W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym:
$$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2-2\sqrt{3}=6-2\sqrt{12}+2-2\sqrt{3}= \           ,\
=8-2\sqrt{4\cdot3}-2\sqrt{3}=8-4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=8-6\sqrt{3}$$

Z własności logarytmów wynika, że liczby stojące przed logarytmami możemy zamienić na potęgowanie liczb logarytmowanych, zatem:
$$2log_{5}4-3log_{5}\frac{1}{2}=log_{5}4^2-log_{5}\left(\frac{1}{2}\right)^3=log_{5}16-log_{5}\frac{1}{8}$$

Nie obliczymy oddzielnie wartości \(log_{5}16\) oraz \(log_{5}\frac{1}{8}\), ale możemy skorzystać z działań na logarytmach i rozpisać to w ten sposób:
$$log_{5}16-log_{5}\frac{1}{8}=log_{5}\left(16:\frac{1}{8}\right)=log_{5}(16\cdot8)=log_{5}128$$

Wiedząc, że \(128\) to jest \(2^7\) możemy zapisać, że:
$$log_{5}128=log_{5}2^7=7log_{5}2$$

Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - cena maseczki przed podwyżką
\(1,4x\) - cena maseczki po podwyżce

Z treści zadania wynika, że cena maseczki po podwyżce jest równa \(106,40zł\), zatem:
$$1,4x=106,40zł \           ,\
x=76zł$$

Najpierw musimy sprowadzić nasze pierwiastki do postaci potęgi, a potem skorzystać z działań na potęgach. Otrzymamy wtedy, że:
$$\left(\sqrt[2]{b}\cdot\sqrt[4]{b}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(b^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=b^{\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}}=b^{\frac{1}{4}}=b^{0,25}$$

Skoro podana para liczb spełnia nasz układ równań, to podstawmy w takim razie \(x=1\) oraz \(y=-3\) do tego układu, otrzymując:
\begin{cases}
1-(-3)=a^2 \           ,\
(1+a)\cdot1-3\cdot(-3)=-4a
\end{cases}

\begin{cases}
4=a^2 \           ,\
1+a-(-9)=-4a
\end{cases}

\begin{cases}
4=a^2 \           ,\
10+a=-4a
\end{cases}

\begin{cases}
a^2=4 \           ,\
-5a=10
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Otrzymaliśmy dwa równania z jedną niewiadomą, które teraz musimy rozwiązać:
I równanie:
$$a^2=4 \           ,\
a=2 \quad\lor\quad a=-2$$

II równanie:
$$-5a=10 \           ,\
a=-2$$

Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Widzimy wyraźnie, że tylko \(a=-2\) spełnia jedno i drugie równanie, stąd też właśnie to \(a=-2\) jest prawidłową odpowiedzią.

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie takich równań odbywa się dokładnie tak, jak robimy to przy postaci iloczynowej, czyli każdą wartość w nawiasie musimy przyrównać do zera. W związku z tym:
$$x-4=0 \quad\lor\quad x^2-1=0 \           ,\
x=4 \quad\lor\quad x^2=1 \           ,\
x=4 \quad\lor\quad x=1 \quad\lor\quad x=-1$$

Krok 2. Wyznaczenie iloczynu wszystkich rozwiązań równania.
Na koniec musimy jeszcze wyznaczyć iloczyn, czyli pomnożyć przez siebie wszystkie otrzymane wyniki:
$$4\cdot1\cdot(-1)=-4$$

Rozwiązanie tej nierówności najlepiej jest zacząć od mnożenia po prawej stronie:
$$\frac{12-5x}{2}\lt3\left(1-\frac{1}{2}x\right)+7x \           ,\
\frac{12-5x}{2}\lt3-\frac{3}{2}x+7x \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
12-5x\lt6-3x+14x \           ,\
12-5x\lt6+11x \           ,\
-16x\lt-6 \quad\bigg/:(-16) \           ,\
x\gt\frac{6}{16} \           ,\
x\gt\frac{3}{8}$$

To oznacza, że zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie \(\left(\frac{3}{8};+\infty\right)\).

Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną, czyli \(-16\) musieliśmy zmienić znak nierówności na przeciwny!

Z treści zadania możemy wywnioskować, że nasza funkcja liniowa jest dość nietypowa, bo wyjątkowo osiąga ona swoją najmniejszą wartość i jest ona równa \(3\) (zazwyczaj funkcje liniowe nie mają najmniejszej i największej wartości). To prowadzi nas do wniosku, że tą funkcją liniową musi być \(y=3\), zatem współczynnik kierunkowy tej funkcji musi być równy \(0\). Nasz współczynnik kierunkowy (czyli liczba stojąca przed \(x\)) to \(a-1\), zatem:
$$a-1=0 \           ,\
a=1$$

To oznacza, że warunki zadania są spełnione jedynie dla \(a=1\).

