Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Zanim wyznaczymy liczbę przeciwną to wykonajmy potęgowanie, które znalazło się w naszej liczbie. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(1-\sqrt{3})^2=1^2-2\sqrt{3}+\sqrt{3}^2=1-2\sqrt{3}+3=4-2\sqrt{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby przeciwnej.
Liczbę przeciwną tworzymy zmieniając znak naszej liczby, czyli tak naprawdę stawiając minusa z przodu. Ważne jest to, żeby postawić minusa nie tylko przed pierwszą liczbą (czyli przed czwórką), tylko przed całym wyrażeniem. Skoro tak, to liczbą przeciwną będzie:
$$-(4-2\sqrt{3})=-4+2\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie wartości liczby.
Na początek musimy wykonać potęgowanie, tak aby uprościć cały zapis. Stosując działania na potęgach otrzymamy:
$$\frac{(5^{1,2})^3\cdot\sqrt{5}^{0,8}}{5^3}=\frac{5^{1,2\cdot3}\cdot\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{0,8}}{5^3}=\frac{5^{3,6}\cdot5^{0,4}}{5^3}=\frac{5^{3,6+0,4}}{5^3}=\frac{5^4}{5^3}=5$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby odwrotnej.
Liczbę \(5\) możemy zapisać jako \(\frac{5}{1}\). Liczba odwrotna powstaje po zamianie miejscami licznika z mianownikiem, zatem liczbą odwrotną do \(5\) będzie \(\frac{1}{5}\) i to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.

Krok 1. Ustalenie, czy liczba pod nawiasami bezwzględności jest dodatnia czy ujemna.
Naszym zadaniem jest obliczenie wartości \(|3\sqrt{2}-5|\). Aby opuścić nawiasy bezwzględności musimy najpierw ustalić, czy liczba z której wyznaczamy wartość bezwzględną jest dodatnia, czy też ujemna. Jeżeli wartość w nawiasie bezwzględności jest dodatnia, to opuszczając nawias nie zmieniamy znaku np \(|5|=5\). Jeżeli wartość w nawiasie jest ujemna, to opuszczając nawias wartości bezwzględnej musimy zmienić znak liczby np. \(|-5|=5\) (i na tym właśnie polega cała trudność tego zadania). Sprawdźmy zatem jaka wartość znalazła się w naszych nawiasach.

Przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,41\) wyjdzie nam, że:
$$3\sqrt{2}-5\approx3\cdot1,41-5\approx4,23-5\approx-0,77$$

Krok 2. Obliczenie wartości bezwzględnej.
Liczba pod nawiasami bezwzględności wyszła nam ujemna, zatem opuszczając nawiasy musimy zmienić znaki na przeciwne. W związku z tym:
$$|3\sqrt{2}-5|=-(3\sqrt{2}-5)=-3\sqrt{2}+5=5-3\sqrt{2}$$

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=3000\)
\(p=0,02:2=0,01=\frac{1}{100}\)
\(n=3\cdot2=6\)

Dlaczego \(p=\frac{1}{100}\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(2\%\), czyli \(0,02\). Gdyby lokata była kapitalizowana raz w roku, to wtedy \(p=0,02\). Jednak nasza lokata jest kapitalizowana \(2\) razy w roku (co pół roku), zatem na każdy okres kapitalizacji przypada nam oprocentowanie rzędu \(p=0,02:2=0,01=\frac{1}{100}\).

Dlaczego \(n=6\)?
Lokata jest na \(3\) lata, a odsetki naliczane są co pół roku czyli \(2\) razy w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(3\cdot2=6\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru, otrzymując:
$$K_{6}=k\cdot\left(1+\frac{1}{100}\right)^{6}$$

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Aby rozwiązać nierówność musimy najpierw sprawdzić jakie ma miejsca zerowe, czyli musimy sprawdzić dla jakich argumentów \((x+3)^2=0\). Nie musimy wykonywać potęgowania, zastosujemy tutaj własność znaną z funkcji zapisanych w postaci iloczynowej, czyli wartość w nawiasie musimy przyrównać do zera:
$$x+3=0 \           ,\
x=-3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsce zerowe. Ramiona paraboli będą skierowane do góry (bo przed \(x^2\) nie stoi żadna ujemna wartość), zatem całość będzie wyglądać następująco:


Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero. Patrząc się na wykres widzimy, że pożądana wartość przyjmowana jest jedynie dla \(x=-3\). Dla wszystkich pozostałych argumentów wartości są większe od zera. To oznacza, że zbiorem rozwiązań nierówności jest tylko liczba \(-3\).

