=4k(k+1)+2024$$

Przeanalizujmy teraz podaną sytuację, zaczynając od wyrażenia \(k(k+1)\). Jeżeli \(k\) jest całkowitą liczbą parzystą, to \(k+1\) jest liczbą nieparzystą, a iloczyn liczby parzystej i nieparzystej daje wynik parzysty. Analogicznie, gdy \(k\) jest liczbą nieparzystą, to \(k+1\) będzie parzyste, czyli tutaj także iloczyn tych dwóch liczb będzie parzysty.

Możemy więc powiedzieć, że mnożymy \(4\) przez liczbę, która jest na pewno parzysta, a do tego dodajemy \(2024\), które możemy rozpisać jako \(8\cdot253\). Pomnożenie \(4\) przez liczbę parzystą zawsze daje wynik podzielny przez \(8\), zatem liczba \(4k(k+1)+2024\) jest tak naprawdę sumą dwóch liczb podzielnych przez \(8\), co sprawia, że cała liczba też jest podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.

Zadanie 1.
Zapis \(g(x)=f(x-2)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(2\) jednostki w prawo. Patrząc na miejsca zerowe i na wierzchołek paraboli, widzimy, że takie przesunięcie znalazło się na czwartym rysunku.

Zadanie 2.
Skoro wartości funkcji \(f(x)\) mają być mniejsze lub równe \(0\), to musimy spojrzeć na te fragmenty wykresu, które znalazły się pod osią \(OX\). Widzimy wyraźnie, że rozwiązaniem tego zadania będzie suma przedziałów \(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle3;+\infty)\)

Zadanie 3.
Do wyznaczenia wzoru w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) potrzebujemy współrzędnej wierzchołka \(W=(p;q)\). Z wykresu odczytujemy, że \(W=(1;8)\), zatem:
$$y=a(x-1)^2+8$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Aby poznać tę wartość, musimy podstawić współrzędne jednego ze znanych punktów, który należy do wykresu tej funkcji. Najprościej będzie wziąć jedno z miejsc zerowych, czyli np. \(A=(-1;0)\). Podstawiając współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru, otrzymamy:
$$0=a\cdot(-1-1)^2+8$$ $$0=a\cdot(-2)^2+8$$ $$0=4a+8$$ $$a=-2$$

Przy okazji warto zauważyć, że współczynnik \(a\) wyszedł ujemny, co sugerowałoby, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu, tak jak na wykresie. Dzięki takiej obserwacji możemy w prosty sposób zweryfikować poprawność rozwiązania.

Otrzymany wynik oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci kanonicznej jest:
$$y=-2(x-1)^2+8$$

Współczynnik \(a\) informuje nas o monotoniczności funkcji (czyli o tym, czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy też może stała). Z rysunku wynika, że funkcja jest rosnąca, więc współczynnik \(a\gt0\).

Współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się wykresu funkcji z osią \(OY\). W przypadku tej funkcji przecięcie następuje pod osią \(OX\) (czyli dla ujemnej wartości \(y\)), stąd też \(b\lt0\).

Na początku ustalmy, czy w omawianej sytuacji będziemy mieć funkcję liniową, czy kwadratową (bo takie i takie znajdują się w odpowiedziach). Z treści zadania wynika, że każdy spadek ceny o \(1\) jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o \(3\) jednostki. Zależność jest więc liniowa (jak cena spadnie o jedną jednostkę więcej, to liczba kupujących spadnie o kolejne trzy jednostki itd.). Tym samym możemy od razu odrzucić odpowiedzi A oraz C, które zawierają wzory funkcji kwadratowych.

Jak teraz ustalić, czy poprawny jest wzór z odpowiedzi B czy D? Można podejść do tego na różne sposoby, ale najprościej będzie wykorzystać informację z treści zadania. Dla \(P=5\) wartość funkcji musi być równa \(Q=12\). Podstawmy zatem \(P=5\) dla wzoru z odpowiedzi B oraz D:
Odp. B.:
$$Q=-3P+27$$ $$Q=-3\cdot5+27$$ $$Q=-15+27$$ $$Q=12$$

Odp. D.:
$$5=-3Q+27$$ $$-22=-3Q$$ $$Q=7\frac{1}{3}$$

Widzimy wyraźnie, że pasuje nam jedynie wzór z odpowiedzi B.