Sprawdźmy poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. - to nieprawda, gdyż dziedziną tej funkcji jest przedział \((-3,5\rangle\). Pamiętaj, że dziedzinę odczytujemy z osi \(OX\).
Odp. B. - to nieprawda, gdyż ta funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe i jest nim \(x=4\).
Odp. C. - to nieprawda, gdyż dla argumentu \(x=1\) funkcja przyjmuje wartość \(y=3\).
Odp. D. - to prawda, faktycznie zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-4, 5\rangle\).

Prawidłowa jest więc jedynie ostatnia odpowiedź.

Chcemy sprawdzić jaka jest wartość tej funkcji dla argumentu \(x=1\), zatem musimy podstawić właśnie \(x=1\) do wzoru tej funkcji:
$$f(1)=\frac{8\cdot1-7}{2\cdot1^2+1} \           ,\
f(1)=\frac{8-7}{2+1} \           ,\
f(1)=\frac{1}{3}$$

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że wartość środkowego z trzech wyrazów podniesiona do kwadratu jest równa iloczynowi wyrazów sąsiadujących, zatem:
$$y^2=x\cdot z$$

Z treści zadania wynika, że:
$$x\cdot y\cdot z=64 \           ,\
x\cdot z=\frac{64}{y}$$

Podstawiając tę informację do naszej własności \(y^2=x\cdot z\) otrzymamy:
$$y^2=\frac{64}{y} \bigg/\cdot y \           ,\
y^3=64 \           ,\
y=4$$

Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=-3\) oraz \(r=5\). Skoro tak, to bez problemu obliczymy wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{4}\). Możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r=-3+5=2 \           ,\
a_{4}=a_{1}+3r=-3+3\cdot5=-3+15=12$$

W związku z tym iloraz \(\dfrac{a_{4}}{a_{2}}\) będzie równy:
$$\frac{a_{4}}{a_{2}}=\frac{12}{2}=6$$

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\).
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(AOC\) jest równoramienny (boki \(AO\) oraz \(CO\) mają długość promienia okręgu). Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=180°-70°-70°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Kąt \(ABC\) jest kątem wpisanym, który jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(AOC\). Z własności takich kątów wynika, że jego miara będzie dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego, zatem:
$$|\sphericalangle ABC|=40°:2=20°$$

Teoretycznie już po samym wzorze powinniśmy się zorientować, że jedynie ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny. Nie mniej jednak, aby nie było żadnych wątpliwości, dobrze jest sprawdzić sobie kilka początkowych wyrazów każdego ciągu. Przykładowo:

Ciąg \(a_{n}\):
$$a_{1}=6\cdot1^2-1^3=6-1=5 \           ,\
a_{2}=6\cdot2^2-2^3=6\cdot4-8=24-8=16 \           ,\
a_{3}=6\cdot3^2-3^3=6\cdot9-27=54-27=27 \           ,\
a_{4}=6\cdot4^2-4^3=6\cdot16-64=96-64=32$$

To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(a_{2}-a_{1}=11\), natomiast \(a_{4}-a_{3}=5\).

Ciąg \(b_{n}\):
$$b_{1}=2\cdot1+13=2+13=15 \           ,\
b_{2}=2\cdot2+13=4+13=17 \           ,\
b_{3}=2\cdot3+13=6+13=19 \           ,\
b_{4}=2\cdot4+13=8+13=21$$

Tu wyraźnie widzimy, że każdy kolejny wyraz jest o \(2\) większy od poprzedniego i że tym samym jest to ciąg arytmetyczny, w którym \(r=2\).

Ciąg \(c_{n}\):
$$c_{1}=2^1=2 \           ,\
c_{2}=2^2=4 \           ,\
c_{3}=2^3=8 \           ,\
c_{4}=2^4=16$$

To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(c_{2}-c_{1}=2\), natomiast \(c_{4}-c_{3}=8\).

Ciągiem arytmetycznym jest więc jedynie ciąg \((b_{n})\).

Chcąc obliczyć trzeci wyraz tego ciągu, wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\):
$$a_{3}=(-2)^3\cdot3+1 \           ,\
a_{3}=(-8)\cdot3+1 \           ,\
a_{3}=(-24)+1 \           ,\
a_{3}=-23$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Kluczową obserwacją wynikającą z rysunku jest to, że wysokość rombu jest równa dwóm promieniom naszego okręgu. Możemy wiec zapisać, że \(h=2r\).

Krok 2. Obliczenie wysokości rombu.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który utworzył nam się na powyższym rysunku. Dzięki niemu możemy tutaj skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Znamy długość przeciwprostokątnej, a szukamy długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(60°\), więc idealnie będzie nam pasował sinus:
$$sin60°=\frac{h}{2\sqrt{3}}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{2\sqrt{3}}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$2h=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} \           ,\
2h=2\cdot3 \           ,\
2h=6 \           ,\
h=3$$

Krok 3. Obliczenie promienia okręgu.
Tak jak ustaliliśmy na początku: \(h=2r\). Skoro tak, to:
$$2r=3 \           ,\
r=\frac{3}{2}$$