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) oraz \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(3x-y)^2-(x-3y)^2=9x^2-6xy+y^2-(x^2-6xy+9y^2)= \           ,\
=9x^2-6xy+y^2-x^2+6xy-9y^2=8x^2-8y^2$$

Do rozwiązania tego zadania można dojść na wiele sposobów, nawet najpopularniejszą metodą podstawiania. Jednak najprościej będzie dostrzec rozwiązanie mnożąc pierwsze równanie przez \(-\frac{3}{2}\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
\begin{cases}
2x-4y=3 \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\           ,\
-3x+6y=-4
\end{cases}

\begin{cases}
-3x+6y=-\frac{9}{2} \           ,\
-3x+6y=-4
\end{cases}

W pierwszym równaniu wyszło nam, że \(-3x+6y\) jest równe \(-\frac{9}{2}\). W drugim równaniu wyszło, że \(-3x+6y\) jest równe \(-4\). Te dwa równania mają po lewej stronie to samo wyrażenie (bez potęg), a po prawej mają różne liczby. Taka sytuacja jest niemożliwa do otrzymania, zatem ten układ równań jest sprzeczny, czyli nie ma on rozwiązań.

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Na początek ustalmy co to są pierwiastki równania. To nic innego jak po prostu rozwiązania tego równania. To ważne, by nie mylić tego pojęcia ze standardowymi pierwiastkami, ani tym bardziej by nie wyliczać później pierwiastków z otrzymanych rozwiązań.

Przejdźmy zatem do rozwiązania równania. Aby wartość tego równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi być równy zero. Możemy więc zapisać, że:
$$2x-3=0 \quad\lor\quad x^2+2x=0 \           ,\
2x=3 \quad\lor\quad x(x+2)=0 \           ,\
x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x+2=0 \           ,\
x=1\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=0 \quad\lor\quad x=-2$$

Oczywiście równanie \(x^2+2x=0\) moglibyśmy rozwiązać także metodą liczenia delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), jednakże sposób z wyłączeniem iksa przed nawias był znacznie prostszy.

Krok 2. Obliczenie iloczynu pierwiastków równania.
Jak już sobie powiedzieliśmy - pierwiastkami równania są po prostu rozwiązania, które przed chwilą otrzymaliśmy. Zgodnie z treścią zadania musimy podać jeszcze iloczyn tych rozwiązań, zatem:
$$1\frac{1}{2}\cdot0\cdot(-2)=0$$

Krok 1. Obliczenie długości boku drugiej przyprostokątnej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąta:
$$5^2+b^2=13^2 \           ,\
25+b^2=169 \           ,\
b^2=144 \           ,\
b=12 \quad\lor\quad b=-12$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania (w tym kąt ostry, który nas najbardziej interesuje) będzie wyglądać następująco:


Przy okazji warto pamiętać, że w trójkącie prostokątnym zawsze będzie tak, że większy kąt ostry znajduje się przy krótszym boku.

Krok 3. Obliczenie sinusa kąta ostrego.
Sinus to stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwko kąta względem długości przeciwprostokątnej, zatem:
$$sinα=\frac{12}{13}$$

Musimy do każdej z odpowiedzi podstawić pod \(p\) wartość \(log5\) i sprawdzić, kiedy otrzymamy prawidłowe równanie. Przy okazji warto sobie powiedzieć, że skoro w logarytmie nie mamy podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\), czyli \(log5\) to tak naprawdę \(log_{10}5\).

Zanim zaczniemy podstawianie to warto też sobie powiedzieć, że kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, że \(1\) to jest \(log10\) (lub jak kto woli \(log_{10}10\)). Analogicznie \(2\) to jest \(2log10\), co zapisać też możemy jako \(log10^2=log100\). Zamiana tych liczb na logarytmy umożliwi nam wykonywanie działań na logarytmach. Sprawdźmy zatem poprawność każdej z odpowiedzi i policzmy wartości, które znalazły się po lewej stronie każdego z równań:

Odp. A.
\(p+1=log5+log10=log(5\cdot10)=log50\)
Nie otrzymaliśmy wartości \(log\frac{1}{2}\), zatem to równanie jest nieprawdziwe.

Odp. B.
\(2p-2=2log5-2log10=log25-log100=log\frac{25}{100}=log\frac{1}{4}\)
Otrzymaliśmy wartość \(log\frac{1}{4}\), czyli tą samą, która znalazła się po prawej stronie równania, zatem to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.

Odp. C.
\(p-1=log5-log10=log\frac{5}{10}=log\frac{1}{2}\)
Nie otrzymaliśmy wartości \(log\frac{1}{20}\), zatem to równanie jest nieprawdziwe.