Zadanie 1.
Poprawnym wykresem będzie ten z odpowiedzi A. Powiedzmy sobie może jeszcze dlaczego to jest akurat ten wykres. Aby dojść do tej odpowiedzi, musimy zrozumieć istotę samego zadania.

Mamy pacjenta, który przyjmuje dawkę omawianego leku i zgodnie ze wzorem, z czasem tego leku jest coraz mniej. Ze wzoru wynika, że spadek ten jest wykładniczy (a nie liniowy, jak odpowiedzi D). W grę wchodzą więc już tylko dwie odpowiedzi - A oraz B (odpowiedź C odrzucamy, ponieważ w odpowiedzi C mamy funkcję rosnącą). No i teraz najważniejsze pytanie - skąd się biorą trzy fragmenty wykresu? Wynika to z faktu dodawania kolejnej dawki leki, co tym samym powoduje skokowe zwiększenie dawki leku w organizmie. Jeżeli więc pacjent po \(4\) dobach ma w swoim organizmie \(50mg\) leku i dostaje kolejną dawkę \(100mg\), to w czwartej dobie wartość ta skacze mu do \(150mg\), dokładnie tak jak na wykresie z odpowiedzi A.

Zadanie 2.
Krok 1. Analiza ilości leku w organizmie pacjenta.
Musimy sobie uzmysłowić, że przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku, pacjent będzie miał śladowe ilości pierwszej dawki (śladowe, bo wraz z upływem czasu tego leku w organizmie jest coraz mniej), nieco większe drugiej dawki i całkiem spore wartości dziewiątej czy też dziesiątej dawki. Musimy też dostrzec, że termin "przed przyjęciem jedenastej dawki" oznacza, że od pierwszej dawki upłynęło \(t=40\) dni, a od dawki dziesiątej upłynęły raptem \(t=4\) dni. Zapiszmy zatem ile każdej z dawek zostało temu pacjentowi w organizmie, zaczynając może od najnowszej, czyli dziesiątej dawki.

Pacjent otrzyma jedenastą dawkę leku po upływie \(4\) dni od przyjęcia dziesiątej dawki. To oznacza, że z dziesiątej dawki w organizmie zostanie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{4}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=50$$

W orgazmie pacjenta jest jeszcze np. lek z dziewiątej dawki, który był podany \(8\) dni wcześniej. Tego leku w organizmie pacjenta będzie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{8}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=100\cdot\frac{1}{4}=25$$

Z ósmej dawki zostanie:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=100\cdot\frac{1}{8}=12,5$$

I tak analogicznie możemy rozpisywać kolejne dawki, aż dojdziemy do pierwszej, która była \(40\) dni wcześniej, zatem z tej dawki zostało:
$$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{4}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich dawek leku.
Naszym celem jest teraz zsumowanie tych wszystkich dawek. Widzimy wyraźnie, że kolejne dawki leku tworzą ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=50\) oraz \(q=\frac{1}{2}\). Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$ $$S_{10}=50\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}}$$ $$S_{10}=50\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}}$$ $$S_{10}=50\cdot\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}}$$ $$S_{10}=50\cdot\frac{1023}{1024}:\frac{1}{2}$$ $$S_{10}=\frac{51150}{1024}:\frac{1}{2}$$ $$S_{10}=\frac{51150}{1024}\cdot2$$ $$S_{10}=\frac{51150}{512}$$ $$S_{10}\approx99,9$$

To oznacza, że przed przyjęciem jedenastej dawki nasz pacjent ma w organizmie około \(99,9mg\) leku.

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=20000\)
\(p=0,03\)
\(n=2\)

Dlaczego \(p=0,03\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(3\%\), czyli \(0,03\), a lokata jest kapitalizowana raz do roku.

Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są co rok. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\cdot1=2\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{n}=20000\cdot(1+0,03)^{2}$$ $$K_{n}=20000\cdot(1,03)^{2}$$