Odp. D.
\(p^2-2=(log5)^2-2log10=log^{2}5-log100\)
Tego działania już za bardzo nie uprościmy, a tym bardziej nie osiągniemy wartości \(log\frac{1}{4}\). Tutaj ważne było to, aby nie pomylić \((log5)^2\) z \(log5^2\), bo z tej drugiej formy faktycznie wyszłoby nam że całe wyrażenie jest równe \(log\frac{1}{4}\).

To oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

Przesunięcie o trzy jednostki w prawo oznacza, że mamy tak naprawdę funkcję \(g(x)=f(x-3)\). Mówiąc nieco prościej, kiedy do wzoru \(-2x+1\) podstawimy w miejsce iksa wyrażenie \(x-3\), to poznamy wzór funkcji \(g(x)\):
$$g(x)=-2(x-3)+1=-2x+6+1=-2x+7$$

Skoro te dwie funkcje mają to samo miejsce zerowe, to znaczy, że w tym punkcie się po prostu te dwie funkcje przecinają. Miejsce przecięcia się dwóch prostych wyznaczamy budując układ równań.

Trudność tego zadania polega na tym, że musimy policzyć nie tyle miejsce przecięcia się prostych, co brakujący współczynnik \(b\) pierwszej funkcji. Jakbyśmy zbudowali układ równań ze wzorów \(y=-3x+2b\) oraz \(y=\frac{1}{2}x+2\) to mielibyśmy aż trzy niewiadome. Takiego układu równań nie bylibyśmy w stanie rozwiązać. I tu z pomocą przechodzi nam właśnie informacja o tym, że te funkcje przecinają się w miejscu zerowym. To oznacza, że miejscem przecięcia się tych dwóch funkcji będzie punkt \(W=(x;0)\). Możemy zatem od razu podstawić \(y=0\), tworząc następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{1}{2}x+2=0 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\
-3x+2b=0
\end{cases}

\begin{cases}
x+4=0 \           ,\
-3x+2b=0
\end{cases}

\begin{cases}
x=-4 \           ,\
-3x+2b=0
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$-3\cdot(-4)+2b=0 \           ,\
12+2b=0 \           ,\
2b=-12 \           ,\
b=-6$$

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli. Skoro osią symetrii jest prosta \(x=-3\), to znaczy, że współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli jest równa \(p=-3\).

Wiemy też, że największa wartość tej funkcji jest równa \(4\). Z własności funkcji kwadratowych wynika, że przyjmują one swoje największe lub najmniejsze wartości właśnie w wierzchołku. Z tego też względu wiemy już, że \(q=4\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji kwadratowej.
Współrzędne wierzchołka paraboli związane są z zapisaniem funkcji w postaci kanonicznej. Podstawiając do tej postaci wyznaczone współrzędne \(p\) oraz \(q\) otrzymamy:
$$y=a(x-p)^2+q \           ,\
y=a(x-(-3))^2+4 \           ,\
y=a(x+3)^2+4$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Jeśli spojrzymy się na proponowane odpowiedzi, zauważymy, że pasują nam już tylko dwie możliwości - odpowiedź A oraz C. Musimy teraz ustalić jaki jest współczynnik \(a\) i dopiero wtedy, będziemy mogli wybrać prawidłową odpowiedź. Niestety nie jesteśmy w stanie obliczyć konkretnej wartości współczynnika \(a\). Możemy jednak określić, czy jest on dodatni, czy ujemny.

W treści zadania jest informacja, że funkcja posiada swoją największą wartość i jest ona równa \(4\). To prowadzi nas do wniosku, że parabola musi mieć ramiona skierowane do dołu (gdyby ramiona były skierowane do góry, to największą wartością byłoby zawsze \(+\infty\)). Skoro tak, to współczynnik \(a\) musi być ujemny, zatem pasuje nam jedynie odpowiedź C.

Podstawiając do wzoru funkcji współrzędne naszego punktu otrzymamy następującą sytuację:
$$y=a^x \           ,\
2=a^{\frac{1}{3}}$$

Aby rozwiązać tego typu równanie musimy podnieść lewą i prawą stronę równania do potęgi trzeciej, dzięki czemu po prawej stronie zostanie nam samotna wartość \(a\), którą musimy wyznaczyć:
$$2^3=(a^{\frac{1}{3}})^3 \           ,\
2^3=a^1 \           ,\
a=8$$

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi igreków. Tutaj mamy klasyczną pułapkę związaną z odczytywaniem tych wartości, bowiem patrząc się na kropki mogłoby się wydawać, że zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-2;2)\). Jednak jak się przypatrzymy tej funkcji nieco bliżej, to zauważymy, że dla argumentów większych od zera aż do jedynki wartość funkcji jest równa \(2\). To oznacza, że zbiorem wartości funkcji jest przedział \((-2,2\rangle\).